Properties of inertia of a solid body.pdf Введение Во всех пособиях по теоретической механике рассматриваются инерционные свойства твердого тела (например, [1-5]), при этом отсутствуют четкие определения и доказательства их свойств. В данной работе даны геометрические определения центра массы и моментов инерции относительно точки, оси, плоскости, а также тензора инерции и рассмотрены их свойства. Описано влияние геометрической симметрии тела на его характеристики. 1. Движение в E3 Определение 1. Неособенное отображение называется движением пространства, если Из определения следует существование ортогонального оператора , с которым верно . (1) Здесь и далее вектор будем обозначать . 2. Инерционные характеристики тела Пусть - местоположение и масса -й частицы тела, - масса тела. Определение 2. Центром массы тела называется точка , радиус-вектор которой относительно некоторой точки имеет вид . (2) Здесь и далее идет суммирование по повторяющемуся в одночлене 2 раза индексу. Определение 3. Моментом инерции относительно точки называется скаляр (3) Определение 4. Моментом инерции относительно ориентированной прямой, проходящей через точку и параллельной единичному вектору , называется скаляр (4) Определение 5. Моментом инерции относительно ориентированной плоскости с нормалью , проходящей через точку , называется скаляр (5) Определение 6. Тензором инерции относительно точки называется величина (6) где - единичный тензор; кронекерово произведение векторов [6] задано так: 3. Свойства инерционных характеристик твердого тела 3.1. Связь между инерционными характеристиками 3.1.1. . 3.1.2. . 3.1.3. . 3.1.4. . 3.1.5. Доказательства свойств здесь и далее опущены. 3.2. Общие свойства 3.2.1. Положение центра масс не зависит от выбора полюса, т.е. определение 2 конструктивно (в теле только один центр масс). 3.2.2. Расстояние между центром масс и любой точкой тела постоянно при движении тела. 3.2.3. Если тело находится во внешнем однородном поле тяжести, то в положении равновесия центр масс лежит на прямой, проходящей через точку подвеса и параллельной ускорению свободного падения. 3.2.4. Теорема Штейнера. Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведению массы системы на квадрат расстояния между осями: 3.2.5. Тензор инерции положительно определенный: 3.2.6. Тензор инерции симметричен и вещественен: 3.3. Связь инерционных характеристик относительно полюса и центра масс 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.4. Инерционные характеристики составного твердого тела Разделим тело на частей следующим образом: Ø, Ø, , где - области, занимаемые соответственно телом и его частью с номером ; теперь - масса части тела; - число частиц в части; - масса -й частицы из области с номером ; - центр масс области с номером . Тогда 3.4.1. 3.4.2. (7) Здесь 3.4.3. 3.4.4. 3.4.5. (8) 4. Симметрия твердого тела Пусть - число частиц твердого тела. Определение 7. Движение называется элементом симметрии (симметрией) твердого тела, если можно указать неособенное отображение , такое, что (9) 4.1. Симметрия инерционных характеристик твердого тела Если - симметрия твердого тела, то 4.1.1. Справедливо равенство . (10) Замечание 1. Из этого свойства следует: 1) если тело обладает осью симметрии, то центр масс находится на оси симметрии; если тело обладает несколькими осями симметрии, то центр масс находится на пересечении этих осей; 2) если тело обладает центром инверсии, то этот центр совпадает с центром масс; 3) если тело обладает плоскостью симметрии (отражения), то центр масс находится в этой плоскости. 4.1.2. Для тензора инерции относительно точки справедливо равенство (11) Замечание 2. Из (10), (11) имеем . Аналогичное равенство имеем для любой точки , принадлежащей оси/плоскости симметрии. 4.1.3. Для момента инерции относительно плоскости с нормалью справедливо равенство 4.1.4. Для момента инерции относительно прямой справедливо равенство 4.1.5. Для момента инерции относительно точки справедливо равенство Доказательства. 4.1.1. Положим в (1) и учтем (9), в итоге имеем умножим это равенство на и просуммируем по , в результате получим . С другой стороны, из (1) имеем . Сравнивая последние два равенства, находим , что и требовалось доказать. 4.1.2. Легко доказать свойство кронекерова произведения . (12) Теперь докажем (11) с учетом (1), (6), (8): Что и требовалось доказать. 4.1.3. Справедливость первого утверждения вытекает из (5). Для второго утверждения имеем Что и требовалось доказать. 4.1.4. Справедливость первого утверждения вытекает из определения (6). Во втором случае имеем Что и требовалось доказать. 4.1.5. Из определений (1), (7) имеем Что и требовалось доказать. 4.2. Явный вид тензора инерции симметричного тела В [7] показано, что геометрическим образом ортогонального оператора в является либо поворот вокруг некоторой оси на некоторый угол, либо поворот на некоторый угол вокруг оси с последующим отражением относительно плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, в подходящей системе координат любой ортогональный оператор задан матрицей с элементами Здесь Элемент симметрии - ось симметрии. Выберем в качестве оси OZ ось симметрии, тогда задает поворот относительно этой оси; в такой системе координат из условия (11) получим (13) Эта система имеет решения: 1) если то из (13) находим 2) если то имеем диагональный тензор с элементами Элемент симметрии - поворот относительно некоторой оси с последующим отражением относительно плоскости, перпендикулярной этой оси. Выберем в качестве оси OZ ось симметрии и проведем вычисления, аналогичные предыдущему случаю: (14) Эта система имеет следующие решения: 1.1) , такая симметрия есть инверсия относительно центра массы и никакой информации о виде тензора инерции не имеем; 1.2) , из (14) имеем 2) , из (14) имеем диагональный тензор, причем 5. Инерционные характеристики твердого тела в модели сплошной среды Если абсолютно твердое тело представить как непрерывную среду, занимающую область пространства и с плотностью распределения вещества , то определения основных физических величин будут иметь очевидный вид, например с обозначениями Имеем для радиус-вектора центра массы Все свойства, доказанные выше для дискретных тел, справедливы и для непрерывных тел, если примем определение: движение есть симметрия тела при условии Замечание о геометрических характеристиках области. Рассмотрим область пространства объемом . Определим тензор инерции области относительно точки так: Аналогично можно определить центр области, моменты инерции относительно точки, оси и плоскости. Тензор инерции тела, состоящего из частей с плотностями , занимающими области можно записать в виде (15) Последнее равенство значительно упрощает расчеты инерционных характеристик различных твердых тел, если их геометрия одинакова. Так, для вычисления тензора инерции тела, полученного удалением среды из определенных областей, можно использовать формулу (15), считая плотность в полостях равной нулю. Кроме этого, для двух тел одинаковой геометрии с известным тензором инерции одного из них приведенная выше формула автоматически позволяет найти тензор инерции второго тела. Пример Рассмотрим однородный шар с центром в точке массой плотностью и радиусом Пусть в шаре присутствуют две шаровые полости с центрами, постоянными плотностями и радиусами соответственно Точки лежат на одной прямой, ориентация которой задана единичным вектором Для удобства введем безразмерные величины: Используя формулы (7), (15) и учитывая сферическую симметрию шара и полостей, для радиус-вектора центра массы получившегося тела и тензора инерции имеем , Отсюда, в частности, вытекает: 1) если , имеем тензор инерции сплошного шара; 2) если , имеем тензор инерции шара с пустыми полостями; 3) очевидно, при подходящем выборе плотностей можно совместить центр массы тела (точку ) с геометрическим центром массы сплошного шара (точкой ); 4) хотя система обладает только аксиальной симметрией, тем не менее при определенном соотношении между плотностями полостей тензор инерции - скалярный. Заключение Даны определения и сформулированы свойства инерционных характеристик абсолютно твердого тела. Установлена связь симметрии тела и свойств его инерционных характеристик. Авторы полагают возможным включение материала данной работы в пособия по теоретической механике.

Скачать электронную версию публикации