A theoretical method for calculating the line profiles in atomic emission spectra in alternating electric fields.pdf Введение Методы атомной спектроскопии широко используются для диагностики процессов, протекающих в плазме. Существуют методы для оценки температуры электронов плазмы из интенсивностей спектральных линий, а также из доплеровского уширения спектральных линий [1 и ссылки в ней]. Исходя из доплеровского уширения спектральных линий с пренебрежимо малым штарковским уширением, можно измерить тепловые и направленные скорости движения атомов [2]. Плотность электронов в плазме определяется из штарковских профилей спектральных линий [3]. В случае переменного электрического поля достаточно точная диагностика плотности электронов в плазме может быть осуществлена только на основании штарковских ширин линий водородного спектра или линий ионизованного гелия [1, 2, 4]. Если использование этих линий невозможно, проблема получения достоверной оценки плотности электронов из атомных спектров сильно усложняется. При расчете плотностей электронов из штарковских профилей атомных спектральных линий необходимо знание константы уширения С4 при квадратичном эффекте Штарка. Расчет константы сопряжен со значительными трудностями, вследствие чего для ее определения предлагаются различные формулы. В частности, в [4 и ссылки в ней] предложена формула расчета С4 через силу осциллятора для данной линии, но эта формула дает большую погрешность. Уточнение формулы за счет учета большего числа переходов приводит к значительному усложнению расчетов [5]. Упрощенная формула для расчета С4, предложенная в [6], пригодна только для статического электрического поля в диапазоне изменения напряженности электрического поля в области 100 кВ/см, при этом зависимость константы штарковского уширения от частоты электрического поля в [6] не определена. В данной работе для моделирования профилей линий в спектрах излучения атомов в переменном циркулярно поляризованном электрическом поле предложен унифицированный теоретический подход. Этот подход свободен от ограничений теории возмущений и справедлив в широкой области изменения частоты и напряженности электрического поля. Для расчета константы уширения С4 при квадратичном эффекте Штарка мы предлагаем формулу, в которой зависимость этой константы от напряженности и частоты электрического поля имеет явный вид. Алгоритм метода реализован в пакете компьютерных программ StarkD, написанном на FORTRAN и Maple. В рамках предложенного подхода было проведено моделирование спектра атома He в переменном электрическом поле. Метод расчета При расчетах спектроскопических характеристик атомов, находящихся под воздействием переменного электрического поля, волновые функции и энергии атомов определяются из решения нестационарного уравнения Шредингера. В случае циркулярно поляризованного электрического поля нестационарное уравнение Шредингера записывается в виде (1) где - гамильтониан невозмущенного атома; F и ω - напряженность и частота электрического поля. Известно [7 и ссылки в ней], что в случае циркулярной поляризации поля возможен переход от нестационарного уравнения Шредингера (1) к стационарному уравнению Шредингера. Такой переход можно осуществить в рамках приближения вращающейся волны [8]. В этом приближении волновая функция в системе координат, вращающейся вокруг оси Z с частотой электрического поля ω, записывается в виде , (2) где Jz есть z-компонента оператора полного углового момента. После подстановки волновой функции (2) в уравнение (1) получим стационарное уравнение Шредингера , (3) где Q - оператор энергии атома в электрическом поле, не зависящий от времени; n и - энергия и волновая функция n-го состояния атома в электрическом поле во вращающейся системе координат. Многочисленные попытки решить уравнение (3) в рамках стационарной теории возмущений оказались неудачными в силу ограничений теории возмущений и вычислительных трудностей [7]. В рамках нашего подхода уравнение Шредингера (3) решается численно методом диагонализации матрицы энергии атома в электрическом поле и профили спектральных линий атомов в спектрах излучения, возбуждаемых электрическим полем, определяются из трехшаговой процедуры. 1 шаг процедуры. Энергии εn и волновые функции φn(r) атома, возбуждаемого электрическим полем, в приближении вращающейся волны определяются из процедуры диагонализации матрицы Q, рассчитанной в представлении функций невозмущенного атома . Элементы матрицы имеют вид , (4) , (5) где и - волновая функция и энергия n-го состояния атома в отсутствие электрического поля; Dx - x-компонента оператора дипольного момента. После диагонализации матрицы энергии Q мы получаем энергии εn (6) и волновые функции φn(r) атома, возбуждаемого электрическим полем, во вращающейся системе координат. Для возвращения в первоначальную систему координат необходимо провести усреднение по периоду колебаний электрического поля. После усреднения волновые функции и средние энергии атома в электрическом поле в первоначальной системе координат записываются как , (7) (8) Здесь Cnk - коэффициенты разложения волновых функций рассматриваемого атома, находящегося под воздействием электрического поля, по невозмущенным волновым функциям . 2 шаг процедуры. Волновые функции (7) и энергии (8) используются для расчета спектроскопических характеристик атома, необходимых для моделирования профилей спектральных линий атомов в электрическом поле. К таким характеристикам относятся положения штарковских компонент спектральных линий, вероятности переходов между штарковскими состояниями атомов и интенсивности штарковских компонент. Положения штарковских компонент спектральных линий рассчитываются по формуле , (9) где энергия штарковского состояния JM рассчитывается по формуле (8). Вероятности спонтанных переходов между штарковскими состояниями атома JM и JM определяются по формуле (10) где и - коэффициенты разложения из уравнения (7); - частота JM  JM-перехода. Подробности расчета редуцированных матричных элементов в уравнениях (5) и (10) приведены в [9, 10]. Интенсивности штарковских компонент спектральных линий рассчитываются как , (11) где NJM - заселенность штарковского состояния JM. Расчет заселенностей NJM является очень сложной задачей, так как их точные значения неизвестны, а приближенные оценки этих величин могут быть получены только в рамках некоторых приближений. Выбор конкретного приближения определяется механизмом возбуждения спектра. В частности, для равновесной и ЛТР плазмы заселенности штарковских состояний рассчитываются, исходя из распределения Больцмана. В случае неравновесной плазмы для оценки заселенностей штарковских состояний могут быть использованы статическое и динамическое приближения [11]. Динамическое приближение пригодно при давлениях 10-4 Торр, статическое приближение дает удовлетворительные результаты при давлениях до 10-2 Торр. В горячей плазме при высоких давлениях магнитные подуровни зачастую заселяются равномерно [12]. В рамках нашего подхода заселенности штарковских состояний могут быть рассчитаны в любом из вышеперечисленных приближений. 3 шаг процедуры. На этом этапе спектроскопические характеристики, полученные на втором шаге процедуры, используются для расчета профилей штарковских компонент спектральных линий атомов. Расчет этих профилей проводится по формуле (12) где I0 - интенсивность штарковской компоненты в ее максимуме, рассчитываемая по фор¬муле (11); φ(ω) - функция, определяющая тип профиля компоненты: лоренцевский, доплеровский или фойгтовский. Лоренцевский профиль описывается формулой , (13) где I0 - интенсивность штарковской компоненты спектральной линии в ее максимуме; - лоренцевская ширина штарковской компоненты. Как известно, лоренцевская ширина линии есть сумма ширин, обусловленных различными столкновительными процессами: , (14) где Δωr - естественная ширина линии; Δωc - уширение, обусловленное столкновением частиц, а уширение ΔωS обусловлено влиянием электрического поля за счет квадратичного эффекта Штарка. Доплеровский профиль штарковской компоненты спектральной линии рассчитывается по формуле , , (15) где I0 ¬- интенсивность штарковской компоненты в ее максимуме, - средняя тепловая скорость атомов. Доплеровская ширина штарковской компоненты определяется формулой . Фойгтовский профиль штарковской компоненты спектральной линии, являющийся сверткой доплеровского и лоренцевского профилей, описывается формулой , , , (16) где рассчитывается по формуле (11) и определяет интенсивность штарковской компоненты спектральной линии в ее максимуме в электрическом поле частоты ω и напряженности F. Таким образом, профиль каждой штарковской компоненты определяется формулой (16). Следует отметить, что формулы для расчета естественной Δωr и столкновительной Δωc ширин известны [4, 5 и ссылки в них] и значения ширин, полученные по ним, хорошо согласуются с экспериментальными данными. Однако при расчете уширения, связанного с воздействием электрических полей, возникают значительные проблемы. Сама формула для расчета штарковской ширины спектральной линии при квадратичном эффекте Штарка широко известна [4]: , (17) где Nе - концентрация электронов; V - средняя скорость электронов; С4 - константа уширения для квадратичного эффекта Штарка. Значительные проблемы возникают при расчете константы С4. В попытках преодолеть эти проблемы для расчета константы штарковского уширения были предложены различные формулы. В частности, в [4] предложена формула , (18) где f,  - сила осциллятора и частота перехода с верхнего уровня изучаемой линии на ближайший к нему уровень, на который возможен дипольный переход. Однако, как отмечается в [4], при использовании формулы (18) погрешность расчета штарковской ширины линии очень велика. Для уменьшения погрешности расчета необходимо учесть и другие дипольные переходы. В этом случае формула (18) принимает вид [5] . (19) Использование формулы (18) приводит к уменьшению погрешности расчета штарковской ширины линии, однако расхождение расчетных и экспериментальных данных по-прежнему достаточно велико. Для наилучшего согласия теоретических и экспериментальных штарковских ширин спектральных линий необходимо учесть поправки на неадиабатичность столкновений [4, 5], что приводит к значительному усложнению расчетов. Следует отметить, что во многих работах, в частности [3, 5, 6], штарковская ширина спектральной линии рассчитывается как , (20) т.е. штарковские ширины, рассчитанные по формулам (17) и (20), отличаются более чем в 3 раза. Поскольку расчет константы С4 по формуле (18) является весьма неточным, а расчет по формуле (19) с учетом поправок на неадиабатичность столкновений является слишком громоздким, в работе [6] для расчета константы уширения для квадратичного эффекта Штарка была предложена более простая формула С4 = 6.2∙10-14ΔE100 , (21) где ΔE100 - сдвиг спектральной линии в электрическом поле напряженности F = 100 кВ/см. Достоинством этой формулы является простота расчета и, возможно, неплохое согласие рассчитанных с ней штарковских ширин с экспериментальными данными для электрических полей ~ 100 кВ/см. Однако при необходимости расчета штарковских ширин спектральных линий в электрических полях с напряженностями, далекими от указанной F = 100 кВ/см, погрешность расчета будет неизбежно велика. Кроме того, формула (21) непригодна для расчета константы штарковского уширения в переменных электрических полях, поскольку зависимость ΔE100 от частоты электрического поля неизвестна. В данной работе для расчета константы C4 при уширении штарковской компоненты спектральной линии переменным электрическим полем мы используем формулу , (22) где - сдвиг штарковской компоненты в электрическом поле напряженности F и частоты ω относительно положения спектральной линии в отсутствие электрического поля. Отсюда следует, что константа C4, рассчитанная по формуле (22), зависит от частоты и напряженности электрического поля явным образом. Использование формулы (22) позволяет быстро и достаточно точно вычислить константу уширения для квадратичного эффекта Штарка. Таким образом, расчет профилей штарковских компонент проводится по формулам (9) - (11), (16), (17) и (22). Полный профиль спектральной линии в электрическом поле рассчитывается как сумма профилей штарковских компонент рассматриваемой линии. Отметим, что ранее мы рассчитывали профили спектральных линий криптона в переменном циркулярно поляризованном электрическом поле [13]. Однако в [13] влияние электрического поля учитывалось только при расчете положений и интенсивностей штарковских компонент спектральных линий, при этом сам штарковский профиль линии не рассчитывался. В данной работе расчет штарковских профилей линий проводится по приведенным в данном разделе формулам. Как следует из вышеизложенного, предлагаемый нами теоретический подход свободен от ограничений, накладываемых в теории возмущений на напряженность и частоту электрического поля. В отличие от теории возмущений, где состояния атома в электрическом поле рассматриваются как изолированные, в рамках нашего метода взаимодействие всех штарковских состояний, входящих в энергетическую матрицу, учитывается автоматически вследствие их определения из диагонализационной процедуры. Предложенный теоретический подход позволяет рассчитать профили спектральных линий атомов не только в циркулярно поляризованном, но и в линейно-поляри¬зованном электрическом поле, так как линейное электрическое поле может быть представлено как суперпозиция двух циркулярно поляризованных полей противоположной поляризации. Для расчета профилей спектральных линий в электрическом поле был написан специальный модуль прикладных программ на Maple. Выбор данного математического пакета обусловлен удобствами одновременного расчета и визуализации лоренцевских, доплеровских и фойгтовских профилей спектральных линий в электрическом поле. Входными данными этого модуля являются положения штарковских компонент, вероятности переходов и интенсивности штарковских компонент, рассчитанные нашим пакетом программ StarkD, написанном на FORTRAN. Таким образом, пакет StarkD получил расширение для расчета профилей спектральных линий атомов в электрическом поле. Результаты и их обсуждение Надежность и эффективность предложенного теоретического подхода была проверена при расчете профиля спектральной линии 31D2 - 21P1 атома He, которая наблюдалась при излучении плазмы токового слоя как в линейном, так и в циркулярно поляризованном электрическом поле [12]. В [12] были указаны параметры плазмы, при которых регистрировалась эта линия: температура атомов T = 1.42 эВ, плотность электронов Ne = 1016 см-3 и параметры электрического поля F = 105-120 кВ/см, ω = 103 МГц. Наш расчет проводился при тех же значениях T, Ne и ω. Наилучшее совпадение рассчитанных нами контуров с контурами [12] достигается при напряженности электрического поля F = 115 кВ/см. Основную роль в формировании профилей спектральных линий, излучаемых плазмой, играют доплеровское и штарковское уширение линий, поэтому в наших расчетах мы учитывали только эти два механизма уширения. Результаты сравнения рассчитанных профилей спектральной линии 31D2 - 21P1 с результатами [12] приведены на рис. 1, где сплошная (наш расчет) и штриховая ([12]) кривые есть полные профили спектральной линии 31D2 - 21P1. Кривые, изображенные точками на рис. 1, а, есть фойгтовские профили штарковских компонент данной спектральной линии, рассчитанные по формуле (16). Значение ω = 0 на оси абсцисс соответствует положению спектральной линии в отсутствие электрического поля. Из полученных результатов следует, что воздействие электрического поля приводит к сдвигу спектральной линии в инфракрасную область, при этом наблюдается асимметрия профиля спектральной линии, обусловленная сдвигом штарковских компонент (рис. 1, а). Как видно из рис. 1, профили спектральной линии, рассчитанные в рамках нашего теоретического подхода, отлично согласуются с экспериментальными результатами [12] как для линейного (рис. 1, а), так и для циркулярного (рис. 1, б) электрического поля. Это согласие подтверждает эффективность и надежность нашего метода, предлагаемого для моделирования профилей спектральных линий. Рис. 1. Профиль спектральной линии 31D2 - 21P1 в циркулярном электрическом (а) и линейном электрическом поле (б) с параметрами F = 115 кВ/см, ω = 103 МГц Расчет и построение профилей спектральных линий атома He с пакетом StarkD занимает несколько минут, что позволяет на основании смоделированных спектров быстро и легко проводить диагностику излучающей среды. Таким образом, развитый теоретический подход является эффективным и надежным инструментом для моделирования поведения профилей атомных спектральных линий в зависимости от изменения параметров электрического поля, температуры атомов и электронной плотности. В качестве иллюстрации возможностей пакета StarkD приведем примеры таких зависимостей для различных спектральных линий гелия. На всех дальнейших рисунках в данной статье представлены контуры спектральных линий, рассчитанные для циркулярно поляризованного электрического поля. На рис. 2 и 3 приведены результаты моделирования поведения спектральных линий атома He в зависимости от напряженности и частоты электрического поля. Из рис. 2 видно, что увеличение напряженности электрического поля приводит к сдвигу спектральной линии 41D2 - 21P1 в инфракрасную область, интенсивность спектральной линии сначала слегка увеличивается (при F = = 40 кВ/см), затем падает. При большой напряженности электрического поля (F = 80 кВ/см) спектральная линия становится асимметричной. Дальнейшее увеличение напряженности поля приводит к расщеплению спектральной линии на штарковские компоненты. Рис. 3 показывает, что увеличение частоты электрического поля приводит к сдвигу спектральной линии 61D2 - 21P1 в ультрафиолетовую область, интенсивность линии заметно растет при увеличении частоты электрического поля с 102 до 106 МГц. При ω = 107 МГц интенсивность линии падает почти в 2 раза по сравнению с ее интенсивностью при ω = 106 МГц и становится даже меньше, чем интенсивность линии при ω = 102 МГц, линия резко уширяется и становится асимметричной. Рис. 2. Эволюция профиля спектральной линии 41D2 - 21P1 при изменении напряженности электрического поля (ω = 103 МГц, T = = 1.42 эВ, Ne = 1016 см-3) Рис. 3. Эволюция профиля спектральной линии 61D2 - 21P1 при изменении частоты электрического поля (F = 1.2 кВ/см, T = 0.14 эВ, Ne = 1013 см-3) На рис. 4 и 5 приведены результаты моделирования поведения спектральных линий атома He в зависимости от плотности электронов и температуры атомов. Рис. 4 демонстрирует ожидаемое уширение спектральной линии 41P1 - 21S0 при увеличении электронной плотности, вследствие чего интенсивность линии падает с ростом Ne. Смещения спектральной линии при изменении электронной плотности в рассматриваемом диапазоне не наблюдается. Рис. 4. Поведение профиля спектральной линии 41P1 - 21S0 при изменении электронной плотности (F = 80 кВ/см, ω = 103 МГц, T = 2 эВ) Рис. 5. Поведение профиля спектральной линии 41D2 - 21P1 при изменении температуры атомов гелия (F = 100 кВ/см, ω = = 103 МГц, Ne = 1016 см-3) Как видно из рис. 5, увеличение температуры атомов приводит к уширению профиля спектральной линии 41D2 - 21P1, уменьшению интенсивности и исчезновению асимметрии данной линии. Этот эффект объясняется тем, что доплеровская ширина каждой штарковской компоненты спектральной линии увеличивается с ростом температуры. Кроме того, увеличение температуры атомов приводит к небольшому сдвигу спектральной линии в инфракрасную область. В заключение следует отметить, что приведенные результаты моделирования спектральных линий являются иллюстративными, при необходимости подобные расчеты могут быть проведены для любых линий спектра излучения атома гелия в переменном электрическом поле. Заключение Как показали наши расчеты, предложенный теоретический подход, реализованный в пакете StarkD, представляет собой эффективный и надежный инструмент для моделирования профилей линий в спектрах излучения атомов в переменных электрических полях. Этот метод свободен от ограничений теории возмущений и пригоден в широких областях изменения частоты и напряженности электрического поля. Широкие возможности развитого подхода полезны при решении многих практических задач диагностики плазмы, магнитного пересоединения и во всех отраслях физики, где необходимо исследовать влияние переменных электрических полей на свойства объекта изучения спектроскопическими методами. Кроме этого, предложенный метод может быть полезен при разработке новых источников излучения или при поиске оптимального режима работы уже существующих источников излучения.

Скачать электронную версию публикации