Stress strain state of elastic plate with elliptical cut-out.pdf Введение Разрушение твердых тел вызвано образованием и развитием макроскопических трещин. В механике разрушения эту ситуацию схематизируют, заменяя трещину разрезом нулевой толщины. Трещина-разрез получается из эллипса при стремлении малой полуоси эллипса к нулю. В связи с этим исследование локального напряженного состояния вблизи эллиптических вырезов представляет исключительный интерес. Впервые метод анализа напряжений в пластине с эллиптическим вырезом предложил Инглис [1]. Линейное упругое решение Инглиса для поля напряжений, окружающего эллипс, явилось важным шагом в развитии теории линейной механики разрушения. Как и решение Кирша для круглого отверстия [2], оно применяется к бесконечной изотропной пластине при одноосном растяжении. В отличие от решения Кирша, данное решение Инглиса применимо к бесконечному числу различных сценариев, соответствующих эллипсам с разными соотношениями полуосей. Важной характеристикой эллипса является кривизна на конце его большой полуоси  = 1/ra, где ra- радиус кривизны на конце большой полуоси. Результаты численных расчетов краевых задач теории вырезов обнаруживают, что существенное влияние на смещение точек контура выреза и на концентрацию напряжений при растяжении оказывают лишь два геометрических параметра: протяженность выреза в направлении, перпендикулярном оси растяжения, и максимальная кривизна на конце выреза вдоль этого направления [3, 4]. Поэтому напряжения у вершины трещины длиной 2a и кривизной  можно определять, рассматривая трещину в виде эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b = (a/)1/2. В предлагаемой работе трещина рассматривается как узкий вырез в неограниченной плоскости с определенной кривизной у вершины. Описывается напряженно-деформированное состояние (НДС) и определяются характеристики механического состояния данной системы при одноосном нагружении: коэффициент концентрации напряжения (ККН), движущая сила роста трещины и энергия упругой деформации. Анализируются зависимости характеристик НДС от кривизны трещины в плоскости при растяжении. 1. Пластина с эллиптическим вырезом при растяжении Общее решение задачи для неограниченной пластины с эллиптическим вырезом (отверстием) при растяжении можно найти в монографии Мусхелишвили [5]. В декартовой системе координат с началом на конце большой полуоси эллипса a под действием вдоль оси y напряжения  компоненты тензора напряжений вдоль оси х имеют вид (1) где , b - малая полуось эллипса. Компонента dxy = 0. Уравнения (1) характеризуют неоднородное поле напряжений вне выреза. На границе эллиптического контура происходит скачок до нуля всех компонент тензора напряжения. Зона существенной концентрации упругой энергии сосредоточена в небольшой области вблизи границы эллиптического контура. Поле напряжений (1) однозначно определяет смещения точек контура эллипса: . (2) Здесь E - модуль Юнга. Можно убедиться, что граничным условиям (2) на контуре эллипса удовлетворяет однородное поле пластической деформации (3) Согласно континуальной теории дефектов [6], однородное поле пластической деформации не связано с напряжениями. Это означает, что внутри эллипса напряжение  = 0. Следовательно, напряженное состояние вне выреза точно воспроизводит НДС пластины с очагом пластической деформации (3). На рис. 1 представлена схема идентичности НДС пластины с вырезом (a) и сплошной пластины с очагом пластической деформации (б). Вариант б можно рассматривать как суперпозицию однородного поля напряжения  (в) и плоскости с очагом пластической деформации величиной p = = 2a/(bE) (г) при отсутствии каких-либо внешних сил. В последнем случае вне очага, очевидно, присутствует неоднородное поле внутренних напряжений, а внутри - однородное поле - Рис. 1. Идентичность НДС для пластины с вырезом (a) и с очагом пластической деформации (б); в - однородное поле напряжения ; г - плоскость с очагом пластической деформации p Значительно удобнее рассматривать поле напряжений вне выреза без учета однородного поля внешнего напряжения . Очевидно, решение (г) выделяет отдельно поле напряжений, связанное с присутствием в пластине выреза. Это дополнительное поле напряжения характеризует компонента . (4) На конце большой полуоси эллипса наблюдается максимальная концентрация напряжения. Согласно уравнению (1) коэффициент концентрации напряжения (ККН) равен (5) Формулу (5) используют для оценки концентрации напряжения [4]. Для круглого отверстия (а = b), например, согласно (5), k = 3. Концентрация напряжения дополнительного поля (4) равна k = 2a/b. (6) Сравнение показывает, что уравнение (5) отличается от уравнения (6) на единицу. Для круглого отверстия (а = b), согласно (3), k = 2. Это отличие становится несущественным при большой величине отношения a/b. Подставив в уравнение (3) выражение b = (a/)1/2, получим формулу для коэффициента концентрации напряжения трещины с кривизной  (7) Уравнение (7) указывает на параболическую зависимость между кривизной трещины  и концентрацией напряжения k при заданной величине a  = k2/4a. (8) Распределение ККН в плоскости координат a -  представлено на рис. 2. Видно, что концентрация напряжения растет при увеличении как длины, так и кривизны трещины. Уравнение (8) указывает на параболическую зависимость кривизны трещины  от концентрации напряжения k при заданной величине a (рис. 2): = k2/4a. Аналогичная зависимость выполняется между ККН и длиной трещины a при  = const: a = k2/4 Кривизна  = 10 мкм-1 (рис. 3) соответствует радиусу кривизны r = 0.1 мкм. При этом y перед трещиной с полудлиной a = 1 мм в 200 раз выше внешнего напряжения кривая . Увеличение длины трещины приводит к быстрому росту концентрации напряжения. У трещины с полудлиной a = 25 мм напряжение y перед трещиной превосходит приложенное напряжение  в 1000 раз (кривая . Рис. 2. Общий вид функции k = f(a, ) Рис. 3. Зависимости k от : a = 25 (кр. 1), 16 (кр. 2), 9 (кр. 3), 4 (кр. 4) и 1 мм (кр. 5) Рис. 4. Распределение функции y(x, ) На рис. 4 изображена поверхность у в виде функции двух переменных: координаты x и кривизны трещины . Конкретное значение кривизны  определяет соответствующее распределение у впереди трещины. Ряд таких распределений изображен на рис. 5. Видно, что увеличение кривизны трещины приводит к росту концентрации напряжения у вершины трещины. Чем выше , тем быстрее происходит падение напряжения вдоль оси x. Влияние кривизны существенно только вблизи вершины трещины. Например, для трещины с полудлиной a = 0.1 мм (рис. 5) влияние кривизны несущественно уже на расстоянии x  0.4 мкм. На рис. 6 представлены зависимости относительной величины y / от  на разных расстояниях недалеко от вершины трещины. При x = 0 (кривая 1) значение y / определяет концентрацию напряжения на конце полуоси a, которая подчиняется параболической зависимости (8) (кривая 1). Закономерность (8) выполняется только при значениях x = 0. Как видно из рис. 6, на расстоянии x  0 закон (8) нарушается. Рис. 5. Распределения y / от x для разных :  = 5 (кр. 1), 4 (кр. 2), 3 (кр. 3), 2 (кр. 4) и 1 мкм-1 (кр. 5) Рис. 6. Зависимости y / от для разных х: x = 0 (кр. 1), 0.1 (кр. 2), 0.2 (кр. 3), 0.3 (кр. 4), 0.4 (кр. 5) и 0.5 мм (кр. 6) 2. Трещина Гриффитса В основе механики разрушения твёрдых тел с трещинами лежат количественные соотношения, которые были предложены в работах Гриффитса [7], рассмотревшего трещину-разрез нулевой толщины. Принято считать, что классическая трещина Гриффитса имеет существенный недостаток - сингулярность поля напряжений в вершине трещины. Приближение к вершине вызывает неограниченный рост напряжения. Рассмотрим вопрос о сингулярности поля напряжений в твердом теле с трещиной Гриффитса подробнее. В работе [8] Ирвин рассмотрел задачу о распределении напряжений в окрестности трещины Гриффитса. Он показал, что в случае трещины первого типа (трещина отрыва, когда берега трещины расходятся без сдвига) величина y / вдоль оси растяжения у вершины трещины равна . (9) С другой стороны, из (1) при b = 0 следует, что . (10) Рис. 7. Распределение у согласно уравнениям (15) (кр. 1) и (14) (кр. 2) На рис. 7 кривая 1 относится к распределению у, согласно уравнению (10). Видно, что на далеких расстояниях поле напряжения у стремится к уровню внешнего напряжения y / = 1. Кривая 2 на рис. 7 представляет отношение y /, согласно уравнению (9), которое, как правило, используется при анализе напряженного состояния у вершины трещины [9]. Сравнение показывает, что на близком расстоянии от вершины трещины, когда x не превышает двадцатую долю полудлины a, значения у практически не отличаются друг от друга. Однако по мере удаления от вершины трещины кривая 2, в отличие от кривой 1, стремится не к величине внешнего напряжения , а к нулю, что противоречит действительности. На далеком расстоянии от трещины напряжение в пластине не может быть ниже внешнего напряжения. Таким образом, применение уравнений (9) ограничено условием x  a. Из уравнения эллипса вытекает соотношение y = = b[1 - (x/a)2]1/2. Подставив это значение в уравнение (2), получим выражение для смещений контура вдоль оси y: uy = (b+2a)[1 - (x/a)2]1/2/E. (11) При b→0 получается смещение берегов трещины: uy = 2a[1 -(x/a)2]1/2/E. Отсюда следует, что разрез под действием внешнего напряжения превращается в эллипс с малой полуосью b = 2a/E. Поскольку b ≠ 0, то у вершины трещины нет сингулярности и в нагруженной системе наблюдается концентрация напряжения k /. Для гипотетического материла с трещиной длиной а = 1 мм и модулем Юнга E = 210 ГПа (сталь) при внешнем напряжении растяжения = 210 МПа максимальное раскрытие берегов трещины Гриффитса будет равно 4 мкм, что в 250 раз меньше полудлины трещины. Напряжение в устье трещины превышает внешнее напряжение в 1000 раз. Таким образом, сингулярности напряжения в модели трещины Гриффитса нет. Однако это не облегчает решение практических задач. При малом приложенном напряжении у вершины трещины возникает концентрация напряжения, намного превышающая предел текучести материала. Следовательно, по-прежнему существует потребность в новых моделях трещины, позволяющих выяснять причину низкой прочности реальных материалов. Прежде всего требуется учет влияния пластической деформации на НДС твердого тела с трещиной. 3. Упругая энергия пластины с трещиной Найдем энергию упругой деформации пластины с эллиптическим вырезом при одноосном нагружении. Идентичность НДС пластины с эллиптическим вырезом и с очагом однородной пластической деформации позволяет определить работу внешнего напряжения на пластических смещениях. Согласно континуальной теории дефектов [6, 10], энергия поля напряжений равна энергии, рассеянной при релаксации напряжения в очаге пластической деформации, а именно , (12) где S = ab - площадь эллипса. Изменение длины трещины на 2da требует затрат энергии (13) По физическому смыслу G определяет «интенсивность высвобождения упругой энергии» при распространении трещины [11]. Величину G называют также движущей силой роста трещины. Ее размерность - энергия на единицу новой площади поверхности, возникающей при распространении трещины. Величина G является энергетической характеристикой трещиностойкости (вязкости разрушения) материала. Силовой характеристикой трещиностойкости хрупких материалов с трещиной отрыва является коэффициент интенсивности напряжений [10] (14) Выражения (13) и (14) обычно используются для определения энергетической и силовой характеристик трещиностойкости хрупких материалов с трещиной-разрезом Гриффитса. Наши расчеты показали, что эти уравнения справедливы и для трещин с любой кривизной на конце большой полуоси, не обязательно в виде эллипса. Заключение Во многих работах по определению НДС пластин с вырезами и трещинами рассматриваются, в основном, аналитические методы решения задач. Главное внимание обращается на максимальную концентрацию напряжения или на энергию упругой деформации. Понятие «коэффициент интенсивности напряжений» введено как силовая характеристика трещины Гриффитса с нулевым радиусом кривизны. Влияние ненулевого радиуса кривизны на НДС твердого тела с трещиной в литературе не обсуждается достаточно подробно. В настоящей работе рассмотрено механическое состояние пластины с трещиной в виде эллиптического выреза под действием внешнего напряжения . Трещина Гриффитса является частным случаем такой системы. Определены характеристики механического состояния пластины при одноосном нагружении: коэффициент концентрации напряжения, движущая сила роста трещины, коэффициент интенсивности напряжений. Выявлены общие закономерности механического состояния твердого тела с трещиной, не обязательно в виде эллипса, с кривизной на конце, а именно: 1. Концентрация напряжения подчиняется зависимости k = 2(a)1/2. 2. Влияние кривизны существенно лишь в непосредственной близости от трещины. 3. В действительности у трещины Гриффитса нет сингулярности на конце разреза. Под действием внешнего напряжения  трещина Гриффитса превращается в эллипс с малой полуосью b = = 2a/E. При этом в нагруженной системе наблюдается концентрация напряжения k , где E - модуль Юнга. 4. Показано, что распределение напряжения y = (0.5a/x)1/2, которое традиционно используют при анализе НДС пластины с трещиной Гриффитса, неверно уже на расстоянии, соизмеримом с полудлиной трещины. Более точным является уравнение y = (x + a)/(x2 + 2xa)1/2. 5. НДС пластины с эллиптической трещиной идентично НДС пластины с очагом однородной пластической деформации p(1 + a/b)/E. 6. Движущая сила роста трещины G и коэффициент интенсивности напряжений KI не зависят от кривизны трещины. Поэтому известные выражения G = a/E и KI =  (a)1/2, полученные для трещины Гриффитса, можно применять как характеристики трещиностойкости материала с трещиной, не обязательно в виде эллипса, с известной кривизной у вершины.

Скачать электронную версию публикации