On thermal equilibrium in extended parastatistics of non-extensive systems.pdf Введение К настоящему времени достаточно подробно исследованы свойства неэкстенсивных (неаддитивных) систем, характеризующихся негауссовыми и негиббсовыми распределениями и проявляющихся в аномальных физических процессах [1-4]. Основой являются параметрические энтропии, которые зависят от одного или двух параметров, и были впервые получены в статистической теории информации для нормированных распределений. Для квантовых систем рассматриваются лишь обобщения энтропий с использованием статистик Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна. Парастатистика введена в работе [5] на основе метода Бозе для аддитивных систем [6], где число частиц в -состоянии меняется от 0 до r. В равновесном состоянии замкнутой системы имеет место следующее распределение для среднего числа частиц в -состоянии [5] . (1) Здесь - температура; - энергия частиц; - химический потенциал. При из (1) вытекает формула для статистики Ферми - Дирака и при имеем распределение для статистики Бозе - Эйнштейна. Для неэкстенсивных систем исследовались свойства парастатистики в области самораспада и самоорганизации [7-11]. Приводится расширение традиционной аддитивной парастатистики [5], для которой число частиц в -состоянии j меняется от s до r и вводится следующее распределение для среднего числа частиц в равновесном состоянии замкнутой аддитивной системы [10, 11]: . (2) В продолжение работ [10, 11] представляется необходимым дальнейшее исследование свойств расширенной парастатистики. 1. Гиперболические и тригонометрические энтропии Рассмотрим квантовую аддитивную систему в расширенной парастатистике, которая описывается статистикой состояний [5, 6], где в -состоянии находится j частиц ( и ). Для совокупности частиц имеют место квантовые состояния , где - число состояний. Значение соответствует традиционной аддитивной парастатистике [5] с распределением (1). Число состояний и число частиц определяются следующим образом: . (3) Взвешенное среднее значение (или общее значение) произвольной величин и числа частиц имеют вид ; (4) . (5) Усреднение производится нормированным распределением для каждого -состояния с весом . (6) Согласно методу Бозе, для статистики состояний выводится логарифмическая мера квантовой энтропии для аддитивных систем (7) и находится экстремум энтропии (7) для замкнутой системы при вариации с условием сохранения общего значения энергии, числа частиц и числа состояний . (8) В итоге имеем известное распределение состояний [5] , (9) которое приводит к значению среднего числа частиц (2). В расширенной парастатистике для неэкстенсивных систем исходными соотношениями являются следующие [10]: ; (10) ; (11) . (12) Здесь усреднение производится ненормированным распределением . Усреднение с используется в работах [7-11] и является единственно правильным в статистической механике неэкстенсивных систем. Среднее число частиц в -состоянии определяется равенством . (13) Обобщением функционала (7) является мера энтропии (14) с известным распределением состояний для замкнутой системы [10] . (15) Если и , то соотношения (10) - (15) совпадают с формулами (1) - (9) для аддитивных систем. При геометрическом подходе вводится значение угла : , (16) которое при умножении на дает квантовый аналог известной энтропии Реньи [12]. Выражение для угла зависит от полунормы распределения . Квантовый аналог энтропии Реньи в расширенной парастатистике (17) имеет аддитивный закон композиции (18) для независимых систем с , и , который отображается на аддитивную группу углов . Рассмотрим среднее взвешенное значение энтропии (14) , (19) зависящее от угла , с законом композиции группы энтропий с квадратичной нелинейностью . (20) Аналогично имеем среднее взвешенное значение энтропии , (21) для которого закон композиции запишется так: . (22) Для двухпараметрической энтропии получим зависимость (23) при законе композиции . (24) Здесь приведены три энтропии (19), (21) и (23), являющиеся квантовыми аналогами известных энтропий Хаврда - Чарват - Дароши [13, 14], Ландсберга - Вергала [15] и Шарма - Миттала [16]. В общем случае для энтропий, удовлетворяющих закону композиции с квадратичной нелинейностью, справедливо соотношение [17] (25) с постоянными коэффициентами и , вытекающее из групповых свойств энтропии. Для законов композиций (20), (22) и (24) имеем значения , и соответственно, и . Значения относятся к квантовому аналогу Реньи. При и с имеют место однопараметрические гиперболическая и тригонометрическая (круговая) энтропии [17] (26) с законами композиций , (27) которые отображаются формулами сложения гиперболических и тригонометрических функций ; (28) . (29) Угол при геометрическом представлении энтропий определяется в глобальном двумерном пространстве с координатами , которые являются безразмерными функциями энтропий. Так для (26) имеем следующие функции энтропии: ; (30) (31) где есть длина радиус-вектора. Отношение функций дает значение безразмерной энтропии для рассматриваемых случаев (30) и (31). Радиус-вектор в прямоугольной системе координат для (26) на плоскости имеет такое значение длины: , (32) что означает гиперболическую и евклидову геометрии. Для энтропии (19) имеем выражения ; (33) , (34) а для энтропии (21) получим ; (35) / (36) Здесь для радиус-вектора в косоугольной системе координат получим из (34) и (36) . (37) Отметим, что при рассматриваемом геометрическом представлении переход от координат (34) и (36) к новым, задаваемым системами уравнений ; (38) , (39) приводит к гиперболической геометрии с известным значением длины радиус-вектора . (40) Поскольку для неэкстенсивных систем энтропии зависят от полунормы распределения (или угла), то они являются взаимосвязанными между собой. В частности, взаимосвязь дается линейными преобразованиями (38) и (39). 2. Равновесное состояние неэкстенсивных систем Запишем среднюю взвешенную энтропию в общем виде зависимости от угла и рассмотрим неэкстенсивную систему в равновесии. Используем экстремальные свойства параметрической энтропии при заданных значениях энергии, числа частиц и числа состояний . (41) Вычислим безусловный экстремум функционала (42) при вариации , где , и - множители Лагранжа. Из условия (43) вытекает равенство , (44) из которого получим нормированное равновесное распределение для каждого -состояния , (45) где , . При получим распределение (15), а для энтропий (26) вытекают распределения ; (46) . (47) Представим распределение (45) в виде , (48) где и введены функции для -состояния системы . (49) Тогда термодинамический потенциал запишется так: . (50) Дифференцируя функцию (49), получим соотношения ; (51) . (52) В итоге учитываем (50) и имеем следующие результаты: ; (53) ; (54) (55) равновесной статистической механики неэкстенсивных систем в случае расширенной парастатис¬тики при общей зависимости энтропии от угла. Заключение Рассматривается расширенная парастатистика квантовых неэкстенсивных систем. Вводятся тригонометрические меры энтропии, зависящие от угла в двумерном пространстве функции энтропии. Даются равновесные распределения. В частных случаях имеют место известные результаты.

Скачать электронную версию публикации