Analytical solution of the Klein - Fock - Gordon equation for the Rosen - Morse potential.pdf Введение Квантовая механика уже не является революционной теорией. За сто лет, прошедших со времени ее возникновения, она стала вполне установившейся областью физики. При этом изучение точно решаемых задач для физических потенциалов до сих пор является важным в физических исследованиях [1-3]. Волновое уравнение Клейна - Фока - Гордона (КФГ) весьма эффективно описывает бесспиновые скалярные и псевдоскалярные частицы, составные частицы, такие, как -мезон, бозон Хиггса и т.д. В научной литературе с использованием различных методов решения уравнения КФГ с физическими потенциалами существует ряд интересных работ [4-8]. В работе [4] уравнение КФГ с векторным потенциалом типа Хюльтена было исследовано традиционным методом. Эта же задача рассмотрена в [5, 6] как с векторным, так и со скалярным потенциалами типа Хюльтена. В работе [7] уравнение КФГ с этим же потенциалом было использовано для решения задачи рассеяния в случае регулярных и нерегулярных граничных условий волновой функции. А в работе [8] авторы методом интегрирования по траекториям успешно определили функцию Грина для оператора КФГ. В исследованиях радиальной и азимутальной части волновых уравнений для при различных потенциалах эффективно применялись разные методы, например, SUSY-методы [9-11], метод факторизации [12], подход с преобразованием Лапласа [13], метод интегрирования по траекториям [14], метод смещенного расширения [15, 16]. Также часто применялся метод Никифорова - Уварова (НУ) [17] для аналитического решения волновых уравнений. В работах [18- 26], используя обычную квантовую механику с целю получения связанных состояний уравнения КФГ с некоторым типичным потенциалом, была предпринята попытка приравнять скалярный и векторный потенциалы. Уравнение КФГ с потенциалом ring-shaped также было исследовано Донгом в [27]. Это же уравнение с различными потенциалами подробно было изучено томской группой Багрова, Шаповалова и др. [28-31]. В последние годы к уравнению КФГ в рамках суперсимметричной квантовой механики часто обращается азербайджанская группа Ахмедова [32-36]. В настоящей работе рассмoтривается случай, когда взаимодействия недостаточно для создания пар частица - античастица в потенциале Розена - Морса. При этом в уравнении КФГ удается обрабатывать частицы с нулевым спином частицей с полуцелым спином при интенсивных внешних полях, что позволяет применять уравнение Дирака. Потенциал Розена - Морса играет важную роль в атомной, молекулярной и химической физике, поскольку может быть использован для описания молекулярных колебаний и для получения энергетических спектров линейных и нелинейных систем. Он также является одним из потенциальных кандидатов для описания собственных функций и энергетических спектров удержания кварков в адроне в квантовой хромодинамике. Потенциал Розена - Морса с тригонометрической функцией применяется для объяснения характера кварк-глюонной динамики в квантовой хромодинамике. 1. Метод Никифорова - Уварова Метод Никифорова - Уварова используется для решения дифференциального уравнения второго порядка, которое представлено в следующем виде [17]: . (1) Здесь и - полиномы не выше второй степени; - полином не выше первой степени. Если взять следующую факторизацию для функции : , (2) то уравнение (1) сводится к уравнению гипергеометрического типа , (3) где и удовлетворяют условию , функция определяется в виде . (4) Здесь - параметр и его определение является существенным моментом при расчете . Данный параметр просто находится из выражения (4) приравниванием дискриминанта квадратного корня к нулю. Отсюда можно получить общее квадратное уравнение для . Значения можно применять для вычисления собственного значения энергии с использованием формулы в следующем виде: . (5) Полиномиальные решения задаются соотношением Родрига , (6) где - нормирующая постоянная, а - весовая функция, которая определяется из уравнения . (7) В то же время функция удовлетворяет условию . (8) 2. Решение Уравнения Клейна - Фока - Гордона для потенциала Розена - Морса в связанном состоянии Как известно, модифицированный потенциал Розена - Морса выражается как [37] . (9) Здесь , определяют глубину потенциала и - параметры экранирования. Для скалярного и векторного потенциалов уравнение КФГ в атомных единицах в сферической системе координат определяется в виде , (10) где - масса покоя скалярной частицы; - энергия релятивистской частицы. В уравнении (10) волновую функцию в сферической системе координат можно взять в следующей форме: . (11) Здесь является сферически гармонической функцией. Подставляя функцию (11) в уравнение (10), радиальное уравнение КФГ можно переписать так: (12) Для решения уравнения (12) по методу Никифорова - Уварова мы вводим новую переменную и получаем (13) Тогда с учетом (13) из (12) имеем . (14) Уравнение (14) после простых упрощений можно переписать в виде (15) Подставляя новую переменную в выражение (9), для потенциала Розена - Морса получим . (16) Теперь кратко проанализируем поведение потенциала. Для нахождения связанного состояния необходимо найти минимум точки потенциала из условия Потенциал (16) в случае будет иметь минимум в точке . (17) Вместе с тем известно, что уровни энергий связанных состояний определяются, в основном, поведением эффективного потенциала в регионе вблизи минимальной точки потенциала. Для этого мы введем новую переменную и преобразуем в следующий вид: , (18) а функцию разложим в ряд Тейлора вблизи точки до членов разложения второго порядка. Тогда получим выражения (19) Мы можем также выразить в виде . (20) Теперь разложим правую часть уравнения (20) в ряд Тейлора вблизи точки и сравним полученное с (11), тогда для , и имеем ; (21) ; (22) . (23) Подставляя выражения (21) - (23) в уравнение (15), получаем . (24) В уравнение (24) мы вводим новые обозначения, чтобы переписать дифференциальное уравнение в более компактном виде: ; (25) ; (26) . (27) Для решения уравнения (24) методом Никифорова - Уварова его необходимо преобразовать к гипергеометрическому уравнению: . (28) С учетом выражений (25) - (27) из уравнения (24) получаем . (29) Чтобы уравнению (29) придать форму уравнения (28), введем новую переменную . Тогда из уравнения (29) следует . (30) Теперь мы можем успешно применить метод Никифорова - Уварова для решения уравнения (30). Сравнивая уравнение (30) с уравнением (28), для , и получаем , . (31) Используя формулу (4), функцию запишем так: . (32) Параметр может быть найден из выражения (32) при условии, что дискриминант выражения из (32) под квадратным корнем равен нулю. Отсюда получаем ; (33) . (34) Подставляя выражение (34) в (32), для имеем (35) Здесь и определяются так: ; (36) ; (37) . (38) Как видно из выражения (35), полином имеет четыре возможных значения по методу НУ, но мы выбираем то значение , для которого функция имеет отрицательную производную. Другие значения не подходят физически. Следовательно, соответствующие функции и имеют вид: ; (39) . (40) Собственные значения энергии определяются как (41) и . (42) В выражениях (41) и (42) левые части равны, поэтому, приравнивая правые стороны этих выражений и решая уравнения (42) по , для собственных значений энергии находим аналитическое выражение в виде . (43) Подставляя выражение (25) в (43), для спектра энергии получаем (44) Для нахождения собственных функций определяем весовую функцию (см. (7)). Тогда решение уравнения (7) принимает вид . (45) Для волновой функции из (8) находим . (46) Используя полученные выражения (45) и (46), а также (6) и подставляя их в выражение (8), для радиальной волновой функции получаем [38, 39] (47) где - нормирующая постоянная, которая находится из условия нормированности: . (48) 3. Обсуждение численных результатов и заключение В настоящей работе получены собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для произвольных состояний путем решения модифицированного радиального уравнения Клейна - Фока - Гордона для потенциала Розена - Морса с использованием метода Никифорова - Уварова. Собственные значения энергии и соответствующие собственные функции получены для произвольного значения орбитального и радиального квантовых чисел. Показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные функции чувствительны к радиальному и орбитальному квантовым числам. Для решения уравнения Клeйна - Фока - Гордона при произвольных значениях орбитального момента мы применяли особый подход к центростремительному (центробежному) потенциалу для преодоления проблемы со связанной компонентой, которая пропорциональна . Численные результаты для собственных значений энергии получены с использованием пакета программ MATHEMATICA. В таблице представлены численные результаты для собственных значений энергии для потенциала Розена - Морса в атомных единицах как функции параметра экранирования для различных состояний, полученных с помощью метода Никифорова - Уварова в рамках обычной квантовой механики. Было также проведено сравнение наших результатов с другими результатами, полученными при использовании традиционного метода [40]. Из сравнения результатов, представленных в таблице, следует, что численные результаты, полученные нами из аналитических решений, находятся в хорошем согласии с результатами, полученными другим методом. Однако эта проблема может быть решена путем лучшего подхода к центробежному члену. В компактном виде найдены аналитическое выражение для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для произвольных значений орбитального квантового числа. Кроме того, было также показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные волновые функции чувствительны к выбору радиальных и орбитальных квантовых чисел. Следовательно, исследование аналитического решения модифицированного уравнения КФГ для потенциала Розена - Морса в рамках квантовой механики может способствовать получению ценной информации о динамике в ядерной, атомной и молекулярной физике для более глубоких исследований. Численные результаты для собственных значений энергии в зависимости от параметра экранирования для уровней 2p, 3p, 3d, 4p, 4d, 4f, 5p, 5d, 5f, 5g, 6p, 6d, 6f и 6g при потенциальных параметрах: 1) , и 2) , Уровни , , Наш результат [40] Наш результат [40] 2p 0.05 0.555656 0.555657 -0.563102 -0.563102 0.10 0.583426 0.583428 -0.479135 -0.479134 0.15 0.611062 0.611064 -0.403645 -0.403644 0.20 0.638492 0.638499 -0.333921 -0.333918 0.25 0.665657 0.665666 -0.268496 -0.268494 0.30 0.692482 0.692501 -0.206473 -0.206471 3p 0.05 0.606296 0.606298 -0.416442 -0.416442 0.10 0.675873 0.675876 -0.241662 -0.241663 0.15 0.737761 0.737764 -0.096962 -0.096963 0.20 0.792760 0.792760 0.028979 0.028980 0.25 0.841417 0.841418 0.141388 0.141387 0.30 0.884116 0.884116 0.243198 0.243199 3d 0.05 0.557015 0.557014 -0.558111 -0.558110 0.10 0.588533 0.588534 -0.463863 -0.463864 0.15 0.621927 0.621928 -0.375667 -0.375668 0.20 0.656721 0.656722 -0.291878 -0.291879 0.25 0.692485 0.692486 -0.211562 -0.211563 0.30 0.728832 0.728831 -0.134133 -0.134134 4p 0.05 0.652605 0.652606 -0.297934 -0.297932 0.10 0.753591 0.753593 -0.059319 -0.059317 0.15 0.835325 0.835323 0.130785 0.130789 0.20 0.900294 0.900296 0.290626 0.290627 0.25 0.949786 0.949878 0.428238 0.428239 4d 0.05 0.607532 0.607531 -0.413078 -0.413077 0.10 0.680213 0.680211 -0. 232267 -0. 232266 0.15 0.746395 0.746396 -0.080357 -0.080358 0.20 0.806299 0.806393 0.053505 0.053506 4f 0.05 0.559024 0.559026 -0.550824 -0.550823 0.10 0.596088 0.596087 -0.442384 -0.442383 0.15 0.637757 0.637754 -0.337576 -0.337574 0.20 0.682772 0.682771 -0.236196 -0.236193 5p 0.10 0.818851 0.818850 0.092861 0.092861 0.20 0.968738 0.968737 0.493331 0.495330 5d 0.10 0.755337 0.757335 -0.052239 -0.052238 0.20 0.909937 0.910757 0.308577 0.308579 5f 0.10 0.686636 0.686637 -0.218566 -0.218567 0.20 0.826101 0.826101 0.088325 0.088324 5g 0.10 0.605967 0.605968 -0.415904 -0.415906 0.20 0.715384 0.715385 -0.171467 -0.171469 6p 0.10 0.873097 0.873093 0.224357 0.224359 6d 0.10 0.823106 0.823109 0.098635 0.098636 6f 0.10 0.762885 0.762887 -0.218566 -0.218567 6g 0.10 0.694978 0.694978 -0.200979 -0.200979 Таким образом, можно сделать вывод, что данные, полученные в настоящей работе, будут интересны не только физикам-теоретикам, но и физикам-экспериментаторам благодаря точным и более общим результатам. Авторы выражают благодарность А.И. Ахмедову за постановку задачи и Р.Г. Джафарову за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации