Modulated Pseudo-hermitian dimer.pdf Введение Концепция PT-симметрии [1, 2], утверждающая, что неэрмитовые гамильтонианы могут обладать полностью вещественным спектром при определенных условиях, в настоящее время широко используется при разработке разнообразных оптических устройств со сбалансированным усилением и потерями, которые открывают новые возможности по эффективному управлению оптическими сигналами. Симметричное распределение областей усиления и потерь, а также показателя преломления приводит к неортогональности собственных мод, наличию потока энергии и точки бифуркации (особой точки) - так называемого порога нарушения PT-симметрии. Таким образом, PT-симметричные системы сочетают в себе свойства консервативных и активных систем и могут использоваться для усиления, фильтрации и переключения режимов функционирования систем [3-6]. Одной из особенностей PT-симметричных систем является наличие исключительной (особой) точки, которая разделяет режим функционирования системы на PT-симметричную фазу и фазу нарушенной симметрии и играет важную роль в линейной и нелинейной динамике [4, 7]. В PT-симметричной фазе сохраняется средняя мощность собственных мод, а в фазе с нарушенной симметрией наблюдается экспоненциальный рост мощности. Так, в работе [8] была продемонстрирована одномодовая генерация в связанных микрозеркальных лазерах вблизи исключительной точки, а также были реализованы системы повышенной чувствительности [9-11]. PT-симметричные структуры принадлежат к более широкому классу псевдоэрмитовых систем с полностью вещественным спектром [12-14]. Псевдоэрмитовые системы предоставляют дополнительные возможности по управлению сигналами, поскольку не накладывают специальных условий симметрии. Цель данной работы - изучение свойств и особенностей псевдоэрмитового модулированного димера - пары связанных волноводов с усилением и потерями, изменяющимися вдоль оси волноводов, а также определение его потенциальных возможностей по управлению световыми сигналами. Отметим, что частным случаем такой системы является PT-симметричный димер - простейшая конфигурация PT-симметричной оптической системы. Однако даже такая система уже может демонстрировать важные новые физические явления [15-17]. Модулированные PT-симмет¬ричные системы исследовались в работах [18, 19]. Так, в работе [18] рассматривался PT-симметрич¬ный димер с модуляцией показателя преломления, а в [19] - решетка волноводов с временной модуляцией областей с усилением и потерями. Предложенная нами структура представляет собой последовательную комбинацию PT-симметричных димеров и ранее не исследовалась. Модель и свойства псевдоэрмитового димера Рассмотрим два связанных оптических волновода, т.е. оптический димер, у которого физические параметры изменяются вдоль оси. Такими параметрами могут быть показатель преломления [18, 20], а также коэффициент усиления и потерь. Частный случай такой системы, который будет исследован в настоящей работе, схематично изображен на рис. 1. Рис. 1. Схематичное изображение псевдоэрмитового модулированного димера. Серым цветом обозначены участки с усилением, а белым - с потерями; C - коэффициент связи, определяемый расстоянием между волноводами Распространение сигнала в данной системе в случае отсутствия дисперсии может быть описано в терминах медленно меняющихся амплитуд мод с помощью уравнения , (1) где a1 и a2 - амплитуды мод; V1,2(z) - комплексный потенциал; C - коэффициент связи, определяемый расстоянием между волноводами. Для того чтобы данная система являлась PT-симметричной, ее гамильтониан должен быть одновременно инвариантен относительно преобразования P и T, где P - оператор пространственной симметрии, который действует как , а оператор T изменяет направление и осуществляет комплексное сопряжение. Отсюда следует условие на потенциал системы , где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Обычно потенциал V рассматривается как постоянная величина, не зависящая от z, однако в данной работе исследуется модулированная периодическая структура, в которой период состоит из двух PT-симметричных димеров. Для начала напомним свойства PT-симметричного димера. Потенциал V1,2(z) представим в виде где - величина усиления (потерь), - константа распространения. Тогда условие PT-симметрии будет выполнено, если и . Для простоты предположим, что волноводы имеют одинаковый показатель преломления, поэтому можно считать 1,2 = 0. Представим уравнение (1) в виде , (2) где T - матрица перехода, преобразующая сигнал на входе в сигнал на выходе . Данную матрицу можно получить, решив уравнение (1): . (3) Здесь 1 и 2 - собственные значения; a1 и a2 - собственные векторы (столбцы) матрицы ; L - длина димера. В особенном случае, когда коэффициент усиления  равен коэффициенту связи C, собственные значения, а также векторы совпадают и система находится в так называемой точке нарушения PT-симметрии. Тогда матрица перехода запишется как , где E - единичная матрица. Отметим, что в PT-симметричном димере, когда система находится в PT-симметричной фазе ( ), мощность собственных мод сохраняется вдоль оси z, в то время как мощность произвольного входящего сигнала колеблется вокруг некоторого среднего значения с периодом . (4) Это связанно с тем, что собственные моды димера не ортогональны [4]. Для фазы нарушенной симметрии характерен экспоненциальный рост мощности после некоторого переходного процесса. Изучим далее модулированный периодический димер, один период которого состоит из двух PT-симметричных сегментов (см. рис. 1). Очевидно, что псевдоэрмитовый димер, образованный повторяющимися двухсегментными димерами, обладает теми же самыми собственными модами. Поэтому для простоты рассмотрим один период димера с матрицей перехода , где T1,2 - матрицы перехода первого и второго сегмента соответственно. Чтобы определить области параметров, в которых система сохраняет энергию собственных мод, вычислим значение параметра : (5) в зависимости от параметров усиления и потерь  и параметра связи C. Здесь 1 и 2 - собственные числа матрицы Ttot. Используя формулу (3), можем получить аналитические выражения для данных чисел, которые здесь не приводятся из-за громоздкости. Если значение параметра  равно нулю, то собственные моды сохраняют свою мощность после прохождения через составной димер (т.е. средняя мощность по периоду сохраняется), в то время как для случая мощность мод не сохраняется. Пусть общая длина одного периода равна единице, тогда для разных соотношений между длинами первого и второго сегмента получается результат, представленный на рис. 2. Рис. 2. Соотношение собственных чисел матрицы Ttot, . Области параметров, в которых собственные моды димера сохраняют среднюю мощность, отображены белым цветом; а - соотношение между сегментами димера 1:0 (PT-симметричный димер), б - соотношение 1:1 (PT-симметричный модулированный димер), в - соотношение 4:1 Для PT-симметричного димера условие нарушения PT-симметрии известно, (рис. 2, а), в то время как для модулированного PT-симметричного димера, когда соотношение между двумя сегментами равно 1:1 (рис. 2, б), зависимость не тривиальна. Еще более сложная зависимость наблюдается в случае, показанном на рис. 2, в, где соотношение сегментов было выбрано 4:1. Отметим, что существуют области параметров, где собственные моды не сохраняют свою мощность, несмотря на то, что оба сегмента в отдельности находятся в PT-симметричной фазе, . Верно и другое - собственные моды могут сохранять свою мощность, даже если оба сегмента находятся в фазе нарушенной симметрии, . Интересно, что если зафиксировать параметр С и при этом изменять величину усиления и потерь , то можно заметить, что параметр несколько раз пересекает границу белой области (области устойчивости) на рис. 2, б и в. Это означает, что псевдоэрмитовый модулированный димер имеет несколько особых точек. Динамика сигнала в псевдоэрмитовом димере Для того чтобы исследовать отмеченный выше факт, построим динамику сигнала, распространяющегося внутри димера, с соотношением сегментов 4:1 для нескольких наборов параметров. Для лучшей наглядности рассмотрим два периода псевдоэрмитового димера. На рис. 3 представлена динамика мощности P в первом и втором волноводах и соответственно, а также их суммарная мощность для следующих случаев: C = 2,  = 3 (а); C = 3,  = 2 (б); C = 4,  = 1 (в). Рис. 3. Эволюция мощности сигнала в псевдоэрмитовом димере. Штриховая линия - мощность в первом волноводе, пунктирная - во втором, сплошная - их суммарная мощность. Вертикальная линия отмечает один период псевдоэрмитового димера. Параметры: а - C = 2,  = 3; б - C = 3,  = 2; в - C = 4,  = 1 На рис. 3, а оба сегмента находятся в фазе нарушенной симметрии, однако мощность сигнала после прохода через димер собственной моды не изменяется. На рис. 3, б, напротив, оба сегмента находятся в PT-симметричной фазе, однако мощность собственной моды изменятся. Собственные моды могут быть получены из уравнения (3). На рис. 3, в оба сегмента также находятся в PT-симметричной фазе, при этом параметр  = , однако представлена эволюция некоторого произвольного начального состояния , которое не сохраняет свою среднюю мощность. Рассмотрим данные примеры более подробно. В случае, когда оба сегмента находятся в фазе нарушенной симметрии (рис. 3, а), для сохранения мощности сигнала второй сегмент должен компенсировать влияние первого. Это возможно благодаря тому, что в данной фазе сигнал концентрируется в волноводе с усилением [15, 16], а после прохождения через первый сегмент усиление заменяется потерями, что приводит к обратному перетеканию мощности сигнала. Другой случай, представленный на рис. 3, б, реализуется из-за того, что собственные моды двухсегментного димера не могут совпадать с собственными модами любого из PT-симметричных димеров. Однако на каждом из участков они выражаются в виде суперпозиции мод того или иного сегмента. Как отмечалось ранее, данная суперпозиция представляет собой биение с периодом, определяемым формулой (4). Поэтому соотношение между длинами сегментов, а также периодом биения играет ключевую роль в данном случае. Отметим важное отличие PT-симметричного димера от двухсегментного псевдоэрмитового: в PT-симметричной фазе PT-симметричный димер сохраняет среднюю мощность для любого входящего сигнала, в то время как псевдоэрмитовый димер сохраняет среднюю мощность только для собственных мод. На рис. 3, в видна эволюция мощности некоторого произвольного входящего сигнала, не совпадающего ни с одной из собственных мод. Таким образом, чтобы двухсегментный димер сохранял среднюю мощность любого входящего сигнала в PT-симметричной фазе, длина каждого из сегментов должна быть кратна периоду биения (4). Данные особенности должны быть учтены при использовании псевдоэрмитового димера для управления сигналами в оптических системах. Выводы Исследован псевдоэрмитовый модулированный димер, один период которого состоит из двух PT-симметричных сегментов. Определены области параметров, где собственные моды сохраняют свою мощность. Показано, что такой димер имеет несколько особых точек, что позволит использовать его для переключения режимов функционирования оптических систем в нелинейном случае. Установлено, что моды димера могут сохранять среднюю мощность по периоду даже в случае, если каждый из сегментов находится в фазе нарушенной симметрии. Также возможен случай, когда каждый сегмент находится в PT-симметричной фазе, но средняя по периоду мощность целого димера не сохраняется. Данные особенности были проанализированы и установлена связь с периодом биения отдельных PT-симметричных сегментов. Предложена реализация псевдоэрмитового димера, который сохраняет среднюю мощность любого входящего сигнала. Рассмотренная в работе структура может быть использована в составе фотонных решеток для усиления, фильтрации и переключения режимов в нелинейном случае. Идея, изложенная в работе, об использовании PT-симметричных сегментов в составе оптических систем, не являющихся в целом PT-симметричными, может найти применение в области микрорезонаторов, волоконных лазеров, многоядерных волокон и др.

Скачать электронную версию публикации