Применение показателя нелинейности Била в задачах оценивания параметров движения астероидов
Выполнено преобразование алгоритма оценивания нелинейности, предложенного Билом, для использования его в астероидных задачах. Алгоритм Била протестирован на модельных и реальных астероидах. Показано, что показатель Била дает заниженные оценки нелинейности. Рассмотрены модификации показателя Била, позволяющие повысить его точность.
The application of Beale's measure of nonlinearity in problems of estimating the parameters of asteroids motion.pdf Введение Задача оценивания из наблюдений параметров движения астероидов может решаться в линейной или нелинейной постановке. Применение того или иного подхода зависит от степени нелинейности решаемой задачи оценивания. На данный момент существуют различные подходы к оцениванию нелинейности [1-5]. Бил был первым, кто предложил оценивать в статистических задачах величину нелинейности при помощи некоторой меры (или показателя) нелинейности [1]. Суть предложенного Билом способа сводится к сравнению функции, зависящей от искомых параметров нелинейно, с ее линеаризацией отрезком ряда в окрестности оценки, найденной методом наименьших квадратов. Работа Била была сугубо теоретической. Никаких применений к каким-либо данным измерений Бил не сделал. Впоследствии были проведены некоторые экспериментальные проверки методики Била на простых моделях [6, 7]. Цель данной работы - адаптация предложенной Билом методики к задаче астероидной динамики. Такая адаптация сделана впервые. Тестирование полученных результатов выполнялось в сравнении с геометрическим показателем нелинейности, предложенным в работах [3, 4, 8]. 1. Алгоритм Била оценивания нелинейности Первая методика оценивания нелинейности была разработана Билом и опубликована им в работе [1], в которой он предложил в качестве меры нелинейности использовать число, вычисляемое из выражения , (1) где - размерность параметрического пространства; - оценка среднеквадратической ошибки; - оценка наименьших квадратов; - произвольные точки в окрестности ; - функция, зависящая от точек нелинейно, а - ее линеаризация. Состав измерительной информации в астероидной задаче представляет собой прямые восхож¬дения и склонения на ряд моментов наблюдений . В качестве определяемых параметров предпочтительнее использовать переменные декартового пространства , так как эти переменные приводят к наименьшей нелинейности задачи оценивания [9]. Следовательно, в формуле (1) необходимо выполнить следующие преобразования. Нелинейным функциям соответствуют сферические координаты . Линейным функциям будут соответствовать линеаризованные координаты , определяемые отрезками рядов (2) Тогда квадрат нормы и нормирующий множитель можно записать так: (3) Здесь (4) Таким образом, в применении к астероидным задачам показатель нелинейности Била принимает следующий вид: (5) где (размерность декартова пространства). 2. Геометрический алгоритм оценивания нелинейности Предложенная нами мера нелинейности [3] находится по отклонению уровенной поверхности доверительной области движения астероида от эллипсоидальной формы. Доверительную область принято определять как область возможных значений оцениваемых параметров, накрывающую с заданной вероятностью неизвестные нам истинные параметры. Математическая формулировка такого определения может быть записана в следующем виде [10]: . (6) Здесь - истинная точка в -мерном пространстве определяемых параметров (в рассматриваемой задаче ); - доверительная область; число - коэффициент доверия, показывающий вероятность накрытия областью возможных значений истинных параметров астероида . Доверительная область содержит в себе найденную оценку искомых параметров и зависит от измеряемых параметров . Измеряемые параметры представляют собой -мерный вектор . Уровенная поверхность доверительной области и граничная поверхность доверительного эллипсоида описываются уравнениями [3] ; (7) . (8) В уравнениях (7) и (8) - целевая функция задачи наименьших квадратов; - расчетная -мерная вектор-функция измеряемых параметров; - матрица частных производных от измеряемых параметров по определяемым размером ; - весовая матрица; - среднеквадратическая ошибка единицы веса. Символ означает операцию транспонирования, а величина определяет размеры доверительной области и оценивается с помощью статистик распределения Фишера в виде , где есть верхняя квантиль для распределения. Следуя идее Барда [10], мы оцениваем нелинейность не по всем точкам, лежащим на двух сравниваемых поверхностях, а только по отклонениям от вершин эллипсоида точек уровенной поверхности, лежащих на осях эллипсоида. Тогда показатель нелинейности будет иметь следующий вид: . (9) Здесь точки лежат на уровенной поверхности вдоль направлений . Эти точки можно найти методом Гаусса - Ньютона [11]. Максимальное значение показателя (9) характеризует степень нелинейности решаемой задачи, имеет ясный геометрический смысл и является достаточно точной мерой нелинейности. Вершины доверительного эллипсоида (8) находятся из формул [3] (10) где и - собственные значения и собственные векторы ковариационной мат- рицы . (11) Ковариационная матрица находится вместе с оценкой решением задачи наименьших квад- ратов . (12) 3. Численные эксперименты Численные эксперименты были выполнены нами на ряде модельных и реальных объектов. В модельных задачах использовались начальные параметры орбит реальных астероидов. Они задавались как его точные параметры, а наблюдения моделировались при помощи датчика нормально распределенных случайных чисел со среднеквадратической ошибкой, вычисленной из реальных наблюдений. Движение рассматривалось в рамках задачи двух тел. В случае реальных астероидов задача оценивания решалась на основе реальных наблюдений с использованием численной модели движения. В численной модели учитывались возмущения от всех больших планет Солнечной системы, Плутона и Луны, а также более тонкие эффекты, такие, как релятивистские и сжатие Солнца и Земли. Нелинейность оценивалась при помощи геометрического показателя (9) и показателя Била (5). Для случая, когда в качестве точек в формуле Била используются 12 вершин доверительного эллипсоида (8), рассматривалась следующая модификация формулы (5): (13) Для меры нелинейности выбиралось максимальное значение . Еще одна модификация меры нелинейности Била была получена заменой в формуле (13) квадрупольной нормировки на квадратичную нормировку (14) Для меры нелинейности выбиралось максимальное значение . 3.1. Модельные астероиды Мы рассмотрели задачи оценивания для трех модельных астероидов. В качестве точных орбитальных параметров этих моделей были использованы параметры реальных астероидов 2003GP51, 2003WP21 и 1999TO13 (табл. 1), найденные из их наблюдений. Таблица 1 Начальные координаты и скорости объектов Астероид 1 (2003GP51) , Астероид 2 (2003WP21) , Астероид 3 (1999TO13) , Наблюдения моделировались на моменты, соответствующие моментам реальных наблюдений этих астероидов. Вычислялось максимальное значение геометрического показателя (9) и два варианта показателя Била по формуле (5): (суммирование выполнялось по 12 вершинам доверительного эллипсоида), (суммирование выполнялось по 1000 точек на граничной поверхности доверительной области). Находились также варианты показателя Била по формулам (13) и (14). Полученные результаты приведены в табл. 2. Таблица 2 Показатели нелинейности для задач с модельными астероидами Объект Астероид 1 0.067 0.005 0.002 0.0245 0.1 Астероид 2 0.56 0.037 0.027 0.06 0.78 Астероид 3 3.24 0.001 0.1 0.01 1.0 Эти результаты подтверждают отмеченный в работе [2] основной недостаток алгоритма Била. Формула Била (5) дает заниженные значения показателя нелинейности. Значения нелинейности, вычисленные по формуле (14), в которой использована квадратичная нормировка, являются близкими по порядку значениям показателя . 3.2. Реальные астероиды В случае реальных объектов задача оценивания решалась на астероидах, представленных в табл. 3. Здесь буквой обозначено число наблюдений астероида, а буквой - охваченный этими наблюдениями интервал времени. Начальные параметры астероидов были найдены из наблюдений, регулярно публикуемых Центром малых планет (www.minorplanetcenter.net). Таблица 3 Список реальных астероидов Астероид 2019 AN7 2016 TH55 2016 LW9 2016 JT38 2015 PM307 2018 HQ 29 115 12 19 20 40 Т, сут 5.0 11.1 3.1 9.1 10.9 20.0 Астероид 2016 XC18 2018 EH4 2003 GP51 1999 TO13 2003 WP21 101 61 53 98 35 Т, сут 12.2 17.8 21.331 10.973 7.961 Результаты оценивания нелинейности с помощью геометрического показателя, предложенного в работе [3], показателя Била, найденного по формуле (5), и максимальные значения показателя Била, найденные по формуле (14), приведены в табл. 4. Таблица 4 Показатели нелинейности для задач с реальными астероидами Астероид 2016 LW9 1.66 0.127 0.633 2016 JT38 1.488 0.162 0.424 2019 AN7 0.582 0.092 0.835 2015 PM307 0.533 0.165 0.618 2003WP21 0.39 0.17 0.456 2016 TH55 0.145 0.043 0.101 1999TO13 0.123 0.108 0.06 2016 XC18 0.077 0.0878 0.0776 2003 GP51 0.071 0.062 0.081 2018 EH4 0.048 0.0262 0.0145 2018 HQ 0.037 0.0321 0.129 Из таблицы видно, что в случае реальных объектов значения нелинейности, полученные по формуле Била (5), сопоставимы со значениями, вычисленными при помощи показателя , для небольшой нелинейности вплоть до значения . Для более высоких значений нелинейности формула Била (5) дает заниженный результат. При этом результаты вычислений по формуле (14) оказываются значительно ближе к значениям показателя . Заключение Применение предложенного Билом алгоритма вычисления нелинейности к астероидным задачам подтвердило главный его недостаток, обсуждаемый в работе [2]: в случае сильной нелинейности мера Била дает существенно заниженные результаты. Это может быть следствием используемого в формуле (5) суммирования по всем точкам, которые задают доверительную область, и выбора квадрупольной нормировки. Неодинаковая в направлении на различные точки нелинейность как бы усредняется, размазываясь по всей области. На ряде модельных и реальных объектов мы проверили формулу (5) и несколько ее модификаций, сравнивая найденные значения нелинейности со значением, полученным при помощи геометрического показателя (9). Из результатов проделанных вычислений можно сделать вывод, что применение алгоритма Била в астероидных задачах допустимо только в случае слабой нелинейности, не превышающей значение показателя . Авторы считают своим долгом подчеркнуть, что эта работа была начата вместе с нашим другом и коллегой Александром Михайловичем Черницовым, сделавшим адаптацию меры нелинейности Била к астероидным задачам.
Ключевые слова
задача наименьших квадратов,
нелинейность,
астероидыАвторы
Сюсина Ольга Михайловна | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. НИ ТГУ | kleo77@sibmail.com |
Тамаров Вячеслав Аркадьевич | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. НИ ТГУ | vat25@mail.ru |
Всего: 2
Ссылки
Beale E.M.L. // J. R. Statist. Soc. - 1960. - V. 22. - Iss. 1. - P. 41-88.
Bates D.M. and Watts D.G. // J. R. Stat. Soc. B. Methodological. - 1980. - V. 42. - Iss. 1. - P. 1-25.
Syusina O.M., Chernitsov A.M., and Tamarov V.A. // Solar System Res. - 2012. - V. 46. - No. 3. - P. 195-207.
Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. // Изв. вузов. Физика. - 2014. - Т. 57. - № 12. - С. 139-145.
Avdyushev V.A. // Celest Mech. Dyn. Astron. - 2011. - V. 110. - No. 4. - P. 369-388.
Guttman I. and Meeter D.A. // Technometrics. - 1965. - V. 7. - P. 623-637.
Linssen H.N. // Statist. Neerland. - 1975. - V. 29. - P. 93-99.
Chernitsov A.M., Tamarov V.A., and Barannikov Ye.A. // Solar System Res. - 2017. - V. 51. - No. 5. - P. 400-408.
Черницов А.М., Дубас О.М., Тамаров В.А. // Изв. вузов. Физика. - 2006. - Т. 49. - № 2/2. - С. 44-51.
Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. - М.: Статистика, 1979. - 349 с.
Баранников Е.А., Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. // Изв. вузов. Физика. - 2013. - Т. 56. - № 10/2. - С. 119-125.