Rotating electrically charged ideal fluid with magnetic and vortex gravitational fields in general relativity.pdf В рамках эйнштейновской теории гравитации (ОТО) рассматривается стационарная система вращающейся электрически заряженной идеальной жидкости с баротропным уравнением состояния ( ) совместно с вихревым гравитационным полем и продольным магнитным полем , индуцируемыми вращающейся электрически заряженной жидкостью. Различные случаи цилиндрически-симметричных конфигураций вращающейся электрически нейтральной идеальной жидкости рассматривались, например, в работах [1-5]. Простейшим стационарным пространством-временем, совместимым с самогравитирующей вращающейся жидкостью, является пространство с цилиндрической симметрией, описываемое метрикой . (1) Здесь метрические коэффициенты A, B, C, D, E являются функциями от радиальной координаты ; - азимутальный угол ( ). В этом пространстве возможно существование стационарного вихревого гравитационного поля, являющегося вихревой составляющей полного гравитационного поля. В общем случае вихревое гравитационное поле определяется 4-мерным ротором поля тетрад [1, 2] , (2) где - ортонормированные векторы касательной тетрады; латинские индексы i, k, l, m - мировые индексы, а индексы (a), (b), (c) и т.д. - лоренцевы индексы. С кинематической точки зрения аксиальный 4-вектор ωi есть угловая скорость вращения тетрады. Она определяет плотность собственного момента импульса гравитационного поля : . (3) Вихревое гравитационное поле характеризуется также своим тензором энергии-импульса , компоненты которого пропорциональны ω2. Он удовлетворяет локальному закону сохранения относительно соответствующей статической метрики (в данном случае при ). В рассматриваемом случае в пространстве (1) . (4) Вычисления по формуле (2) скорости ωi в пространстве с метрикой (1) дают выражение ( ), (5) а ее абсолютное значение следующее: . (5') Мы полагаем, что наша вращающаяся система отсчета является сопутствующей материальному источнику гравитации, поэтому азимутальный поток . В силу уравнений Эйнштейна и отсюда получаем выражение для угловой скорости , . (6) Эффективное пространственное сечение для данного пространства-времени определяется 3-мерной метрикой . (7) Так что наблюдаемая геометрия пространства-времени (1) определяется метрическими коэффициентами A, C, D, R, где - метрический угловой коэффициент в метрике 3-мерного пространственного сечения (7). Здесь основной материальной компонентой является вращающаяся электрически заряженная идеальная жидкость с баротропным уравнением состояния ( ), и поскольку при ее вращении получаются кольцевые электрические токи, то в системе будет индуцироваться магнитный момент с распределенным продольным магнитным полем Bz(x), направленным вдоль оси симметрии OZ. Такому магнитному полю соответствует 4-векторный потенциал Ai с компонентами . (8) При этом у тензора напряженности электромагнитного поля будет только одна ненулевая ковариантная компонента . Ненулевые контравариантные компоненты у этого тензора следующие: , ( ). (9) Плотность электрического тока определяется формулой , где - плотность электрического заряда, а - 4-скорость, нормированная на единицу: , так что в сопутствующей системе отсчета компоненты 4-скорости и плотности тока будут иметь вид , . (10) При этом закон сохранения электрического заряда выполняется тождественно. Далее выписываем уравнения Максвелла для данного электромагнитного поля: . Их получается два: 1) ; 2) . (11) Из 1-го уравнения получаем ( ), . (12) С учетом формул (12) уравнение (11.2) примет вид , т.е. . (13) С помощью формулы (5) для угловой скорости выражение (13) приведем к виду . (14) После этого, учитывая далее формулу (6), окончательно придем к выражению для плотности электрического заряда : . (15) Но с другой стороны, электрические заряды всегда имеют материальные носители, т.е. они вморожены в материю с плотностью энергии . Поэтому отношение плотности электрического заряда к плотности энергии для данного вида материи, в нашем случае для идеальной жидкости, всюду одинаково, т.е. ( ), . (16) Тогда из (14) и (15) получаем выражение для плотности энергии идеальной жидкости: . (17) В то же время из закона сохранения для материи для данного случая идеальной жидкости получаем уравнение . (18) С учетом уравнения состояния у рассматриваемой идеальной жидкости решение уравнения (18) будет следующим: ( ). (19) Сравнивая (16) и (18), получаем соотношение для метрических коэффициентов ( , , , - константы). (20) Теперь необходимо вычислить компоненты тензора энергии-импульса (ТЭИ) магнитного поля по формуле . (21) Используя выражения (9) для , получим из (21) формулы для смешанных компонент ТЭИ магнитного поля , , , . (22) Тензор энергии-импульса идеальной жидкости вычисляем по формуле (в сигнатуре +++-) , . (23) С учетом формулы (10) для 4-скорости получим , . (24) При выписывании уравнений Эйнштейна для рассматриваемой системы физических полей будем их брать в форме . Для удобства метрические коэффициенты также представим в экспоненциальной форме: , , , . (25) При этом соотношение (20) между метрическими коэффициентами примет вид , а для производных от и получим связь: , . (26) Будем также пользоваться гармоничным координатным условием . Далее, используя полученные выше формулы (4), (10), (12), (17), (19), (22), (24), (25) и условие гармоничности ( ), пропуская промежуточные выкладки, выпишем уравнения Эйнштейна в окончательном виде для гравитирующей вращающейся электрически заряженной жидкости, взаимодействующей с вихревым гравитационным полем и индуцированным продольным магнитным полем: . (27) Кроме того, учитывая полученное соотношение , множитель , присутствующий в последних слагаемых в правой части уравнений этой системы, приведем к виду . (28) Теперь, комбинируя 3-е и 4-е уравнения системы (27) с учетом соотношений (26) и формулы (28), получим уравнение для метрического коэффициента : . (29) В результате получилось алгебраическое уравнение с постоянными коэффициентами для этого метрического коэффициента. Из уравнения следует, что , а выбором масштаба времени можно сделать равным единице ( ). Отсюда с учетом соотношений (26) получаем , , и . (30) С помощью (30) два уравнения для функций и системы (27) после сокращения на примут вид алгебраических соотношений между характеристическими параметрами системы ( , , , , ), следствием которых и будет являться формула (29) при : (31) При этом уравнение 1-го порядка системы уравнений (27) с учетом (30) и (31) обращается в тождество. Далее из формулы (6) для угловой скорости с учетом (30) следует, что везде одинакова и является постоянной величиной: , а из формул (28), (30), (31) получается, что и плотность энергии постоянна: , а значит, и давление везде одинаково: , а все параметры данного материального распределения выражаются через величины и : , , , . (32) Из этих соотношений получаем границы возможных значений коэффициента баротропности : . (33) Из условия (33) получается, что для конфигурации вращающейся самогравитирующей электрически заряженной жидкости невозможны случаи предельного уравнения состояния ( ) и вакуумно-подобного состояния ( ). Теперь, подставляя формулы (30) и (32) в уравнение для коэффициента системы (27), это уравнение приведем к окончательному виду . (34) Из данного уравнения видно, что при следует, что , а это есть необходимое (но не достаточное) условие для образования геометрии «кротовой норы», т.е. «кротовая нора» может получиться лишь при . При имеем вращающуюся электрически заряженную пылевидную материю. Такой случай, но без учета вихревого гравитационного поля, рассматривался в работе [6]. Мы здесь также начнем с рассмотрения этого случая, но с учетом вихревого гравитационного поля. Тогда из (32) получим , , , , , (35) а из (34) найдем решение для углового метрического коэффициента , , ( ), . (36) Совершая координатное преобразование , метрику пространства-времени в (3+1)-представлении запишем так: ( ). (37) Далее мы будем рассматривать только те варианты уравнения (34) для метрического коэффициента , которые могут приводить к геометрии «кротовых нор», когда . Случаи, когда , соответствуют различным видам экзотической материи и не могут, как видно из (34), приводить к геометрии «кротовых нор», так как в этих случаях , и мы их здесь не рассматриваем. Поскольку мы анализируем вариант, когда , то сделаем для удобства переобозначение коэффициента : , т.е. . (38) Уравнение (38) - это уравнение Лиувилля, и решение его известно. Первый интеграл этого уравнения имеет вид . (39) Здесь - знаковая функция: при ; при ; при . Поэтому будем рассматривать эти три случая отдельно. 1) Пусть , тогда интеграл (39) запишем в форме . (40) Решение этого уравнения следующее: ( ). (41) Остальные метрические коэффициенты практически определены ранее , , . (42) Из формулы (41) видно, что пространственная бесконечность, когда , имеет место при , а ось симметрии, где , находится при бесконечном значении радиальной координаты ( ). 2) , из (39) получаем решение для : ( ). (43) Остальные метрические коэффициенты определяются формулами (42). Здесь, как и при , при имеем пространственную бесконечность, а ось симметрии в точке . В обоих предыдущих случаях ( , ) не получается геометрия «кротовой норы». 3) . Это самый интересный случай, при котором получается решение с геометрией «кротовой норы». При этом уравнение 1-го порядка (39) для метрического коэффициента будет такое: . (44) Его решение следующее: ( ). (45) Видно, что в этом интервале везде больше нуля, а на обоих его концах , т.е. получаются две пространственные бесконечности, что соответствует геометрии «кротовой норы». Чтобы представить это решение в более наглядном физическом виде, произведем преобразование радиальной координаты к координате , при котором метрика будет наиболее близка к метрике Минковского, а концы интервала ( ) раздвинутся в бесконечность. Это преобразование можно записать так: . (46) В результате метрика пространства-времени получившейся «кротовой норы» будет иметь вид ( ). (47) Видно, что все метрические коэффициенты в метрике (47), кроме углового метрического коэффициента, совпадают с соответствующими метрическими коэффициентами метрики пространства Минковского в цилиндрических координатах: . В этой метрике угловой метрический коэффициент ( , ) равен нулю при (точка на оси OZ) и при , что соответствует пространственной бесконечности. Однако в получившейся метрике (47) угловой метрический коэффициент везде больше нуля и нигде не равен нулю, при и при , т.е. получаются две пространственных бесконечности на обоих концах интервала ( ), что соответствует геометрии «кротовой норы». Таким образом, цилиндрически-симметричная конфигурация вращающейся электрически заряженной идеальной жидкости с баротропным уравнением состояния при может образовывать «кротовые норы». При этом по всему распределению материи угловая скорость везде одинакова ( ), т.е. получается твердотельное вращение, а также везде одинаковы и плотность энергии ( ), и плотность электрического заряда , пропорциональная плотности энергии ( , ). Кроме того, все характеристические параметры системы ( , , , , ) выражаются через два из них ( , ) по формулам (32).

Скачать электронную версию публикации