On the internal geometry of the trajectories of charged particles in symmetric external fields.pdf 1. Уравнения Френе Как известно [1, 2], внутренняя геометрия траектории классической частицы, как и любой гладкой кривой в евклидовом пространстве, где - длина дуги вдоль кривой, задается двумя скалярными параметрами - кривизной и кручением - тесно связанными с движением по ней ортогонального репера Френе соответствующими уравнениями Френе для единичных векторов касательной , нормали и бинормали к этой кривой (рис. 1): , , , , (1) при , , , . (2) Поскольку вместо здесь можно использовать любой возрастающий вдоль кривой скалярный параметр [1, 2], например время движения, возникает впечатление [2], что для вычисления и необходимо знать явный вид траектории . В сферических компонентах при , , , , , (3) и т.д. кривизну и кручение из (2) в нерелятивистском случае можно представить в виде [2] , , где . (4) Рис. 1 Покажем, что при движении, в том числе в релятивистском случае, в некоторых сферически- или аксиально-симметричных внешних полях или полях магнитных, в том числе неабелевых монополей, для нахождения кривизны или некоторой форм-инвариантной комбинации и кроме поля достаточно знать лишь первые интегралы движения. 2. Движение под действием силы Лоренца Как известно [3-5], сила Лоренца содержит магнитную и электрическую составляющие: , так что ( - скорость света). (5) Подставив это уравнение движения в соотношения (4), после некоторых преобразований получим , . (6) Уравнение (5) при в сферически-симметричном потенциальном поле принимает вид [3] при , где . (7) Используя в (6) формулы (7) и законы сохранения энергии и момента импульса с , где - прицельный параметр, найдем . (8) Таким образом, в сферически-симметричных потенциальных полях кривизна траектории как функция однозначно задается потенциалом и первыми интегралами движения - энергией и моментом импульса. Кривая является плоской, так как для такого потенциала кручение отсутствует: , поскольку . Например, для кулоновского потенциала [3] находим . (9) Рассмотрим теперь уравнения (6) для случая [4, 5]. Так как и при , то , , (10) откуда для с имеем . (11) Если , т.е. магнитное поле как бы «сферически-симметрично», то в силу (3) второе слагаемое в выражении для кручения исчезает: . Это имеет место, если в (10), (11) поле всюду постоянно по направлению . Ввиду того, что сила в каждый момент перпендикулярна скорости, , скорость в обоих случаях постоянна по абсолютной величине, , а кривизна и кручение при удовлетворяют соотношению , (12) где , , (12а) - соответственно классический электромагнитный радиус заряда , массы и объемная плотность энергии поля [4, 5], а так как - циклотронная частота, то есть радиус окружности траектории при . Тогда как в «плоскости» при имеем окружность радиуса . 3. Движение в поле магнитных монополей «Еж» магнитного поля бесконечно тяжелого монополя с магнитным зарядом , расположенного в начале координат, с классической точки зрения можно представить исходящим из начальной точки одного полубесконечного тонкого соленоида - струны вдоль некоторого направления (Дирак), или из начальной точки для двух таких симметричных соленоидов (Швингер) [6-9]. Уравнение движения (5) электрического заряда и поле магнитного монополя имеют вид при , , , . (13) Здесь - угол раствора конуса, на который наматывается траектория заряда [6, 9], с осью вдоль сохраняющегося вектора полного момента ; - сохраняющийся по модулю прицельный параметр. Подставляя (13) в уравнения (10), (11) для кривизны и кручения, находим , . (14) Возводя эти выражения в квадрат и складывая, вновь получаем в соответствии с (12), (13) . (15) В силу (8) кривизна траектории для «спроектированной» в плоскость задачи о монополе [9] как функция расстояния в ней с убывает быстрее: для при . (14а) Релятивистское обобщение формул (4) на случай неабелевых внешних полей потребует использования классических релятивистских уравнений движения Вонга [5, 10-13]. Считая метрику пространства по-прежнему плоской и выбирая в качестве параметра вдоль траектории (бесспиновой) частицы собственное время или интервал [4, 5] при , т.е. , (16) для 4-скорости при , (17) с 4-импульсом , с энергией , (18) а также для 4-ускорения при , (19) получим аналогичные (4) выражения для кривизны и кручения с заменой и : , , т.е. . (20) Точка в (17) - (20) означает теперь операцию дифференцирования (16) по , а переход к нерелятивистскому пределу при дается обратной подстановкой , . Система уравнений Вонга [5, 10-13] описывает движение во внешнем неабелевом калибровочном поле с напряженностями как самой пробной классической частицы , так и ее собственного классического «цветового» изотопического момента с компонентами во внутреннем «цветовом» изотопическом пространстве с фиксированным базисом . В случае калибровочной группы SU(2) с генераторами в присоединенном представлении для ковариантной производной с калибровочным полем , скалярным полем и единичной матрицей в том же представлении [5, 6, 11, 15] при (латинские индексы считаются верхними и сворачиваются по евклидовой метрике) и , где , , (21) , для , , (22) эти уравнения имеют вид , . (23) Отсутствию «хромоэлектрического» поля в стационарном случае в системе покоя [16] этого классического поля отвечает калибровка [5, 6, 11]. «Хромомагнитное» поле в оставшейся калибровочно-инвариантной комбинации с компонентами «цветового» изотопического момента (22) приводит уравнения (23) к виду [5, 11-13] , , , где , т.е. . (24) Аналогично переходу от (4), (6) к (10), (11) это дает в (20) релятивистские выражения для и : , , (25) откуда для с имеем . (26) Поскольку 3-скорость в (17) будет даваться той же формулой (3) для , но с операцией дифференцирования по (16), то как для , так и для , где снова , вновь приходим с учетом (18) уже к релятивистскому неабелевому обобщению форм-инварианта (15): , . (27) Нерелятивистский предел при возвращает это выражение к (12) с нерелятивистскими 3-импульсом и энергией . Согласно уравнениям (23), (24), , т.е. динамика ковариантно сохраняющегося вдоль траектории классического «цветового» момента сводится к его вращению в цветовом изопространстве в виде прецессии вокруг некоторого направления с переменными частотой и осью вращения [5, 10-13]. В соответствии с [13] эта сложно запутанная с траекторной динамика, тем не менее, допускает «расцепление» вида (27) благодаря эффективной абелизации в (24) - (27) при или взаимодействия «цветового» момента с «хромомагнитным» полем. В частности, она имеет место в нерелятивистском приближении, где для 4-скорости (17) , , и в калибровке из (23) получаем т.е. , (28) что отвечает эффективной абелизации с очевидно сохраняющимся тогда абелевым электрическим зарядом [5], который в этом случае генерируется «цветовым» зарядом и собственным «цветовым» изотопическим моментом частицы. Другой пример абелизации дает абелева проекция монопольного решения Хоофта - Полякова в модели Джоржи - Глэшоу со спонтанным нарушением симметрии [5, 6, 9, 11-17], задаваемой плотностью лагранжиана, соответствующими уравнениями движения и вакуумным средним: , при , (29) , . (29а) Компоненты скалярного поля поглощаются продольными компонентами заряженных векторных полей , приобретающих массу [6, 9, 15]. Оставшееся безмассовым «фотонное» поле отвечает остаточной U(1) калибровочной симметрии, необходимой для существования в этой теории абелевых магнитных монополей [6, 14, 15] и связанной с оставшейся свободой вращения вокруг третьей оси в цветовом пространстве, задаваемой вакуумным средним в (29). В калибровке , классическое решение задается функциями , : , , , (30) , , (31) подчиняющимися известным, вытекающим из полевых (29а), уравнениям [5, 6, 9, 16, 17] , (32) с граничными условиями при : , а ; (33) при : , а , если ; , если . (34) Соответствующее калибровочно инвариантное абелево магнитное поле, действующее на обычный абелев электрический заряд , определяется скалярной проекцией тензора (31) на направление вакуумного классического поля Хиггса (30) и добавкой Хоофта [6, 9, 15, 16]: при ; (35) , где , (36) уже в полном соответствии с (13), (15). Чистой теории Янга - Миллса с лагранжианом (29) без скалярного поля отвечает решение Ву - Янга [6], даваемое чисто продольным полем в (31) при и приводящее к такому же форм-инварианту (15) (27) с полем (13) (36) при . Здесь роль эффективного абелевого заряда пробной частицы вместо (28) выполняет калибровочно-инвариантная величина , являющаяся «классическим» пределом [5] соответствующего оператора эффективного заряда для величины , тесно связанным [6, 9, 11, 12, 15-18] с пределом в (22): для при . (37) Стационарное «ss» калибровочное поле общего вида [15-17], если не накладывать на него дополнительных дискретных симметрий, удаляющих два последних вклада, разлагается по трем «ss»-структурам, взаимно ортогональным сразу в конфигурационном и цветовом пространствах: , где , (38) и вторая продольная структура ортогональна двум поперечным отдельно в каждом пространстве. Условие сферической симметрии «ss»-векторного поля (38) означает его инвариантность [11] при одновременном пространственном повороте и глобальном калибровочном повороте с одними и теми же параметрами поворота из диагональной подгруппы [17] поворотов в конфигурационном и цветовом пространствах: , и выполняется независимо для каждой из этих «ss»-структур. В соответствующем ортогональном разложении по ним напряженностей (31) «хромомагнитного» поля (21) продольный вклад не зависит от калибровочной функции и определяется лишь функциями при поперечных структурах в (38). Тогда как поперечные вклады здесь ее содержат, а штрих означает производную по : . (39) Казалось бы, четыре функции, оставшиеся неизвестными в полях (38), (39), (30), должны определяться из четырех вытекающих из (29а) уравнений с этими полями. Однако калибровочная инвариантность оставляет одну из них произвольной, поскольку при имеем систему (40) , , которая возвращается к (32) при и может быть получена также путем вариации соответствующего функционала энергии [15]. Третье уравнение сразу дает при подстановке в него функций , для , что . (41) Тогда четвертое и любое из первых двух уравнений (40) приводят вновь к той же системе (32) для функций и . «Хромомагнитное» поле (39) вместо случая (31) примет вид . (42) Видно, что именно интересующий нас продольный вклад не зависит от оставшейся произвольной калибровки , т.е. , и условие «полной» сферической симметрии этого поля как исчезновения обоих поперечных к слагаемых совпадает с условием его калибровочной независимости. Тогда выражения (31), (42) приводят снова к продольному неабелевому полю Ву - Янга уже с произвольной константой и к последующей его эффективной абелизации (37) к полю вида (36), приводя, таким образом, вновь к неабелевому форм-инварианту (27), где теперь , при (43) или же при , когда . (44) Однако первое из уравнений (32) при сводится к условию . Тогда второе уравнение (32) имеет смысл лишь в пределе Прасада - Зоммерфельда [6, 16], где оно дает условие , чье единственное решение задает нулевые напряженности . Частное решение первого уравнения (32) приводит к частному решению второго уравнения (32) с ненулевыми полями , обладающими правильным поведением при и топологическими свойствами [6, 15, 16]. Согласно граничным условиям (34), (35), в этой асимптотике свойствами (43), (27), (37), (36) будут обладать все подчиняющиеся им решения (32). С другой стороны, в силу (16), (22), антисимметрии структурных констант и уравнения Вонга (23) для любого оператора вида производная по от абелева заряда равна , (45) и ковариантное сохранение вдоль траектории влечет сохранение абелева заряда частицы как прямое обобщение сохранения квадрата ее классического цветового момента . Для оператора заряда (37) в поле (38) имеем и , что также независимо от вида калибровочной функции исчезает лишь при , вновь приводя к неабелеву монополю Ву - Янга (42) (43) при [11, 12, 17, 19]. Заметим, что результат абелевой проекции (35), (36) с тем же эффективным абелевым магнитным полем в (36) [9, 15] вообще не зависит от вида функций , , , в выражениях для полей (30), (38), (39). То есть речь идет о существенно разных способах абелизации. Заключение В данной работе показано, что при движении классической частицы в некоторых аксиально- и сферически-симметричных внешних полях для нахождения кривизны ее траектории или форм-инвариантной комбинации и кручения достаточно, кроме самого внешнего поля, знать лишь первые интегралы движения. Такая универсальная форм-инвариантная комбинация (27) обнаружена в релятивистском случае для широкого класса магнитных полей, включая поля неабелевых монополей. В соответствии с [13] во всех рассмотренных случаях имеет место эффективная абелизация взаимодействия с янг-миллсовским внешним полем, при которой калибровочно инвариатный эффективный абелев заряд частицы (37), вообще говоря, не обязан сохраняться. Показано, что он точно сохраняется на некоторых решениях уравнений движения для полей магнитных монополей, либо является, по крайней мере, асимптотически сохраняющейся величиной [9, 11, 12]. Подчеркнем, что этот абелев электрический заряд генерируется здесь исходным «цветовым» зарядом и собственным «цветовым» изотопическим моментом частицы. Поэтому квантование такого ее заряда оказывается тесно связанным с квантованием ее «цветового» момента [9]. Учитывая, что второе уравнение Вонга (23) для по сути совпадает с уравнением для линии Вильсона [17, 20] в присоединенном представлении, можно надеяться на существование более универсального способа «расцепления» траекторной и внутренней динамики классического движения в неабелевых внешних полях с использованием замкнутых вильсоновских линий [16], «вычерчиваемых» вектором классического цветового момента на сфере , для которых при некотором . Но тогда и , преобразуясь калибровочно лишь глобально - так же как напряженность поля (21): с произвольной точкой из соответствующего любому интервалу участка траектории частицы, а значит, и с произвольной точкой траектории , если при данных начальных условиях к уравнениям Вонга (23), (24) существует как единственный такой конечный период. Авторы выражают благодарность Я. Шниру, А. Випфу, А. Растегину, С. Ловцову и Э. Аману за ценные замечания.

Скачать электронную версию публикации