On spatial transitions in a system of atoms.pdf Введение В последние тридцать лет весьма актуальной является проблематика, связанная с экспериментально доказанным существованием атомов с пространственно-одномерными и двумерными электронными структурами [1-4]. Отчасти этим объясняется появление теоретических работ, в которых рассматриваются некоторые вопросы, связанные с возможным существованием «одномерных» ( ) и «двумерных» ( ) водородоподобных [5-9], а также двухэлектронных [10] атомов; возможно также обобщение результатов этих и аналогичных им работ на пространство измерений [11] или на многоэлектронные атомы [12, 13] (по данным вопросам см. также цитированную в [5-13] литературу). Но теоретическое обоснование одновременного и вытекающего из экспериментов [1-4] этого существования с объяснением, согласно общим принципам квантовой механики [14], до недавнего времени отсутствовало. В наших работах [15, 16] была предпринята подобная попытка. Однако при условии симметрии и «эквивалентности» вкладов пространственных конфигураций относительно «выделенной» в системе атомов с тремя их возможными конфигурациями в этих работах [15, 16] был рассмотрен лишь частный случай. Именно считалось, что вероятность переходов равна единице. Это соответствовало ситуации, в которой среднее число атомов в имело максимальное значение , а в - минимальное . В данной работе мы исследуем возможность существования системы атомов , в том числе при , и сохранении симметрии конфигураций относительно , т.е. при равенстве среднего числа атомов в : . Такой подход, как и в [15, 16] , представляется вполне естественным, поскольку эксперименты проводятся в «нашем» пространстве . В целях обобщения результатов [15, 16] в данной работе мы полагаем (1) с включением значения [15, 16] в качестве частного случая. Кроме того, обозначим ; (2) , (3) «меняя местами» обозначения по сравнению с [15, 16]. Последнее обусловлено тем, что далее мы в ряде случаев рассматриваем параметр как «свободный», т.е. играющий роль «независимой переменной», а таковую принято обозначать символом . При этом определяемые далее из системы уравнений величины будут являться функциями : , . Таким образом, решение упомянутой системы будет представлено нами в параметрической форме. Далее следует выяснить, имеет ли эта система решение в физической области изменения всех «вероятностных переменных» . Если имеет, то это будет означать возможность существования конфигурации и при , ; при этом соответствующие результаты работ [15, 16], т.е. возможные пары значений , должны следовать из рассматриваемого в данной работе общего случая при значении . 1. Основные расчетные формулы С учетом предыдущих замечаний относительно изменения обозначений по сравнению с работами [15, 16] и с очевидной модификацией произведенных в этих работах выкладок можно получить систему уравнений: , (4а) . (4б) Здесь введены следующие функции , : , . (5) Они являются обобщением соответствующих функций работ [15, 16] и совпадают с ними при с указанной перестановкой обозначений . 2. Численный расчет вероятностных соотношений Как и в работах [15, 16], следует рассмотреть два варианта решения системы (4а), (4б). В первом из них равен нулю фактор в (4а). При этом имеем систему уравнений , (6а) . (6б) Результат численного расчета зависимостей с достаточной для наших целей точностью представлен в табл. 1 и на рис. 1. При или значения попадают в нефизическую область, поэтому соответствующие значения , в таблице отсутствуют. Как видно, один из сопутствующих результатов работы [15], упомянутый также и в [16] ( при ), согласуется с рассматриваемым в данной работе общим случаем. Таблица 1 x 0.206 0.21 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.61 y 0.215 0.220 0.267 0.330 0.400 0.476 0.564 0.666 0.789 0.938 0.971 z 1 0.971 0.759 0.552 0.405 0.292 0.202 0.128 0.067 0.0160 0.007 Рис. 1. Зависимость вероятности (1) и вероятности (2) от вероятности (3), играющей в данном случае роль свободного параметра 3. Аналитический расчет вероятностных соотношений Во втором варианте равен нулю фактор в квадратных скобках в (4а) с системой уравнений , (7а) . (7б) Эта система, как и аналогичная система в нашей работе [16] с упомянутой переменой обозначений , допускает аналитическое решение. Именно при и конечном оба уравнения (7а), (7б) сводятся к одному: , которое с учетом вида (5) сводится к квадратному уравнению для вероятности (2): c решением в физической области . Совершенно аналогично, при получим это же уравнение для . В первом случае параметр может принимать любые значения в физической области , а во втором - это же относится к параметру . Таким образом, решениями системы (7а), (7б) будут наборы: , (8а) . (8б) С другой стороны, при оба уравнения (7а), (7б) опять сводятся к одному: . С учетом вида (4а), (4б) получается квадратное уравнение для величины : . Его решение в физической области таково: . (9) 4. Обсуждение Полученные в работе результаты означают, что существование «вероятностных переменных» в физическом диапазоне их значений (а значит, и всей системы атомов в целом) в совокупности пространственных конфигураций 1+2+3 возможно не только «в предельном» варианте с максимальным и минимальным числом атомов в отдельных пространственных конфигурациях [15, 16]. Именно этому последнему варианту соответствует значение вероятности (1) в нашем более общем подходе, а вероятности (2), (3) при этом являются фиксированными [15, 16] (с учетом вышеуказанной перестановки обозначений в данной работе по сравнению с [15, 16]). При этом, однако, относительные числа атомов в пространственных конфигурациях 1,2: и в 3: принимают непроизвольные значения, а во всех рассмотренных в п. 2 и 3 возможных вариантах решения общих уравнений (4а), (4б) являются однозначно связанными. Это можно видеть из общих выражений для величин , являющихся обобщением соответствующих формул работ [15, 16] на диапазон : , . (10а) Поскольку отсюда следует, что , , (10б) то различие между и определяется фактором , который в рассмотренных выше ситуациях принимает следующие значения. 1) В варианте 1, определяемом уравнениями (6а), (6б) в п. 2, как установлено, величины являются функциями свободного параметра , т.е. и , , а также . Это означает, что любому значению соответствует вполне определенное значение . Существенно также, что в этом варианте в физической области минимальное значение , согласно табл. 1, есть , так что и фактор на самом деле не содержит сингулярности. 2) В варианте 2, определяемом соотношениями (7а), (7б), при и со значениями , , в случае (8а) получаем , причем величина сингулярности при также не имеет и равна , (11а) являясь функцией свободного в данном случае параметра . Аналогично получаем . (11б) Таким образом, , , а величины , , следовательно, опять находятся в однозначном соответствии. Случай (8б) получается из этого перестановкой с тем же выводом. 3) При использовании решения (9), системы (7а), (7б) со значениями , величины , , как можно видеть из (10а), (10б), являются функциями параметра и также находятся в однозначном соответствии со значениями , (12а) . (12б) С другой стороны, в нашем подходе должно выполняться соотношение , поэтому при постоянном общем числе атомов имеем , . (13) Выполнение соотношения (13) при аналитическом расчете (11а), (11б), (12а), (12б) очевидно, а результат численного расчета в п. 2 следует из табл. 2 и рис. 2, с подтверждением однозначного соответствия величин и . Таблица 2 X 0.206 0.21 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.61 E1+2 0.430 0.500 0.574 0.574 0.645 0.712 0.778 0.843 0.908 0.975 0.989 E3 0.570 0.500 0.426 0.426 0.355 0.288 0.222 0.157 0.092 0.025 0.011 На данном этапе мы не можем привести аргументы в пользу реализации на эксперименте какого-либо из рассмотренных вариантов решения исходной системы уравнений (4а), (4б). Однако проведенный анализ позволяет утверждать, что соотношение между относительными числами атомов , в рассмотренных пространственных конфигурациях не может быть произвольным, а определяется одним из рассмотренных в работе вариантов. Рис. 2. Зависимость величин и от свободного параметра как результат численного расчета в п. 2 с иллюстрацией уравнений (12а) и (12б)

Скачать электронную версию публикации