Normal waves in the electromagnetic metachiral isotropic medium with losses.pdf Киральными средами и материалами принято называть такие вещества, объёмные структурообразующие элементы которых не являются геометрически зеркально симметричными. Не все природные материалы обладают выраженными киральными свойствами, а в сочетании с иными физико-химическими параметрами лишь немногие оказываются пригодными для электромагнитных приложений на СВЧ, терагерцовых или оптических частотах. Достижения в области нанотехнологии метаматериалов и метаповерхностей, как ожидается, приведут к значительному прогрессу в создании новых перспективных материалов, обладающих электромагнитной киральностью. Недавно были предложены разнообразные варианты киральных «метамолекул» не только в форме ранее известных скрученных омега-частиц или спиралей, но и с использованием новых плоскостных элементов (в форме сочетаний полос, колец, гаммадионов и т.д.), способных вызвать сильный киральный эффект [1-4]. Следует уделять внимание тепловым потерям в киральных метаматериалах, которые могут быть как полезными (поглощающие покрытия [5-8]), так и нежелательными в резонансном режиме в условиях выраженной частотной дисперсии, когда ими нельзя пренебречь [9]. Предстоит выяснить, какими волновыми свойствами обладают плоские монохроматические однородные волны, свободно распространяющиеся в безграничной однородной изотропной киральной пассивной среде, обладающей потерями. Так как киральная среда относится по общепринятой классификации электромагнитных сред [4, 10] к биизотропным средам, она способна одновременно поддерживать две нормальные волны, различающиеся волновыми числами и состоянием поляризации: одна из них в прозрачной среде является волной левой круговой поляризации, а другая - волной правой круговой поляризации. В поглощающей среде, приобретающей свойство циркулярного дихроизма, круговая поляризация переходит в эллиптическую. В отличие от неоднородной плоской волны, под однородной волной в поглощающей среде понимается волна с экспоненциально изменяющейся амплитудой (эванесцентная волна), которая, однако, характеризуется движением фазового и амплитудного фронтов вдоль единой прямой линии в пространстве среды. За направление распространения синусоидальной волны, по определению, принимается направление переноса энергии, которое задаётся вектором Умова - Пойнтинга [10]. Применительно к вакууму и обычным изотропным средам направления потока энергии и волнового вектора объёмных нормальных волн всегда совпадают, поэтому подразумевается, что волна распространяется в направлении волнового вектора. При электродинамическом описании метаматериалов как сплошной среды с эффективными значениями материальных параметров данное положение требует уточнения. Например, в идеальных некиральных средах, которые характеризуются одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями, направления волнового вектора и вектора Умова - Пойнтинга являются прямо противоположными, как впервые показал В.Г. Веселаго [11]. Такие нормальные волны получили наименование обратных волн в отличие от прямых волн, присущих вакууму и обычным средам. Разумеется, и прямые, и обратные волны способны распространяться в изотропной или биизотропой среде в любых направлениях. В частности, волновое уравнение Гельмгольца, являясь дифференциальным уравнением второго порядка, имеет два частных решения в виде однотипных встречных волн, сходящихся (или расходящихся) в противоположных направлениях. В метакиральных средах в зависимости от сочетания значений материальных параметров также возможно распространение не только прямых, но и обратных волн. В идеальных киральных средах, как известно [4, 12], могут существовать волновые режимы с двумя прямыми волнами, с двумя обратными волнами или смешанные режимы с прямой и обратной волнами. Распознавание нормальных волн по типу распространения имеет решающее значение для электродинамического моделирования, правильной постановки и решения граничных задач, таких, как задачи излучения и дифракции волн. С этой целью полезно ввести специальный параметр - идентификатор типа волны, равный скалярному произведению ортов направлений вектора Умова - Пойнтинга и волнового вектора, и в дальнейшем связать его с материальными параметрами среды, в которой происходит волновое распространение. В непрозрачных средах, т.е. в присутствии потерь, роль этого идентификатора не снижается, а возрастает, так как волновое распространение происходит фактически при любых сочетаниях действительных частей комплексных значений материальных параметров, а не только в «дважды положительных» и «дважды отрицательных» квадрантах плоскости диэлектрической и магнитной проницаемостей. При математическом моделировании прикладного электродинамического исследования первоначально выбирается, как правило, наиболее простая модель среды, в которой потери отсутствуют, что часто является практически оправданным приёмом. Задача существенно упрощается, так как её материальные и волновые параметры оказываются вещественными величинами. Однако требования адекватности модели реальным условиям и её верификации означают, что правомерность такого подхода должна подтверждаться возможностью непрерывного аналитического продолжения характерных величин модельной задачи по параметру потерь. В свою очередь, сам факт такого продолжения следует из принципа предельного поглощения, который имеет строгое математическое обоснование и обеспечивает единственность решения задачи для уравнения Гельмгольца. В сложных средах, к числу которых относятся и киральные среды, процесс аналитического продолжения по параметру потерь не всегда оказывается прямолинейно простым. В частности, волновые числа могут выражаться через посредство исходных параметров достаточно сложными формулами, которые должны предельно правильно переходить к соответствующим значениям для простых сред. В этой связи применительно к метаматериалам в литературе существует противоречивый методический приём, который осложняет переход к комплексным величинам. Он касается знака показателя преломления (и, следовательно, волнового числа) в средах с двумя отрицательными проницаемостями, который по предложению Веселаго принимается отрицательным. Выбор знака был обусловлен приспособлением скалярной формы закона Снеллиуса для объяснения отрицательного преломления [11], но отрицательный знак не согласуется с векторной формой этого закона [13]. В настоящей работе постулируется, что вещественное (действительное) волновое число является всегда положительной величиной, а комплексное волновое число имеет положительную реальную часть. Примем, что плоская синусоидальная волна с круговой частотой при распространении в среде характеризуется волновым вектором , (1) где единичный вектор указывает направление распространения фазового фронта волны, а величина является волновым числом, причём . Показатель преломления волны , где - скорость света в пустоте, является положительной величиной или имеет положительную вещественную часть. В комплексном представлении волна описывается множителем , где - радиус-вектор; - время; . Дифференциальные уравнения Максвелла переходят в алгебраические соотношения для векторных амплитуд , ; , , (2) где , - напряжённости, а , - индукции электрического и магнитного полей. Стандартный способ получения дисперсионного уравнения относительно волнового вектора заключается в добавлении к (2) материальных уравнений с целью устранения векторов , и использовании тождеств , , в результате чего образуется система двух линейных однородных алгебраических уравнений относительно векторов , . Приравнивание нулю её определителя, что является условием существования решения системы уравнений, даёт дисперсионное уравнение. Пусть киральная среда описывается системой материальных уравнений в форме Друде - Борна - Фёдорова , . (3) Здесь - диэлектрическая проницаемость; - магнитная проницаемость; - параметр киральности среды. В этой системе материальных уравнений параметр имеет размерность длины, что непосредственно указывает на взаимосвязь электромагнитной и геометрической киральности, а присутствие дифференциального оператора Гамильтона - на пространственную дисперсию среды. Для синусоидальной плоской волны материальные уравнения (3) приобретают вид , , (4) и далее они используются совместно с (2). Дисперсионное уравнение оказывается биквадратным алгебраическим уравнением [14] , (5) где ради краткости введена величина (берётся ветвь квадратного корня, для которой ). Она является волновым числом в некиральной изотропной среде, если принять . Действительно, полагая и принимая во внимание, что , уравнение (5) приводим к виду . Как очевидно, дисперсионное уравнение соответствует двум встречным нормальным волнам с общим волновым числом . При параметре в киральной среде способны распространяться не одна, а две пары встречных нормальных волн с направлениями фазовых фронтов , , что следует из вида формулы (5). Для того чтобы конкретизировать волновые числа ( ), перейдём к комплексным амплитудам полей круговой поляризации , используя линейное преобразование Борена [15] , , (6) в котором импеданс и адмитанс в отсутствие потерь определены по формулам , ; . (7) Формулы (6) следует подставить в уравнения , ; , (8) которые порождают дисперсионное уравнение (5). Принимая во внимание, что в однородной и безграничной среде волны левой круговой поляризации и правой круговой поляризации распространяются независимо, разделим полученные выражения на два равенства: ; (9) . (10) В изотропной среде ( , , ) формулы (9), (10) переходят в уравнения , . (11) Если распространение происходит в вакууме, то фазовое направление совпадает с направлением переноса энергии , а уравнения (11) следует рассматривать как канонические для плоских волн круговой поляризации (волн Бельтрами). Если же распространение происходит в изотропной среде, то следует положить . Унитарное число принимает значения , определяя тип нормальной волны в изотропной среде. В прозрачной среде следует положить . Принимая во внимание, что в пассивной поглощающей среде ослабление интенсивности волны происходит в направлении , комплексное волновое число следует записать в виде ; , . (12) (Здесь и в дальнейшем добавляется надстрочная точка при аналитическом продолжении волновых и материальных параметров в комплексную область, одинарный надстрочный штрих указывает на действительную часть, двойной штрих - на мнимую часть комплексного числа.) Экспоненциальный волновой множитель в направлении действительно имеет гасящую составляющую: при . Значение идентификатора рассчитывается в поглощающей некиральной среде по известной формуле [16]. Рассмотрим предварительно киральную среду без поглощения. Выделяя в уравнении (9) волновое число , приводим его к виду (11): , (13) где коэффициент в правой части равенства при должен обращаться в единицу. При слабой киральности ( ), как следует из сопоставления формул (11) и (13), фазовый фронт волны движется в направлении с волновым числом . При сильной киральности ( ) фазовый фронт волны движется в противоположном направлении с волновым числом . Обобщённо для волнового числа получается выражение . (14) Поступая аналогично, из сопоставления формул (10) и (11) находим . (15) Далее будем применять для краткости обобщённую форму записи ( ). (16) Числа в отличие от волновых чисел могут быть отрицательными, а идентификаторы (17) принимают значения при слабой киральности, при сильной киральности их значения противоположны ( ) и зависят от знака параметра киральности . Необходимость введения идентификаторов обусловлена, таким образом, тем, что рассматриваемая киральная среда является не обычной, но метакиральной средой. По отношению к направлению нормальные волны в киральной среде характеризуются идентификаторами . (18) Обе волны являются прямыми, если , и обратными, если , . При остальных сочетаниях значений идентификаторов имеют место смешанные режимы распространения с одной прямой и одной обратной волнами. В поглощающей киральной среде волновые числа записываются подобно (12): ; , , (19) где идентификаторы зависят теперь от комплексных значений материальных параметров и подлежат отысканию. Действительные числа (16) также принимают комплексные значения . (20) (Надстрочная звёздочка является знаком комплексного сопряжения.) Из (19) и (20) следует, что числа и связаны соотношениями , (21) откуда находим . (22) При расчёте значений комплексных волновых чисел следует определиться со знаками действительных и мнимых частей материальных параметров. В поглощающих киральных материалах не только проницаемости, но и параметр киральности являются комплексными, хотя, как отмечалось в работе [6], не всеми авторами это положение соблюдается. В метаматериальных средах разрешены любые знаки у действительных частей обеих проницаемостей и параметра киральности. Смена знака у происходит при переходе к противоположной энантиоморфной разновидности киральной среды, а также возможна в окрестности резонанса при наличии сильно выраженной частотной дисперсии. При принятой временной зависимости вида мнимые части диэлектрической и магнитной проницаемостей в пассивных средах должны быть положительными. В отношении иногда предлагается ограничение вида , записанное в безразмерных величинах применительно к системе Теллегена с параметром киральности [4, 17]. Оно подчёркивает, что в поглощающей среде все три параметра становятся одновременно комплексными, но было сформулировано, по-видимому, для положительных значений и . Отмечается также, что в рацемических смесях киральных композитов обе части комплексного параметра киральности должны обращаться в нуль [6]. Полагая , ( , ), и подробно расписывая правую часть формулы (20), в результате получаем , (23) где [16]. В отсутствие киральности , как следует из (23). При наличии и электрических, и магнитных потерь в среде относящиеся к величины рассчитываются по формулам [16]: ; (24) ; (25) , (26) в которых применены обозначения , . Аналитическое продолжение волновых чисел по параметру потерь для изотропной киральной среды с материальными уравнениями в форме Друде - Борна - Фёдорова осуществляется в два этапа. Сначала выполняется переход к комплексному волновому числу для некиральной среды, которое является средним гармоническим двух волновых чисел киральной среды, с использованием идентификатора для разграничения прямых и обратных волн. Затем этот переход завершается благодаря введению идентификаторов для разграничения режимов слабой и сильной киральности. Аналогичная процедура была применена в случае описания киральной среды посредством системы материальных уравнений Теллегена, где среднее арифметическое двух волновых чисел также не зависит от параметра киральности [18]. Предложенный подход с введением идентификаторов окажется полезным и при изучении волнового распространения в поглощающей киральной среде Поста.

Скачать электронную версию публикации