Super time and the Pauly principle.pdf Принцип Паули запрещает двум тождественным фермионам в одном спиновом состоянии находиться в одной точке пространства. На рис. 1 изображена пространственная зависимость корреляционной функции двух таких частиц. Ясно видно существование «обменной дыры» как эффекта «взаимоизбегания» частиц [1]. При этом никакого силового взаимодействия между частицами нет, т.е. корреляционная функция рассчитана без учета их возможных взаимодействий, а исключительно на основе статистики Ферми - Дирака. Рис. 1. Корреляционная функция между положениями и двух фермионов в одном спиновом состоянии Согласно теореме Паули, принадлежность частицы к классу фермионов определяется полу¬целым значением её спина. В развиваемом автором подходе [2, 3] спин-частица определяется метрической и топологической структурой супервремени, на котором она «живет». Поэтому должна существовать связь между внутренней структурой супервремени и её внешним проявлением в виде принципа Паули. Для демонстрации основной идеи механизма возникновения такой связи рассмотрим еще раз простейшую модель - плоское супервремя. Напомним основные моменты построения супервремени и «живущих» на нем фермионов [2]. Введем векторное суперпространство , т.е. рассмотрим множество элементов , называемых супервекторами и образующих аддитивную абелеву группу. Заменим операцию умножения векторов на вещественные числа, которой обладает обычное векторное пространство, операцией умножения на нечетные вещественные суперчисла . Множество супервекторов распадается на два класса: «четные» и «нечетные» супервекторы: , , . Выберем в качестве базисных супервекторов один четный и несколько нечетных . Тогда любой четный супервектор может быть записан в виде , где - четные суперчисла, а - нечетные. Расширенным супервременем называется множество точек, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с супервекторами : . (1) Минимальное расширение называется плоским супервременем, рассмотрением которого мы пока ограничимся. Снабдим метрикой, для чего зададим на нем дифференциальную форму . (2) На определены преобразования, сохраняющие (2). Это трансляции по четному времени (А), и суперпреобразования (В). Вариации компонент супервремени при этом равны: А: В: (3) Введем на плоском супервремени набор суперкоординат, снабженных внешним пространственно-временным лоренцевским индексом : Разлагая суперкоординаты по нечетному времени и учитывая что , получим , где - пространственно-временные координаты частицы в пространстве Минковского; - координаты частицы во внутреннем (спиновом) пространстве. Вариации компонент суперкоординат при преобразованиях (3) имеют вид А: В: (4) Генераторы преобразования (4) имеют вид А: ; В: . (5) Так как группа Лоренца выступает в роли внешней симметрии, то её генераторы (четырехмерные вращения) коммутируют с генераторами (5). Таким образом, мы получаем алгебру суперсимметрии (SUSY), реализованную на языке компонент суперкоординат: , , (6) В качестве действия возьмем выражение Ди Векиа - Равндела [4] для дираковского электрона . (7) Уравнения движения, следующие из (7), тривиальны: Первые интегралы действия (7) известны [2]. Это - энергия, - суперзаряд и - полный момент импульса. Первые интегралы выражаются через компоненты суперкоординат: . (8) Здесь - масса; - спин; - величина суперзаряда частицы. Символ 5 показывает, что отлична от ранее использованных , при квантовании переходит в стандартную дираковскую матрицу . Перейдем теперь к встраиванию в рассматриваемую модель фермиона принципа Паули. Суперпреобразования В из (4), ответственные за суперсимметрию, являются глобальными. Если локализовать эти преобразования, то в соответствии с «компенсационной» трактовкой калибровочных полей должны появиться новые поля, ответственные за согласование калибровок, т.е. поля взаимодействия. Именно так возникают электромагнитное поле при локализации группы в скалярной электродинамике, гравитационное поле при локализации группы Лоренца в тетрадной формулировке и т.д. [5]. По аналогии с действием для супергравитации [6] следует ожидать, что локально-ковариантное обобщение действия (7) будет иметь вид , (9) где вводится два дополнительных поля: поле айнбайна - касательного вектора-репера одномерной геометрии четного времени и поле суперпартнера айнбайна , связанного с нечетной компонентой супервремени . Источником поля является тензор энергии-импульса, т.е. , источником поля - суперзаряд . Прямой проверкой можно убедиться, что (9) не меняется при преобразовании (10) Действие (9) и преобразования (10) совпадают с точностью до «космологического» члена с конструкцией ферми-частицы Полякова [7]. Для введения этого члена в [7] взято еще одно дополнительное поле , которое участвует в преобразовании (10): , и в действие добавлены члены, содержащие это поле. После вычисления континуального интеграла в калибровке получается пропагатор дираковской частицы и, исходя из аналогии с супергравитацией, поле айнбайна называется классическим полем «гравитона», а поле суперпартнера - полем «гравитино». Эти названия условны, поскольку это не те гравитон и гравитино, которые возникают в теории супергравитации, хотя и имеют такую же статистику, т.е. «гравитон» - это бозон, а «гравитино» - фермион. Кванты поля действительно описывают гравитационное взаимодействие и могут быть условно названы гравитонами, а вот их суперпартнеры - кванты поля - обеспечивают обменное взаимодействие и их более естественно было бы называть не гравитино, а «паулино», так как именно они обеспечивают выполнение принципа Паули. Обмен -квантами (паулино) фермионного поля моделирует «силу отталкивания», обеспечивающую «обменную дыру», примерно так же, как обмен виртуальными -квантами (фотонами) моделирует силу кулоновского отталкивания. На феймановских диаграммах для электронов это выглядит так, как показано на рис. 2 и 3. Рис. 2. Электромагнитное вза謬модействие электронов Рис. 3. Обменное взаимодействие электронов Вышеприведенные рассуждения очевидным образом переносятся на другие фундаментальные фермионы: лептоны и кварки. В терминах композитной модели [2] действия для них, имеющие вид , специальным подбором матрицы композиции сводятся к действию (7): , , . Набор паулино для каждой композитной частицы будет свой, что обеспечивает «взаимоизбегание» только для фермионов одного вида. Аналогичные, но более громоздкие вычисления для фермионов с высшими спинами, живущими на расширенном супервремени (1) и имеющими действие [3] показывают, что локализация SUSY на расширенном супервремени порождает свои паулино и, следовательно, обеспечивает выполнение принципа Паули не только для спинорных частиц (s = = 1/2), но и для всех фермионов. Таким образом, принцип Паули оказывается следствием сложной структуры собственного времени фермионов.

Скачать электронную версию публикации