Analysis for transverse shake vibration of high-rise buildings based on partial differential equation.pdf Введение В последние годы построено множество высотных зданий, поэтому исследования в области демпфирования ударных воздействий на них должны стать центром внимания [1-3]. Высотные здания подвержены вибрационному воздействию, которое может вызывать их разрушение [4]. Последствия таких воздействий чрезвычайно серьезны. Поэтому в данной работе основное внимание уделяется анализу поперечной вибрации высотных зданий в условиях скопления людей. Низкая эффективность прогнозов поперечных колебаний высотных зданий определяется низкой точностью решений ряда возникающих задач [5]. В данной работе предложен новый метод анализа поперечных вибраций высотных зданий, позволяющий повысить точность прогнозов. Ранее было проведено большое количество исследований поперечных колебаний высотных зданий при землетрясениях. В работе [6] исследована нестационарная вибрация высотных зданий от изменения длины при постоянной скорости. В [7] изучается моделирование поперечных колебаний высотных зданий и их реакция на внешнее возбуждение. В работе [8] представлена нелинейная модель для исследования изменения во времени поперечных колебаний высотных зданий. Указанные методики позволяют эффективно анализировать поперечную вибрацию высотных зданий, но их точность и эффективность относительно низки. Для решения указанных задач предлагается метод анализа поперечных колебаний высотных зданий на основе уравнения в частных производных. Полученные результаты показывают, что предложенная методика обладает более высокой точностью и эффективностью. Анализ поперечных колебаний высотных зданий на основе дифференциального уравнения в частных производных Характеристики поперечных колебаний конструкции высотного здания. В настоящее время существует три вида методов идентификации систем для исследования характеристик колебаний по записям поперечных колебаний высотных зданий: метод передаточной функции, метод модальной минимизации и метод авторегрессионного моделирования. В настоящей работе метод передаточных функций используется для анализа характеристик свободных колебаний высотных зданий. В случае задания движения фундамента он упрощается для зданий с конечными степенями свободы до n. Уравнение движения в матричной форме имеет вид , (1) где n - число степеней свободы, соответствующее числу этажей высотного здания; и - скорости смещения и смещения на этажах высотных зданий с соответствующим фундаментом, являющиеся векторами порядка ; - вектор порядка ; - матрица демпфирования; - матрица жесткости; - абсолютное ускорение этажей высотных зданий, являющееся векторами порядка . Введя абсолютный вектор ускорения порядка , можно записать уравнение для ускорений в виде , (2) где - вектор порядка , в котором все элементы равны 1. Уравнение (1) с учетом (2) может быть преобразовано в форму . (3) Введем ортогональное преобразование для вектора {q}: . (4) После подстановки выражения (4) в (3) дифференциальное уравнение второго порядка для случая пропорционального демпфирования может быть записано так: , (5) где - собственная частота i-порядка незатухающих колебаний; - модальный коэффициент демпфирования; - i- коэффициент модального участия, который вычисляется по формуле . (6) При этом может быть учтено преобразование Фурье на концах интервала в (6): . (7) Из уравнений (2) и (4) следует выражение . (8) Если (8) определяет с использованием преобразования Фурье отклика этажа высотного здания, то она может быть преобразована к виду . (9) Из этого уравнения можно получить передаточную функцию ускорения этажа высотного здания с соответствующим фундаментом: . (10) Цель идентификации - определить все модальные параметры в (10) передаточной функции в соответствии с измеренными данными [9-14]. Для системы с несколькими степенями свободы, когда демпфирующая способность системы мала, а собственные частоты каждого порядка существенно различаются, взаимодействие между модами очень мало, так что эффектом связи между модами колебаний можно пренебречь. При выборе собственной частоты и значения соседней функции частотной характеристики, а именно , влиянием соседних мод на модальность i-порядка можно также пренебречь. Таким образом, соотношение (10) можно записать в виде . (11) Связь между действительной частью функции частотной характеристики H(ω) и частотой имеет вид . (12) Связь между мнимой частью функции частотной характеристики и частотой ω можно записать так: . (13) Амплитудно-частотное соотношение функции частотной характеристики определяется выражением . (14) Фазово-частотное соотношение функции частотной характеристики выражается как . (15) Модальный коэффициент демпфирования конструкции высотного здания. Реальная характеристика демпфирования типичной структурированной системы очень сложна, поэтому ее трудно определить. Метод логарифмического коэффициента затухания используется для непосредственной оценки модального коэффициента демпфирования высотных зданий. Амплитуда любых двух соседних положительных волновых пиков в стадии свободных колебаний в момент времени определяется соотношением . Амплитуда в момент времени , через период колебаний T, определяется . Таким образом, отношение амплитуд в соседних периодах определяется так: . (16) В приведенном выше выражении период колебаний определяется выражением . Вычисляя логарифмы левой и правой частей (16), получаем соотношение . (17) Таким образом, коэффициент демпфирования высотных зданий определяется как , (18) где - логарифмическая скорость затухания. Выражение (18) может быть переписано в виде . (19) Для системы с малым затуханием достаточно сохранить только первые два члена в последовательности соотношений (19), чтобы получить достаточную точность. Таким образом, значение ξ может быть вычислено: . (20) Либо для расчета используются пики для периодов n и n+m: . (21) С использованием измеренных изменений смещений и амплитуды колебаний можно определить коэффициент демпфирования по (20) и (21). Опираясь на частотный спектр, метод передаточной функций используется для определения характеристик поперечной вибрации конструкции, таких, как собственная частота, режим колебаний и коэффициент демпфирования высотных зданий [15-20]. Установление дифференциального уравнения для поперечных колебаний высотных зданий. В этой работе для исследования поперечных колебаний высотных зданий используется теория малых прогибов тонких пластин. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний высотных зданий может быть получено в рамках теории малых прогибов тонких пластин в виде [21-23] , (22) где ; ; ; - изгибная жесткость высотных зданий; - модуль упругости строительных материалов для высотных зданий; - толщина высотных зданий; - коэффициент Пуассона; - коэффициент изгибного демпфирования высотных зданий; - дифференциальный оператор Лапласа в полярных координатах; - поперечное смещение при колебаниях высотных зданий, которое является функцией полярных координат r, θ и t; - распределение и концентрация осевой составляющей усилий, действующих по всей поверхности высотного здания. С учетом осевых усилий, действующих на высотные здания, величина q может быть представлена в зависимости от функции в виде соотношения , (23) где q - угловая скорость вращения высотного здания. Под вращательной полярной координатой понимается координата точки высотного здания в момент времени t. Поэтому дифференциальное уравнение поперечных колебаний высотных зданий можно записать так: . (24) Дискретное решение дифференциального уравнения в частных производных. Введем переменную , которая позволяет преобразовать область интегрирования для переменной x в область (0,1) около . Предположим, что , а отношения частной производной по x и t и частной производной по и имеют вид (25) Пусть и частная производная по x и t имеет такое же отношение к частной производной по и : , (26) где - обобщенная координата; - функции предполагаемых форм колебаний; n - количество мод колебаний. Тогда функции можно записать в виде . (27) Подставим выражения (26) и (27) в (25), а затем результат умножим на . Полученные функции проинтегрируем в пределах . В результате дифференциальное уравнение в частных производных будет преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение: , (28) где - матрица масс; - матрица демпфирования; - матрица жесткости; - матрица обобщенных сил. Элементы матриц , , и определяются выражениями: ; (29) ; (30) (31) (32) Выражение (28) интегрируется шаг за шагом так, чтобы получить обобщенное значение координаты q в различные моменты времени и в разных точках пространства. Поперечные смещения при колебаниях высотных зданий можно получить, введя величину q в (26). Общая блок-схема анализа поперечных вибрационных характеристик высотных зданий приведена на рис. 1. Рис. 1. Блок-схема анализа поперечных вибрационных характеристик высотных зданий Результаты исследования Рис. 2. Модель эксперимента Для того чтобы проверить комплексную эффективность метода поперечной вибрации высотных зданий на основе уравнения в частных производных, необходимо проверить точность и вычислительную эффективность результатов анализа предлагаемого метода [24]. При тестировании методики в качестве объекта анализа было выбрано высотное здание. Модель, примененная при тестировании, показана на рис. 2. Предложенный метод и метод анализа характеристик колебаний окружающих зданий (вызванных поездами метрополитена), а также характеристики поперечных колебаний готовой продукции (хранящейся на металлургическом заводе) были использованы для расчета поперечных перемещений при колебаниях на верхнем этаже высотного здания. Результат расчета представлен на рис. 3. На рис. 3 приведены результаты испытаний трех методов расчета поперечных смещений при колебаниях на вершине высотного здания. На рис. 3, а временной шаг составляет t = 0.004 с в реальном масштабе времени, а линии поперечных перемещений высотных зданий получены с помощью трех разных методов. Можно видеть, что результаты расчета смещения по трем методам хорошо согласуются с фактическими данными. На рис. 3, б показана полученная с помощью обсуждаемого метода кривая, которая хорошо согласуется с фактической кривой и имеет лучшую устойчивость (меньшую амплитуду колебаний) [25]. Хотя два других метода также обладают хорошей устойчивостью при анализе поперечных колебаний высотных зданий в условиях тесноты, стабильность процесса анализа нарушается из-за изменения временного интервала, приводящего к уменьшению отклонения результатов расчета. Предлагаемый метод используется для проверки и сравнения изменений поперечной вибрации верхнего этажа высотных зданий с данными из справочных материалов [6, 7], принимая точность (%) результатов расчета смещения в качестве показателя. Результаты испытаний представлены на рис. 4. На рис. 4 показана точность трех методов расчета смещений верхней части здания. Сравнение результатов свидетельствует, что точность предложенного метода расчета верхнего смещения высотных зданий выше, чем у двух других методов. Таким образом, точность предложенного метода при расчете поперечных смещений при колебаниях высотных зданий в условиях плотной застройки выше. Рис. 3. Сравнительный тест устойчивости поперечных колебаний для различных методов: а - временной шаг при нагрузке t = 0.004 с; б - временной шаг при нагрузке t = 0.008 с Рис. 4. Сравнительный тест точности результатов расчета поперечного перемещения на крыше высотного здания с помощью различных методов Проведено сравнение эффективности (h) трех методов прогноза поперечных смещений при колебаниях высотных зданий, результаты которого приведены в таблице. Из таблицы следует, что время решения задачи по предложенному методу расчета поперечных смещений колебаний высотных зданий составляет примерно половину времени двух других методов. Полученные результаты показывают, что предложенный метод является более эффективным при расчете изменения поперечных смещений при колебании слоистой конструкции. Результаты сравнительного теста вычислительного времени различных методов Метод Предлагаемый метод Эталонный метод [6] Эталонный метод [7] Компьютерное время 86 170 171 Проведено сравнение энергозатрат (Дж) предложенного метода и эталонных методов [6, 7] для расчета поперечных перемещений при колебаниях высотных зданий. Результаты приведены на рис. 5. Рис. 5. Сравнительный тест на энергопотребление при использовании различных методов: а - предлагаемый; б - эталонный [6]; в - эталонный [7] Как видно из рис. 5, энергозатраты всех трех методов расчета поперечных перемещений при колебаниях высотных зданий возрастают с увеличением времени моделируемого процесса, причем энергозатраты также изменяются со временем. При увеличении времени от 0 до 140 с энергопотребление предлагаемого способа расчета поперечных перемещений высотных зданий колеблется в пределах 250-400 Дж, а у эталонного метода [6] изменяется в пределах 350-600 Дж, в то же время в методе [7] варьируется от 450 до 750 Дж. Очевидно, что по сравнению с двумя другими методами энергопотребление предлагаемого метода значительно ниже. Обсуждение Из результатов, представленных на рис. 3, следует, что предлагаемый метод дает стабильные результаты. Методы анализа характеристик вибраций окружающих зданий, вызванных поездами метрополитена, и метод анализа характеристик поперечных вибраций готовой продукции, хранящейся на металлургическом заводе, являются более эффективными при анализе поперечной вибрационной реакции высотных зданий в условиях перегруженности. Устойчивость метода анализа характеристик вибрации окружающих зданий (вызванной поездами метро), и метода анализа поперечной вибрации (характерной для готовой продукции сталелитейного завода) хороши при анализе поперечной вибрации высотных зданий в условиях тесноты. Вместе с тем, стабильность процесса анализа нарушается из-за изменения временного интервала, поэтому расчетные отклонения уменьшаются. Из сравнения данных на рис. 4 видно, что точность предложенного метода расчета смещений верхнего уровня высотных зданий значительно выше, чем у метода анализа характеристик колебаний окружающих зданий и метода расчета изменения смещения поперечных колебаний высотных зданий с помощью метода анализа поперечных вибраций. Из таблицы следует, что предложенный метод обладает более высокой эффективностью при расчете поперечного перемещения колебаний конструкции. Из рис. 5 видно, что энергозатраты у предлагаемого способа расчета существенно ниже по сравнению с затратами метода анализа характеристик вибрации конструкций, а также энергозатратами на расчет изменения смещения поперечных колебаний высотных зданий при использовании метода анализа поперечных вибраций. Выводы Разработан метод анализа поперечных колебаний для высотных зданий на основе уравнения в частных производных. В рамках анализа характеристик поперечных колебаний слоистой конструкции с помощью принципа Гамильтона построено дифференциальное уравнение поперечных колебаний высотных зданий. Уравнение решается численно методом Галеркина, применяемого для решения системы дифференциальных уравнений, что позволяет получить поперечные смещения высотного здания при различных частотах возбуждения. Результаты испытаний показывают, что предложенный метод имеет меньшее время расчета и более высокую точность.

Скачать электронную версию публикации