About the correction of the stokes’s force on Knudsen’s number.pdf Введение Вопрос, на котором нам хотелось бы сейчас остановиться, относится к общим проблемам классической гидродинамики, и ответ на который мы не нашли ни в одной из множества монографий, посвященных гидродинамической теории жидкостей и газов [1-42]. Речь идет о вычислении поправки к силе сопротивления Стокса в виде аддитивных слагаемых по числу Кнудсена, определяемого стандартным образом как , где длина свободного пробега молекул жидкости или газа, радиус шара. Наше любопытство к этому вопросу продиктовано вовсе не случайным, а вполне закономерным интересом. И связано это с тем, что в последнее время довольно модными объектами исследования становятся наночастицы, размер которых лежит в диапазоне 10-4-10-6 см. Когда речь заходит о такого порядка размерах, классической формулой Стокса воспользоваться довольно проблематично, поскольку в этом случае длина свободного пробега молекул жидкости (или газа) оказывается сравнимой с диаметром наночастицы. Именно в этой связи мы и задались вопросом, как вычислить поправку к силе Стокса в виде некоторой функции от числа Кнудсена. Чтобы ответить на поставленный вопрос, удобно воспользоваться хорошо проверенным как теорией, так и практикой методом кинетического уравнения Больцмана [43-45]. С его помощью мы подробно остановимся на выводе уравнения Навье - Стокса, в котором учтем все дополнительные слагаемые с точностью до членов порядка по времени релаксации , где импульс молекулы. Сказанное с очевидностью приведет нас к ожидаемому ответу на поставленный вопрос. В свете этого удобно разбить статью на две части. Первая часть будет посвящена выводу обобщенного уравнения Навье - Стокса, применимого не только к обычным телам, но и к наночастицам, а во второй части мы вычислим поправку к силе Стокса по числу Кнудсена , которая будет строго обоснована учетом дополнительного бигармонического по оператору Лапласа слагаемого. 1. Вывод уравнения Навье - Стокса с учетом бигармонического оператора Представим классическое уравнение Больцмана в обычном виде [46] , (1) где искомая функция распределения; скорость молекул; интеграл столкновений. Традиционно, как это принято в теории кинетических уравнений, решение уравнения (1) будем искать в виде ряда , (2) где квазиравновесная функция распределения , (3) отсюда нормировочный множитель . (4) Здесь элемент фазового объема; равновесная функция распределения ; кинетическая энергия молекулы; ее масса; интегрирование ведется по всему импульсному пространству, элемент объема которого есть ; элемент объема декартового пространства. Постоянную Больцмана здесь и везде далее будем полагать равной единице, вектор представляет собой скорость гидродинамического потока, которым увлекаются молекулы жидкости, функции представляют собой искомые поправки к квазиравновесной функции распределения, которые следует найти. Для решения поставленной задачи правую часть уравнения (1) представим в приближении времени релаксации как , (5) где как уже отмечалось, есть время между столкновениями молекул. Прежде, чем искать поправки в (2), нам следует записать общий принцип получения уравнений движения для случая, когда . Если бы температура была равна нулю, то уравнение движения легко получить из принципа сохранения полной мощности системы аналогично тому, как это было сделано, например, в работах [47, 48], т.е. исходя из условия , (6) полная энергия потока жидкости имеет вид , т.е. , (7) а диссипативная функция , (8) где энтропия. В случае же, когда , уравнение (6) не годится, и мы должны записать вместо него уравнение . (9) Здесь свободная энергия Гиббса. При отсюда имеем . (10) Согласно, например, [49], энтропию неравновесного классического больцмановского газа можно представить в виде . (11) Подставляя определение (11) в (8), получаем . (12) Подставляя теперь (7) и (12) в (10), находим . (13) Следуя (5), можно написать, что . И поэтому из (13) получаем . (14) По аналогии с тем, как это сделано, например, в работе [49], рекуррентную формулу для определения любой поправки n-го порядка к квазиравновесной функции распределения можно представить в виде . (15) Что касается разложения логарифма, фигурирующего в (13), то для него справедливо следующее соотношение: . (16) В рамках поставленной задачи нас будет интересовать решение с точностью только до в формуле (15). Поэтому имеем ; (17) , (18) где точки над означают частные производные по времени соответствующего порядка. Составляя относительные величины и с учетом явных выражений (17), (18) и (3), найдем после простых действий . (19) Поскольку нас интересуют дополнительные по слагаемые, выражение (19) должно быть записано с точностью до членов порядка . Поэтому, согласно (3), имеем , (20) и, значит, (21) Аналогично находим . (22) И, значит, с учетом (20) (23) Теперь с помощью (21) и (23) уравнение (14) можно записать как (24) После возведения в квадрат выражения в фигурных скобках (24) имеем с точностью до членов порядка Оставляя в этом уравнении только квадратичные по импульсу слагаемые (комментарий по этому поводу см. чуть ниже), имеем (25) В уравнении (25) интегрирование по импульсам удобно проводить в сферической системе координат. Поэтому, как следствие, у нас возникает интегрирование по телесному углу , где угловые переменные меняются в пределах . Это означает, что при возведении в квадрат подынтегрального выражения в (21) у нас появляются усреднения от произведений как четных степеней импульса, так и нечетных. При этом, что вполне очевидно, все средние от нечетного произведения импульсов будут равны нулю, а отличными от нуля оказываются только средние вида , где черта сверху и означает усреднение по угловым переменным. Легко проверить, что при этом «работают» следующие правила усреднения: (26) где символ Кронекера. В результате простых по сути, но довольно громоздких преобразований, учитывающих правила усреднения (26), уравнение (25) приводится к виду (27) где элемент объема. После применения в уравнении (27) приема интегрирования по частям с помощью теоремы Гаусса с целью выделения в явном виде скорости , например, как , считая, что интеграл по поверхности исчезает благодаря граничному условию , где нормаль к поверхности, получаем из (27) (28) Второе и четвертое слагаемые в квадратных скобках могут быть также преобразованы с помощью интегрирования по частям, но теперь уже по времени, несмотря на тот факт, что интегрирование по времени в (28) отсутствует. Этот прием становится вполне понятным, если вспомнить, что любое уравнение движения получается с помощью применения классического действия Лагранжа [50]. В результате уравнение (28) сводится к такому виду: Полагая здесь выражение в фигурных скобках равным нулю, приходим к обобщенному уравнению Навье - Стокса (29) где черта сверху означает усреднение по импульсам молекул. Считая жидкость несжимаемой, т.е., полагая и пренебрегая высшими производными по времени, находим отсюда искомое уравнение . (30) Здесь кинематическая вязкость и время определены как (31) где новый нормировочный множитель . (32) Добавляя в уравнение (30) член с градиентом давления, окончательно приходим к следующему обобщенному уравнению Навье - Стокса: . (33) Применим теперь уравнение (33) с целью вычисления поправок к силе Стокса по числу Кнудсена. 2. Поправка к силе Стокса по числу Кнудсена Для решения поставленной задачи, так же как и в задаче Стокса, будем рассматривать стационарный гидродинамический поток, движущийся с постоянной скоростью , который ламинарно обтекает неподвижный шар радиуса . Уравнение (33) в этом случае принимает значительно более простой вид , (34) где динамическая вязкость. Традиционно (см. [36]) будем искать скорость в единственно возможном виде (доказательство этого факта подробно приводится в работе [42]) . (35) Здесь скорость потока на бесконечности; искомая функция. Взяв операцию от обеих сторон уравнения (34), получаем с учетом (35) , что автоматически приводит нас к уравнению . (36) Вводя сокращенное обозначение , (37) приходим к уравнению . (38) Его радиальное решение есть , (39) где константы интегрирования. Подставляя теперь решение (39) в уравнение (37), приходим к уравнению . (40) Оставляя в операторе Лапласа чисто радиальную часть, находим . (41) Здесь штрихи указывают на дифференцирование по , а новый параметр и по физическому смыслу представляет собой некоторую эффективную длину свободного пробега молекул жидкости. Решим вначале однородное уравнение, т.e. . С помощью перехода к новой функции благодаря простой подстановке , (42) где безразмерный аргумент введен по правилу , (43) приходим к уравнению . (44) Решение этого уравнения представляет собой функцию Бесселя от мнимого аргумента, т.е. . (45) Здесь константы интегрирования. Поэтому из (42) следует, что . (46) Считая теперь константы функциями от , благодаря методу вариации постоянных легко найти теперь решение неоднородного уравнения (41). Имеем в результате , (47) где новые постоянные введены по правилам . (48) Совершенно ясно, что физическим смыслом может обладать только решение, которое приводит к выполнению условия . Это означает, что . Поэтому после перехода к размерным единицам из (47) имеем . (49) Далее в соответствии с определением скорости (35) после подстановки в него решения (49) в результате несложного дифференцирования получим . (50) Из условия «прилипания» жидкости к поверхности шара ввиду независимости обоих слагаемых в (50) приходим к двум уравнениям (51) Выполняя здесь несложное дифференцирование с учетом явной зависимости (49), будем иметь Складывая их почленно и вычитая, приходим к следующим двум решениям: Глядя на полученное решение становится вполне понятным, что константа должна быть положена равной . Окончательно получаем (52) Вводя здесь число Кнудсена , приходим к следующим однопараметрическим решениям: (53) Из уравнения (34) с учетом решения (49) легко найти распределение давления вблизи поверхности шара в виде функции от координат. Действительно, с учетом (53) в результате имеем, что , (54) где . Решения (50), (53) и (54) позволяют ответить теперь на главный вопрос, поставленный вначале статьи. А именно, как зависит сила сопротивления сферического объекта от числа Кнудсена, в том важном случае, когда речь заходит о наночастицах. Следуя алгоритму решения Стокса, подробно приведенному в монографии [36], нам следует найти проекцию силы сопротивления на ось , направленную вдоль скорости потока . Это проще всего сделать с помощью тензора вязких напряжений Максвелла, который в случае несжимаемой жидкости в любых криволинейных координатах может быть записан в виде , (55) где ковариантная производная вводится согласно определению [51] . (56) Здесь символ Кристоффеля второго рода. Далее, поскольку задача решается в криволинейных сферических координатах, удобно использовать мгновенный ортонормированный базис, выбранный в произвольной точке поверхности неподвижного шара. Пусть это будет сферический базис . Тогда разложение элемента силы по этому базису будет, очевидно, . (57) И, следовательно, проекция элемента силы (57) на направление движения потока должна определяться с помощью очевидного равенства , где единичный вектор, направленный вдоль скорости движения, т.е. . Следовательно, ее проекцию, согласно (57), следует представить как , но , где элемент проекции площади, а потому полную силу сопротивления, которую испытывает шар в потоке вязкой жидкости, можно найти из формулы . (58) В выражении (58) следует выбрать только элемент поверхности (в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров совпадают [52-54]). Именно поэтому формула (58) значительно упрощается, и мы получаем из нее , (59) где было учтено, что подынтегральная функция от полярного угла не зависит. В соответствии с определениями (55) и (56) имеем . (60) Ковариантные производные можно представить следующим образом: (61) Но поскольку (см. работы [53, 54], в которых продемонстрирован несложный алгоритм и метод вычисления любых тензоров и символов Кристоффеля, автоматически приводящий к правильной размерности всех геометрических и физических величин), то с помощью (59) - (61) получим (62) Таким образом, остается вычислить лишь компоненты скорости в базисе . Возвращаясь к решениям (49) и (50), элементарно находим (63) где константы определены решениями (53) и здесь учтено, что . Таким образом, зная решение (63), не составит теперь труда и вычисление интеграла в (62). Действительно, выполняя простое дифференцирование компонент скорости, согласно их определениям (63), имеем В результате выражение (62) приводится к виду , (64) где (65) Каждый из интегралов по угловой переменной в (64) равен , а потому с учетом (65) формула (64) приводит нас к следующему промежуточному ответу: , (66) где функция . (67) Подставляя сюда явные определения параметров, согласно (53), , окончательно с учетом определения из (54) получаем , (68) где новая функция (69) Зависимость , что фактически соответствует зависимости силы сопротивления от числа Кнудсена, проиллюстрирована на рис. 1, из которого отчетливо прослеживается физически очевидная закономерность: с уменьшением линейного размера тела сила сопротивления для него резко возрастает. Рис. 1. Зависимость силы сопротивления от числа Кнудсена Как видно из приведенного решения, оно справедливо только до значений . По большому счету это значение соответствует условию . В обратном предельном случае, т.е. когда , наночастица представляет собой практически ту же самую молекулу, но только несколько большего размера, которая также будет совершать броуновские блуждания в пространстве, изредка сталкиваясь с обычными молекулами. В заключение работы еще раз обратим внимание на несколько ключевых моментов. 1. Приведен подробный вывод уравнения Навье - Стокса, учитывающего полученные поправки по числу Кнудсена, и показано, что они приводят к бигармоническому по оператору Лапласа слагаемому в правой части основного уравнения гидродинамики. 2. Найдено решение уравнений Навье - Стокса для задачи обтекания шара потоком вязкой жидкости с учетом бигармонического по оператору Лапласа слагаемого, и получены соответствующие распределения скорости и давления вблизи поверхности шара. 3. Приведен подробный алгоритм вычисления поправки к силе сопротивления Стокса в виде функции от числа Кнудсена.

Скачать электронную версию публикации