Additional study of the spectral properties of synchrotron light.pdf Введение Вопросами приближенного представления функции Бесселя с большим индексом занимались многие авторы [1-4]. Первая формула была получена в работе [1] (в явном виде она указана в [2]). В работах [2, 3] аргумент функции Бесселя и результаты разложения выражались через гиперболические функции, а в [4] использовался метод ВКБ. В [2] отмечается, что поправки к формуле Никольсона в [1] не были сделаны. В работе [5] также методом ВКБ была рассмотрена задача во втором приближении и удалось в этом случае найти спектральные формулы синхротронного излучения при движении заряженной частицы по винтовой траектории. В данной работе, как и в [6], будем исходить из того, что угол поворота частицы мал при излучении в данном направлении. Это позволит найти более точные представления функции Бесселя и на их основе провести анализ спектральных формул излучения. Аппроксимации функции Бесселя и ее производной Формула Никольсона приведена в [2] при в следующем виде: (1) При излучении фотонов угол поворота электрона , где - скорость частицы. Таким образом, в интеграле (2) в ультрарелятивистском случае для современных ускорителей будем считать малым параметром. При разложении в (2) учтем четыре члена разложения и затем используем известный интеграл (3) Дифференцируя последнее выражение по несколько раз, получим необходимые для дальнейших расчетов следующие интегралы: (4) (5) , (6) где Будем считать и малой величиной разность В результате расчетов асимптотика для исходной функции примет вид (7) Здесь и только первое слагаемое совпадает с формулой (1), последующие члены получены впервые. В дальнейшем введем также малый параметр , где - сферический угол излучения, и будем считать . Тогда можно показать, что Максимум излучения приходится на высокие гармоники и можно полагать, что и имеют один порядок точности. С учетом этого в (7) считаем . Производную функции Бесселя можно получить, дифференцируя (2) по и проводя разложение по параметру или же из формулы (7). В первом случае, кроме того, необходим еще один интеграл В обоих случаях приходим к тому, что (8) Это выражение получено с учетом замечаний, сделанных для формулы (7). Таким образом, точность асимптотик (7) и (8) в квадратных скобках порядка . Следующие слагаемые будут иметь добавки на одну степень выше. В формулах, применяемых в теории синхротронного излучения, аргумент и используется малый параметр . В этой работе ограничимся круговым движением электрона по орбите с радиусом . Здесь в первых членах ранее сделанных разложений нужно учесть поправки порядка , а во вторых - . Например в (7) функция Макдональда где . В дальнейшем от индекса перейдем к индексу . Асимптотика (7) в итоге примет другой вид (9) Соответствующее разложение для производной определится как . (10) Анализ спектральных свойств излучения Формулы спектрально-угловых распределений интенсивности излучения для компонент линейной поляризации (в орбитальной плоскости и перпендикулярно ей) можно записать как (11) (12) Здесь напряженность магнитного поля. Подставим сюда найденные асимптотики (9) и (10) и для анализа результатов данной задачи ограничимся вторым приближением. Методы интегрирования по углу указаны в [4]. Для суммарной спектральной формулы получим следующее выражение, которое является основным в данной работе: (13) где лоренц-фактор Интересен также тот факт, что асимптотики (7) и (8) можно применить и для изучения другой известной спектральной формулы [4], но с большим индексом. Она имеет следующий вид: (14) Этот вопрос рассматривался в [7] с другой переменной вместо и . Здесь, например, в первом релятивистском приближении надо положить . Предварительный интеграл определим как Затем нужно сделать замены на , а на . Верхний предел здесь получается естественным образом при пересчете пределов. Кроме того, , и в итоге выражение (14) приведет к первому приближению в формуле (13). Заключение Рассмотрение этой темы обусловлено тем, что высокий индекс входит в аргумент и номер бесселевых функций. В связи с этим всегда стоит вопрос об адекватном математическом представлении этих функций, которое дает возможность четко интерпретировать полученные результаты. Найденные асимптотики (7) и (8) могут быть использованы и в других физических и математических задачах. В данной работе заряженная частица, которая излучает, двигается в однородном магнитном поле. В формуле (13) следующая поправка к основному первому слагаемому будет порядка . В неоднородных магнитных полях циклических ускорителей электроны совершают бетатронные колебания, которые влияют на спектрально-угловые распределения интенсивности излучения. Однако на спектральные и интегральные характеристики излучения, как это, например, показано в [8] для аксиально-симметричного поля, они оказывают незначительное воздействие.

Скачать электронную версию публикации