Features of phonon spectra of CeO₂, ThO₂, NpO₂ crystals due to the structure of their s.pdf Введение Диоксиды тяжелых металлов находят самое широкое техническое применение и поэтому их физические свойства исследуются уже достаточно длительное время в широком интервале температур [1, 2]. Кристаллы этих соединений являются суперионными проводниками по кислороду, в частности CeO2 перспективен для использования в качестве электролита в твердотельных кислородных топливных ячейках (SOFCs) [1]. Диоксиды актинидов ThO2, NpO2 хорошо известны как материалы ядерной энергетики [2]. Во многих работах отмечалось различное динамическое поведение ионов кислорода и металлов за счет существенного различия величин их масс (в ат. ед.: Ce - 140, Th - 232, Np - 237, O - 16). Уже в ранних работах [3, 4] при исследовании структуры UO2 и ThO2 методом нейтронной дифракции определены среднеквадратичные тепловые смещения атомов как функции температуры в интервале от 20 до 1100 ºС и установлено, что смещения кислорода больше и быстрее растут с температурой за счет ангармонических колебаний. Подобные результаты получены при исследовании тепловых свойств методами рентгеновской дифракции для кристаллов NpO2 в интервале температур от комнатной до 1174 К [5], для PuO2 и ThO2 в интервале от комнатной до 1274 К [6] и для CeO2 в интервале температур от комнатной до 1770 К - методами нейтронной порошковой дифракции [7]. Температурная зависимость постоянной Грюнайзена γ, других тепловых параметров также связывалась с ангармонизмом колебаний решетки. Исследования ангармонических эффектов при низких температурах (Т = 12, 30, 300 К) в кристаллах NpO2 методами нейтронной дифракции выполнены в работе [8], определено значение коэффициента β0 в ангармонической добавке 3-го порядка к потенциалу: V3 = β0xyz. В области высоких температур помимо ангармонизма существенную роль начинает играть разупорядочение решетки. Высокотемпературные исследования, вплоть до 2930 К, тепловых параметров колебаний решетки и упругих констант для UO2 и ThO2 выполнены в работе [9] методами неупругого рассеяния нейтронов. Разупорядочение подрешеток оценивалось путем измерения фракции ионов, покидающих регулярные узлы. Установлено, что френкелевский беспорядок в подрешетке кислорода начинается выше 2000 К, в то время как подрешетка металла все еще стабильна. Спектроскопическими методами исследовано изменение фононного спектра в высокотемпературной области. Оптические моды быстро уширяются в районе 2200 К и становятся ненаблюдаемыми при повышении температуры. Однако акустические моды хорошо определены до 2930 К, хотя заметно уширяются выше 2000 К. Тепловое уширение экситонных уровней в NpO2 исследовано в работе [10] в интервале температур от 15 до 200 К и проведено сравнение с подобными исследованиями для UO2, PuO2 и ThO2. Сделан вывод о сильном экситон-фононном взаимодействии в этих кристаллах, ширины фононных мод в NpO2 больше, чем в ThO2. Комбинационное рассеяние (КР) первого порядка для CeO2 измерено в [11] в температурном интервале 300-850 К. Оцененные ширины линий с учетом ангармонизма 3-го порядка находятся в хорошем соответствии с экспериментом. Поляризованные спектры (КР) второго порядка получены на ориентированных кристаллах CeO2 в работе [12]. Второй порядок объяснялся овертонами фононных частот из боковых точек зоны Бриллюэна. Оценены величины смещения и уширения активной моды в КР. Показано, что пики спектра второго порядка коррелируют с плотностью фононных состояний, «растянутой» вдвое. Теоретические расчеты фононных спектров в различных версиях феноменологической модели жестких ионов выполнены в работах [11-13] для CeO2 и в [14] для ThO2 и NpO2, первопринципные вычисления по методу функционала плотности представлены в работах [15] для CeO2 и в [16] для ThO2. Как феноменологические, так и первопринципные вычисления находятся в хорошем соответствии между собой и имеющимися экспериментальными данными, включая наиболее полные, полученные методом неупругого рассеяния нейтронов. Феноменологический парный потенциал типа Морзе успешно использовался в [17] для моделирования тепловых свойств кристаллов NpO2, AmO2 и CmO2 методами молекулярной динамики в температурном интервале от 300 до 2500 К. Подобная задача решалась в [18] на основе квазигармонического приближения решеточной динамики и дискретного спектра электронов в температурном интервале 30-1600 К для ряда кристаллов: ThO2, NpO2, UO2, PuO2, AmO2 и CmO2. Как видно из приведенного обзора, многие физические свойства кристаллов MeO2 обусловлены различным поведением подрешеток кислорода и металла за счет существенного различия величин масс ионов, находящихся в этих подрешетках. Вместе с тем значительную роль играют также и кристаллографические особенности строения решетки флюорита. Эта решетка построена из двух различающихся по типу Бравэ подрешеток. В работе [19] развит метод исследования фононных спектров кристаллов, составленных из подрешеток различного типа Бравэ, который применен к изучению фононных спектров кристаллов UO2 и PuO2 в [20] и кристаллов BaF2, PbF2 в [21]. В настоящей работе выполнены вычисления фононных спектров, однофононных и двухфононных плотностей состояний кристаллов CeO2, ThO2 и NpO2 на основе феноменологической модели, изложенной в [22]. Фононные спектры приведены в двух зонах Бриллюэна подрешеток кислорода и металла, и обсуждены их особенности, связанные с различной трансляционной симметрией этих подрешеток. Тепловые уширения фононных частот за счет ангармонизма третьего порядка смоделированы в приближении двухфононных плотностей состояний. 1. Симметрия кристаллов флюорита в кристаллическом пространстве 6D Пространственной группой симметрии флюорита является Oh5 № 225, трансляционная подгруппа - гранецентрированная кубическая Гcf. Атомы металла размещаются в позициях Уайкова 4а(0,0,0) и формируют гранецентрированную кубическую подрешетку Гcf, совпадающую с кристаллической решеткой; атомы кислорода размещаются в позициях Уайкова 8с(1/4,1/4,1/4) и формируют простую кубическую подрешетку Гc с периодом а/2. Как показано в [23], для описания симметрии сложных кристаллов, составленных из k подрешеток Бравэ, необходимо построить 3k-мерное кристаллическое пространство, распадающееся на прямую сумму k трехмерных подпространств. Некоторые свойства многомерных кристаллических пространств с трансляционно совместимыми подпространствами установлены и представлены в [24]. Конкретная структура кристаллических пространств размерности 6D, необходимых для описания симметрии кристаллов, составленных из двух подрешеток, приведена в [25]. Полная симметрия кристаллов с решеткой флюорита с учетом симметрии подрешеток может быть определена в кристаллическом пространстве 6D, представляющем собой прямую сумму трехмерных кристаллических подпространств с трансляционной симметрией Гc, Гcf. Многогранники Дирихле - Вороного (МДВ) этих трехмерных подпространств, отнесенные к одному центру, приведены на рис. 1, а. В обратном пространстве 6D* этим многогранникам соответствуют зоны Бриллюэна (ЗБ) (рис. 1, б). На этом рисунке буквами обозначены симметричные точки и линии в ЗБ кристалла, буквами со штрихами - симметричные точки и линии в частях ЗБ подрешетки кислорода, которые находятся за пределами ЗБ кристалла. Объем МДВ подрешетки кислорода в 2 раза меньше объема МДВ подрешетки металла (а также и МДВ кристаллической решетки). Соответственно объем ЗБ подрешетки кислорода в 2 раза больше объема ЗБ подрешетки металла (кристаллической решетки). Трансляционная подгруппа подрешетки кислорода шире трансляционной подгруппы подрешетки металла (кристалла), как это видно из рис. 1, а. Поэтому неприводимые звезды представлений пространственной группы подрешетки кислорода теряют это свойство на трансляционной подгруппе кристалла. Таким образом, векторы звезд представлений подрешетки кислорода могут быть спроектированы в ЗБ кристаллической решетки и разложены по соответствующим звездам кристалла. Геометрический смысл процедуры разложения приводимых звезд подрешетки кислорода по неприводимым звездам кристалла заключается в том, что неэквивалентные волновые векторы подрешетки кислорода становятся эквивалентными, если расстояния между ними равны длинам обратных векторов кристалла. При этом части ЗБ подрешетки кислорода, выходящие за пределы ЗБ кристалла, транслируются в ее область, в таком случае принято говорить, что ЗБ подрешеток «свертывается» в ЗБ кристалла. Рис. 1. МДВ (а) и ЗБ (б) кристаллической решетки флюорита и кислородной подрешетки Проиллюстрируем процедуру свертывания на примере симметричных направлений. При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство. Перенос частей ЗБ подрешетки кислорода, выходящих за пределы ЗБ кристалла, внутрь этой ЗБ осуществляется векторами обратной решетки кристалла, которые могут быть параллельными или непараллельными перемещаемой линии. Так, направлению (1, 1, 1) в ЗБ кристалла отвечает линия Λ(λ, λ, λ), 0 < λ < 1/2, от центра ЗБ до точки L(1/2, 1/2, 1/2) (рис. 1, б). За пределами ЗБ кристалла это направление отвечает линии Λ´(λ´, λ´, λ´), 1/2 < λ´ < 1, от точки L(1/2, 1/2, 1/2) до точки R´(1, 1, 1) ЗБ подрешетки кислорода. Координаты точки R´ соответствуют вектору обратной решетки кристалла, поэтому эта точка транслируется в точку Г(0,0,0) ЗБ кристалла, а выходящая за пределы ЗБ кристалла линия Λ´ транслируется на линию Λ. Подчеркнем, что в этом случае мы будем анализировать ветви спектров для одного и того же направления (1, 1, 1) в обоих ЗБ и трансляция на точки и линии проводится на вектор обратной решетки, параллельный этому направлению. Здесь как раз и уместны термины «свертывание» или «развертывание» ветвей спектров. Другая ситуация реализуется для направлений (1, 0, 0) и (1, 1, 0) в ЗБ кристалла. Направлению (1, 0, 0) в ЗБ кристалла отвечает линия Δ(δ, 0, 0), 0 < δ < 1, от центра ЗБ Г(0, 0, 0) до точки Х(1, 0, 0) (совпадающей с точкой Х´ ЗБ подрешетки кислорода). На это направление вектором обратной решетки кристалла (1, 1, 1) транслируется линия Т´(1, 1, δ´), 0 < δ´ < 1, от точки М´(1, 1, 0) до точки R´(1, 1, 1) ЗБ подрешетки кислорода, находящаяся за пределами ЗБ кристалла. Направлению (1, 1, 0) в ЗБ кристалла отвечает линия Σ(σ, σ, 0), 0 < σ < 1/2, от центра ЗБ Г(0,0,0) до точки K(1/2, 1/2, 0). Эту линию можно продолжить до точки М´(1, 1, 0), которая в ЗБ кристалла эквивалентна точке Х(0, 0, 1). На это направление векторов обратной решетки кристалла (1, 1, 0) транслируется линия S´(1, σ´, σ´), 0 < σ´ < 1, от точки Х´(1, 0, 0) (эквивалентной точке М´(1, 1, 0) в ЗБ подрешетки кислорода) до точки R´(1, 1, 1) ЗБ подрешетки кислорода, причем эта линия также лежит вне ЗБ кристалла. Таким образом, перенос ветвей спектров будет происходить не с продолжения одной и той же линии, находящейся внутри обоих ЗБ, как в рассмотренном выше случае, а с линий ЗБ подрешетки кислорода, находящихся за пределами ЗБ кристалла, внутрь этой ЗБ вектором обратной решетки, не параллельным этим линиям. Здесь уместно говорить не о «свертывании» или «развертывании» ветвей спектров, а именно о «переносе» ветвей между различными (не относящимся к одной и той же линии) частями ЗБ. 2. Фононные спектры и однофононные функции плотности частот кристаллов CeO2, ThO2, NpO2 и их подрешеток Фононные спектры кристаллов CeO2, ThO2, NpO2 вычислены с использованием модели жестких ионов с потенциалом межионного взаимодействия Борна - Майера - Хаггинса [13, 14] и представлены на рис. 2. Эта модель использовалась в ряде работ [13, 14, 20] для вычисления спектров кристаллов MeO2 с решеткой флюорита и показала себя достаточно точной и эффективной. Феноменологический потенциал Борна - Майера - Хаггинса имеет вид , (1) где - эффективный заряд иона типа μ в единицах заряда электрона e; - параметры модели. Дальнодействующая часть динамической матрицы, т.е. кулоновское взаимодействие, вычислялась по методу Эвальда. Короткодействующая часть потенциала принята в форме Борна - Майера (второе слагаемое) и взаимодействия Ван-дер-Ваальса (третье слагаемое); здесь учитывалось взаимодействие ионов, входящих только в первую координационную сферу. Параметры силового взаимодействия определялись путем подгонки теоретических значений под имеющиеся экспериментальные данные (рис. 2, б), результаты приведены в следующей таблице. Параметры потенциала центральных сил для кристаллов MeO2 Взаимодей- ствую-щие атомы (μ, ν) Расстояние в единицах а* Кристалл Расстояние, Å Эффективный заряд Me (e) Параметры короткодействия A, эB , Å С, эB/Å6 CeO2 2.343 2.37 8650 0.347 - ThO2 2.424 2.48 1295 0.337 - NpO2 2.352 2.27 1050 0.337 - 0.5a CeO2 2.705 2345 0.212 15 ThO2 2.799 2659 0.218 15 NpO2 2.717 1876 0.205 15 Примечание. а* - постоянная решетки. На рис. 2, а представлены полная однофононная кристаллическая плотность состояний (1DOS) (широкая серая линия), парциальные 1DOS подрешеток (жирная черная сплошная линия - Ме, черные точки - О). Как видно из рисунков, для кристаллов ThO2 и NpO2 парциальные плотности практически совпадают с полной, так что широкая серая линия оказывается перекрытой жирной черной сплошной в области акустических ветвей, и черными точками в области оптических. Слабо различимый вклад колебаний кислородной подрешетки имеется в акустической области и столь же малозаметный вклад колебаний металла - в оптической. Для кристалла CeO2, в котором разница между величинами масс атомов металла и кислорода меньше, чем в ThO2 и NpO2, 1DOS оказывается качественно другой - в ней отсутствует запрещенная щель между акустическими и оптическими колебаниями. Это приводит к тому, что в области частот от 150 до 270 см-1 наблюдается смешивание акустических и оптических частот, однако в большей части спектра эти колебания разделены. Анализ векторов поляризации показывает, что акустические ветви в точке Г ЗБ кристаллов ThO2 и NpO2 примерно на 90% определяются колебаниями металла и примерно на 10% - кислорода (для CeO2 ~ 80% - металл, ~ 20% - кислород), однако по мере движения волнового вектора к границам ЗБ вклад в колебания атомов кислорода быстро убывает и на границах ЗБ оказывается менее 0.1%. Такое же поведение наблюдается и для оптических ветвей, только роль атомов металла и кислорода меняется. Такая уникальная особенность колебательных спектров обусловлена различием на порядок величин масс атомов металла и кислорода. В этих условиях целесообразно размещать акустические ветви колебательных спектров в ЗБ кристалла, а оптические - в ЗБ подрешетки кислорода. Рис. 2. Плотности фононных частот (а); фононные спектры (светлые кружки, эксперимент [7, 8, 25]) (б); фононные спектры, развернутые в ЗБ подрешетки кислорода (в) для кристаллов CeO2, ThO2, NpO2 Вычисленные фононные спектры CeO2, ThO2 и NpO2 представлены на рис. 2, б. Светлыми кружками обозначены значения частот, измеренные методом неупругого рассеяния нейтронов в работах [7, 8, 26]. Видно, что теоретический расчет (сплошная линия) и эксперимент находятся в удовлетворительном согласии. Спектр кристалла содержит девять ветвей с учетом вырождения поперечных акустических и оптических частот, поскольку в примитивной ячейке флюорита содержатся три частицы. Шесть оптических ветвей, определяемых преимущественно колебаниями ионов кислорода, представляют собой ветви оптических колебаний простой кубической подрешетки кислорода, «свернутые» в ЗБ кристалла. На рис. 2, в представлены фононные спектры, где оптические ветви «развернуты» из ЗБ кристалла в ЗБ подрешетки кислорода, в то время как акустические ветви оставлены в ЗБ кристалла. Здесь имеются только три оптические ветви, как и должно быть для простой решетки Бравэ. Подобное представление фононных спектров упрощает правила отбора для различных физических процессов с участием анионной подрешетки. Из рис. 2, в видно, что расчет в модели жестких ионов показывает в точке L(1/2, 1/2, 1/2) небольшое расщепление между модами LO1, LО2 и TO1, TO2, в то время как в первопринципных подходах [15, 16, 21] это расщепление существенно больше. С другой стороны, расщепление между этими модами в эквивалентных точках Х(1, 0, 0) и М´(1, 1, 0) достаточно велики как в первопринципных, так и в феноменологических моделях. В связи с этим заметим, что характер переноса ветвей фононного спектра с линии Λ(λ, λ, λ) на линию Λ´(λ´, λ´, λ´) и с линии Δ(δ, 0, 0,) на линию Т´(1, 1, δ´) качественно различен. В первом случае вектор переноса (1, 1, 1) параллелен переносимой линии, в то время как во втором - непараллелен. Обращает на себя внимание сильная дисперсия фононных ветвей в оптической части спектра, что не характерно для кристаллов с сильно различающимися массами анионов и катионов. В таких случаях обычно оптические и акустические фононы разделены широкой запрещенной полосой и в спектрах оптических ветвей наблюдается слабая дисперсия. Причина сильной дисперсии оптических ветвей может заключатся в большом кулоновском взаимодействии между атомами кислорода в соответствующей подрешетке. Уширение полосы оптических фононов приводит к тому, что численные значения частот в верхней части спектра существенно отличаются от значений в нижней части - появляются так называемые низкоэнергетические оптические фононы (НОФ). Эти фононы играют особую роль в суперионной проводимости, как это отмечалось работе [27]. НОФ определяются спецификой кристаллической структуры, в частности, наличием высокосимметричных подрешеток или «генетических» высокосимметричных структур [28, 29]. 3. Ангармонизм и двухфононная плотность состояний Как показано в работах [30, 31], функция затухания фонона Гλ0(ω) с квантовым числом λ0 ≡ ≡ (g0, j0) (g0 - волновой вектор, j0 - номер ветви) и частотой ω, обусловленная ангармонизмом третьего порядка в приближении независимости ангармонической константы третьего порядка Φ(λ0, λ1, λ2) от квантовых чисел λ0, λ1, λ2, пропорциональна двухфононной плотности состояний Dg0(ω), взвешенной тепловыми числами заполнения (2DOS): Гλ0(ω) ~ Dg0(ω) = Σλ1,λ2 ΣGδg0,g1+g2+G[(1 + n1 + n2)δ(ω1+ω2-ω) + (n2 - n1)δ(ω1 - ω2 - ω)], (2) где G - вектор обратной решетки; ni = [exp(ħωi / kBT) - 1]-1 - бозе-числа заполнения для мод ωi = = ω(gi, ji). Первое слагаемое в квадратных скобках описывает аннигиляцию фонона с квантовым числом λ0 с последующим рождением двух фононов λ1, λ2 - так называемые суммарные (sum) процессы; второе слагаемое описывает аннигиляцию фонона λ0 совместно с другим λ2 и рождение третьего λ1 (или наоборот) - разностные (dif) процессы. В этом приближении в работе [30] вычислены константы затухания фононов для CaF2, SrF2, BaF2 в центре ЗБ, в центре ЗБ и в точке Х для кристаллов CaF2 [31], UO2, PuO2 [20], BaF2, PbF2 [21], показано качественное согласие расчетов с экспериментом. Аналогично указанным выше работам мы вычислили константы затухания фононов и для кристаллов CeO2, ThO2 и NpO2 в центре ЗБ и в точке Х. Вычисления для центра ЗБ необходимы для оценки уширений линий оптически активных частот за счет ангармонизма. В точке Х, как это видно из рис. 2, располагаются НОФ, играющие важную роль в суперионной проводимости [27, 29], температурные уширения которых представляют интерес. Рис. 3. Двухфононные плотности состояний CeO2 (а), ThO2 (б), NpO2 (в) для точек Г и Х ЗБ с различными масштабами для суммарных и разностных процессов Результаты вычислений 2DOS для CeO2, ThO2, NpO2 в центре ЗБ и в точке Х представлены на рис. 3, а, б и в соответственно. На этом рисунке суммарные и разностные плотности состояний приведены в разных масштабах, чтобы более четко показать структуру разностных процессов, так как их величины существенно меньше величин суммарных процессов. Суммарные процессы, следовательно, дают преобладающий вклад в уширение фононных линий, однако наиболее высокие пики разностных плотностей состояний также вносят непренебрежимый вклад в это уширение. Первые вычисления двухфононной плотности состояний выполнены в работе [27] для CaF2. Отметим, что как 1DOS, так и 2DOS для CaF2 существенно отличаются от вычисленных нами соответствующих плотностей состояний CeO2, ThO2 и NpO2. Дело в том, что массы ионов в CaF2 отличаются лишь вдвое (ат. ед.: Са - 40, F - 19), а не на порядок, как в CeO2, ThO2 и NpO2. Поэтому имеет место сильное перемешивание акустических и оптических ветвей в области 150-300 см-1, акустические ветви располагаются в достаточно широкой области 0-300 см-1. В ThO2 и NpO2 полоса акустических ветвей расположена в более узкой области (0-170 см-1), как это видно из рис. 2, б и в, и между акустическими и оптическими ветвями имеется запрещенная полоса. В CeO2 присутствует перемешивание акустических и оптических ветвей (рис. 2, а), однако оно менее существенно, чем в CaF2. Описанные особенности 1DOS определяют структуру 2DOS. В CaF2 2DOS представляет собой один широкий структурированный пик, в то время как в CeO2, ThO2 и NpO2 выделяются два структурированных пика (рис. 3). Подобную структуру имеют также 2DOS UO2 и PuO2, вычисленные в работе [20]. В принятом приближении функция затухания Гλ0(ω0) ~ Dg0(ω0) зависит от фононной ветви через частоту ω0 и устанавливается точками пересечения вертикальных линий (значения частот в Г и Х) с функцией 2DOS на рис. 3. В кристаллах с решеткой флюорита в точке Г ЗБ имеются три частоты: активная для ИК-поглощения, расщепленная на двукратно вырожденную ТО и однократную LO, а также трехкратно вырожденная активная в КР частота ωR (рис. 2). Как видно из рис. 3, в кристаллах ThO2 и NpO2 нижняя частота ТО расположена в районе минимума 2DOS, а верх¬няя LO - в районе максимума. Активная в КР частота располагается в средней части 2DOS, в районе главного пика. Это означает, что уширение фононных линий в точке Г возрастает с ростом частоты. В кристалле CeO2 нижняя частота ТО пересекает 2DOS не в минимуме, а в максимуме с величиной, примерно равной 2DOS, в области пересечения активной в КР частотой. Отсюда следует ожидать, что температурное уширение линии частот ТО и ωR будет одинаковым. Анализ графиков на рис. 3 показывает, что температурное уширение линий активной в КР частоты оказывается близким к линейной зависимости, качественно подобной той, которая наблюдалась в эксперименте для кристалла CeO2 [11]. Из рис. 3 также видно, что НОФ располагаются как раз в области первого структурированного пика 2DOS для всех трех соединений CeO2, ThO2 и NpO2. Следовательно, тепловое уширение линий этих частот за счет ангармонизма может играть существенную роль в реализации суперионной проводимости, как это обсуждалось в [27, 29]. Заключение В кристаллах CeO2, ThO2, NpO2 за счет существенного различия масс составляющих их химических элементов акустические ветви фононного спектра преимущественно отвечают колебаниям металла, оптические - кислорода. Поскольку различающиеся по массам химические элементы размещаются в подрешетках, отвечающих различным типам Бравэ, то этот кристаллографический фактор дает возможность анализировать колебания в соответствующих ЗБ, то есть максимально учитывать специфику кристаллической структуры. Этот анализ проведен путем развертывания оптических ветвей фононных спектров из ЗБ кристалла в ЗБ подрешетки кислорода, при этом в ЗБ подрешетки оказываются три оптических ветви вместо шести в ЗБ кристалла, так как ЗБ кристалла вдвое меньше ЗБ подрешетки. Это упрощает правила отбора для различных физических процессов с участием фононов. Конечно, эти правила отбора будут приближенными, с погрешностями порядка вклада в оптические ветви колебаний металла. Подобный тип симметрии, называемый в литературе «псевдосимметрией», предназначен для учета внутренней, «скрытой» симметрии кристаллической структуры, которую необходимо учитывать при анализе физико-химических свойств соответствующих кристаллических соединений. Влияние ангармонизма на тепловое уширения фононных частот исследовано в приближении двухфононных плотностей состояний. Вычисленные двухфононные плотности состояний для всех трех соединений CeO2, ThO2 и NpO2 представляют собой два широких структурированных пика. Температурные зависимости верхнего пика показывают тепловое уширение фононных линий LO1 и LО2 в верхней части оптических ветвей. Нижний пик отвечает за тепловое уширение двух нижних оптических TO1, TO2 и акустических (LA, TA) ветвей.

Скачать электронную версию публикации