Influence of porosity on filtration of biological fluid through a two-layer capillary wall.pdf Введение Проблема течения жидкостей в пористых средах имеет отношение ко многим природным и промышленным системам, таким, как сушка пищевых продуктов, синтез строительных материалов, химическая технология, создание различных лекарственных форм и теплозащитных материалов. С течением в нанопорах неразрывно связано высвобождение инкапсулированных лекарственных средств [1, 2]. Течению жидкостей сопутствуют адсорбция компонентов на поверхностях пор; химические реакции, зависящие от свойств каталитических поверхностей, различных продуктов; проникание влаги в строительные материалы, порошки, таблетки, биомедицинские материалы, что приводит к изменению функциональных свойств материалов; закупорка пор, разрушение, связанное с избыточным давлением в порах и т.д. Пористые структуры отличаются большим разнообразием как в искусственных, так и в естественных материалах и живых системах. Фильтрация биожидкостей присутствует почти во всем организме человека. Имеется достаточно много работ, посвященных течению крови и других биологических жидкостей в капиллярах. Например, в [3, 4] предложена двухфазная модель течения крови в капиллярах, в [5] изучается влияние геометрии и строения капилляра на течение жидкости, авторы работы [6] анализируют роль патологического искривления капилляра в характере течения; работа [7] посвящена исследованию динамики транспорта кислорода в капиллярах. Рис. 1. Схема поперечного сечения капилляра: 1 - макропора, пористые слои: 2 - эндотелиальные клетки (эндотелий), 3 - базальная мембрана В работах, посвященных переносу жидкости в пористых биологических материалах, в том числе течению крови в артериях и капиллярах, подчеркивается, что обмен веществ через капиллярную стенку регулируется фильтрацией, диффузией и абсорбцией. Эти процессы неразрывно связаны с разницей гидростатического давления крови в капилляре. На транспорт крови оказывает сильное влияние структура капиллярной стенки [5]. Изменения свойств стенки играют важную роль в возникновении и развитии ряда серьезных заболеваний. Так, повышенная проницаемость капилляра, развивающаяся при диабете и отеке сердца, ведет к развитию остеоартрита. Стенки капилляров, являющихся частью сердечно-сосудистой системы, состоят из двух слоев: базальной мембраны и эндотелиальных клеток (рис. 1). Эндотелий - это однослойный пласт клеток, выстилающих внутреннюю поверхность кровеносных сосудов. Базальная мембрана - тонкий бесклеточный слой, отделяющий соединительную ткань от эпителия или эндотелия. В зависимости от местоположения капилляры подразделяются на три типа: сплошные, онкотические и прерывные. Капилляры разных типов имеют разную структуру и различную пористость слоев. В работе [8] предложена модель фильтрации биологической жидкости в цилиндрическом слое с учетом бародиффузии. Показано, что на процесс фильтрации в конвективном и в диффузионном режимах течения существенно влияет толщина пористой стенки капилляра и эффект бародиффузии. В настоящей работе для исследования диффузии компонента, содержащегося в биологической жидкости, предложена модель течения в капилляре с двухслойными стенками и изучено влияние пористости и толщин слоев на распределение скорости жидкости и концентрации. Постановка задачи Представим капилляр в виде цилиндра с двухслойными стенками. По всей длине цилиндра параметры течения одинаковы, что позволяет ограничиться одномерной моделью (рис. 1). Стенка капилляра состоит из двух слоев с толщинами и , где - радиус макропоры, и - радиусы внутреннего и внешнего слоев капилляра. Один из слоев стенки капилляра соответствует эндотелию (область 2 на рис. 1), второй - базальной мембране (область 3 на этом рисунке). Значения давления (или градиента давления) и концентрации внутри капилляра и вне его заданы и соответствуют стационарному режиму течения жидкости. Течение в объеме капилляра (область 1) опишем уравнениями Навье - Стокса. Микропористые стенки (области 2 и 3) моделируем средой Бринкмана [9]. Жидкость считается двухкомпонентной и несжимаемой. С учетом этих предположений математическая постановка задачи состоит из двух частей. «Гидродинамическая» часть включает уравнения движения для стационарного режима течения: : ; (1) : ; (2) : , (3) где , - скорости и плотности жидкости в 1-3 областях (i = 1-3); - концентрация переносимого вещества в областях 1-3; - давление жидкости в 1-3 областях (i = 1-3); - вязкость первой области; - вязкость в законе Дарси, которая в общем случае отличается от , i = 2, 3; - сила тяжести, - проницаемость пористой среды для второй и третьей областей, m2 и m3 - пористости второй и третьей областей. Давления в областях непосредственно связаны с концентрацией [8]: , , или , , , где - объемный модуль упругости жидкости; - коэффициент концентрационного расширения; С10, С20, С30 - заданное «нулевое» приближение. Для диффузионной части задачи имеем: : ; (4) : ; (5) : . (6) Граничные условия задаются в центре капилляра, на его внешней поверхности и на границах раздела сред: : , , (7) : , ; (8) , ; (9) : , ; (10) , ; (11) : , . (12) Здесь , и - коэффициенты диффузии в областях 1, 2 и 3; - подвижности вещества в разных средах; - возможный сток вещества на внешней стенке капилляра. Положим, что вязкость жидкости линейна по концентрации и может различаться в разных областях: , , . (13) Метод решения Для удобства численного решения задачи перейдем к безразмерным переменным: , , , , , (14) в которых задача (1) - (13) примет следующий вид: : ; (15) ; (16) : ; (17) ; (18) : ; (19) ; (20) : , ; (21) : , ; (22) ; ; (23) : , ; (24) , ; (25) : ; (26) , (27) где , , , , . , , . В результате в задаче появились следующие безразмерные параметры: - диффузионное число Пекле; и - параметры Дарси; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Стационарная задача для пористой стенки (15) - (27) решена численно методом установления. В этом случае строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени оказывается не зависящим от него и устанавливается к решению исходной стационарной задачи [10]. В дифференциальных уравнениях (15) - (20) конвективное слагаемое расписываем разностью против потока [11]. Такая разность обеспечивает аппроксимацию конвективного слагаемого при любом направлении скорости потока и приводит к устойчивому алгоритму. Дифференциальные уравнения для концентрации и скорости решали методом прогонки, используя «начальное» приближение и итерации. В первую очередь задаются начальные распределения концентраций и скоростей. Граница раздела выделяется явно. В прямой прогонке находятся коэффициенты с выделением особой точки на границе раздела. В ходе обратной прогонки сначала находятся коэффициенты на границе контакта сред, а потом с помощью выражения (25) - величины в этой же точке, и расчет ведется далее на следующей границе с учетом первого выражения в (23). Точно также вычисляются скорости. Вычисления ведутся до тех пор, пока решение не перестает изменяться с заданной точностью. Варьирование шагов по пространству приводит к изменению результатов не более чем на 1-5% в широкой области изменения параметров модели. Анализ результатов В расчетах использованы следующие значения параметров: коэффициенты диффузии в пористых слоях на 1-2 порядка меньше, чем в макропоре = 0.1, = 0.1; параметры Дарси рассчитаны, согласно формуле, описанной в [12], и имеют значения = 0.01 и = 0.01. Параметр, учитывающий концентрационное расширение, рассчитывался по формуле выше подстановкой соответствующих размерных параметров , плотность жидкой фазы во всех трех областях одинакова, поэтому , , параметры , , , , аналогичны модели, описанной в [13]. В [8] показано, что существуют два основных режима течения - конвективный ( , преобладает конвективная скорость массопереноса) и диффузионный ( , преобладает диффузионная скорость массопереноса). В случае капилляра с двухслойными стенками наблюдаются эти же два предельных случая. Пример распределения концентрации и скорости для этих двух режимов представлен на рис. 2. В диффузионном режиме течения (рис. 2, сплошные кривые) основной вклад в массоперенос вносит диффузия, которая является медленным процессом, и поэтому меньшее количество диффузанта попадает в пористую стенку капилляра. В конвективном режиме (рис. 2, пунктирные кривые) скорость течения жидкости выше, и она глубже проникает в пористый слой, чем в диффузионном режиме. Разрывы на рисунках для распределения концентрации и скорости связаны с численным моделированием, т.е. в каждой из областей задается своя концентрация и скорость. Но их распределение остается непрерывным. Во всех расчетах контролировалось выполнение закона сохранения массы. Рис. 2. Распределение концентрации (а) и скорости (б) по радиусу при конвективном (пунктирные кривые) и диффузионном (сплошные кривые) переносе вещества; m2 = 0.3, m3 = 0.2 Рис. 3. Распределение концентрации (а, б) и скорости (в, г) по радиусу при конвективном (а, в) и диффузионном (б, г) переносе вещества и разных значениях пористости во внутреннем пористом слое капилляра: кр. 1 - m2 = 0.2, кр. 2 - m2 = 0.25, кр. 3 - m2 = 0.3; m3 = 0.2 Внутренний слой капилляра в зависимости от его типа имеет разную пористость. Поэтому интересно исследовать влияние пористости этого слоя на процесс фильтрации. На рис. 3 представлено распределение концентрации и скорости по радиусу для конвективного (рис. 3, а, в) и диффузионного (рис. 3, б, г) режимов течения жидкости при варьировании пористости во второй области. Пунктирным линиям на рис. 3 и 4 соответствуют границы областей капилляра. При увеличении пористости внутреннего слоя стенки капилляра концентрация и скорость диффузанта во второй области вблизи границы раздела уменьшаются. Это объясняется увеличением объема порового пространства, так что диффузант свободнее перемещается во второй области. На распределении концентрации в первой области варьирование пористости практически не сказывается при любом числе Пекле; только в окрестности границы раздела концентрация незначительно уменьшается. Скорость в пористых стенках капилляра увеличивается при увеличении m2. При диффузионном режиме течения концентрация во второй области больше, чем в конвективном режиме течения. Биологическая жидкость (кровь) - является многокомпонентной жидкостью, состоящей из молекул разного размера. Переносимый компонент может обладать разной подвижностью в различных областях, где состав жидкости может быть неодинаков. Влияние подвижности диффузанта продемонстрировано на рис. 4. Уменьшение параметра , т.е. увеличение подвижности элемента, приводит к повышению его содержания в пористом слое и скорости движения. Результаты расчетов, представленные на рис. 4, выполнены при разной пористости слоев капилляра. Если пористость в обоих слоях стенки капилляра будет одинаковая, то качественно картина распределения концентрации и скорости получается аналогичная, но значения их в первой и второй областях будут выше, а в третьей - ниже (на рисунках не показано). Рис. 4. Распределение концентрации (а) и скорости (б) по радиусу при конвективном переносе вещества и разных значениях подвижности фаз: кр. 1 - = 1, кр. 2 - = 0.8, кр. 3 - = 0.6; m2 = 0.3, m3 = 0.2 При уменьшении толщины внутреннего пористого слоя капилляра переносимое вещество глубже проникает в этот слой и в большем количестве присутствует во внешнем пористом слое, увеличивается скорость в пористых слоях (на рис. 4 не представлено). Рис. 5. Распределение концентрации (а) и скорости (б) по радиусу при конвективном переносе вещества и разных значениях: кр. 1 - ; кр. 2 - ; m3 = 0.2; m2 = 0.2 Все предыдущие расчеты осуществлены с учетом концентрационного расширения, которое описывается параметром , входщим в безразмерный комплекс . Поэтому представляет интерес сравнение распределений концентрации и скорости в пористых стенках с учетом и без учета этого явления (рис. 5). Видно, что с учетом концентрационного расширения скорость в окрестности границы увеличивается; это наблюдается с обеих сторон границы раздела. Концентрационное расширение приводит к тому, что большее количество диффузанта попадает в пористую стенку капилляра. Если не учитывается концентрационное расширение, давление в слоях зависит только от его начального значения. В данной модели концентрационное расширение влияет только через изменение скорости течения. Заключение В работе представлена модель течения биологической жидкости в капилляре с двухслойными пористыми стенками. Исследовано влияние режима течения на распределение скорости и концентрации. При одинаковой пористости в двух слоях капилляра распределения скорости и концентрации получаются качественно аналогичными случаю с однослойной стенкой капилляра. Однако численные значения зависят от суммарной толщины стенки. Концентрация диффузанта в пористых слоях повышается с ростом пористости внутреннего слоя стенки капилляра, при увеличении подвижности диффузанта и с повышением коэффициента концентрационного расширения. Скорость в области границ раздела возрастает, когда слои стенки капилляра имеют разную пористость, что связано с ростом градиента концентрации, который увеличивается на границе. Для достижения необходимой скорости проникания жидкости из области макропоры через микропористые стенки капилляр должен иметь внутренний слой с большой пористостью и размер, меньший, чем размер внешнего слоя. Это обеспечивает прерывистое поступление переносимого компонента в окружающую капилляр среду.

Скачать электронную версию публикации