Research on a complete model of cosmological evolution a classical scalar field with a Higgs Potential. I. Model analysi.pdf Введение В ряде последних работ [1-4] одним из авторов было сформулировано предположение о возможности существования так называемых предельных Евклидовых циклов в космологических моделях, основанных как на классических, так и на фантомных скалярных полях. Суть явления Евклидовых циклов заключается в стремлении космологических моделей при определенных параметрах полевой модели к состоянию с нулевой эффективной энергией. При этом пространство-время становится псевдоевклидовым, хотя скалярные поля отличны от нуля и совершают свободные нелинейные колебания. Это предположение было сформулировано на основе анализа большого числа как качественных, так и численных исследований космологических моделей со скалярными полями (см., например, [5-7], кроме цитированных в них работ). Мы не будем в рамках данной статьи приводить обзор работ по космологическим моделям со скалярными полями других авторов, не относящихся непосредственно к существу исследования. Такой достаточно подробный обзор можно найти в [1, 4]. В работах авторов [8, 9] были изучены детали явления Евклидовых циклов, в частности спектр нелинейных колебаний, обнаруживающий черты теплового спектра. Заметим, что все указанные работы основывались на динамических системах, в которых постоянная Хаббла подставлялась из уравнения Эйнштейна , как его неотрицательный корень, что позволяло понизить на единицу размерность динамической системы. Однако в работе [10] было показано, что предположение о неотрицательности может противоречить полной системе динамических уравнений, сформулированной в указанной работе. В [10] было проведено предварительное исследование полной динамической системы, в частности, проведен ее качественный анализ и показано, что динамическая система, основанная на классическом поле Хиггса, в процессе космологической эволюции может переходить из стадии расширения на стадию сжатия. Это совершенно неожиданное свойство исследуемой космологической модели нуждается в дополнительном более детальном исследовании. Кроме того, необходимо более тщательно исследовать фазу перехода модели со стадии расширения на стадию сжатия, когда реализуются нулевые и близкие к нулевым значения постоянной Хаббла и геометрия становится близкой к псевдоевклидовой. Исследованию этих вопросов для космологических моделей, основанных на классическом скалярном поле Хиггса, и посвящена данная работа. 1. Математическая модель 1.1. Базовые отношения Опишем, согласно [10], базовые соотношения математической модели космологической эволюции классического скалярного Хиггсова поля и ее основные свойства. В качестве полевой модели рассмотрим самосогласованную систему уравнений Эйнштейна и классического скалярного поля Ф с потенциалом Хиггса, которому соответствует функция Лагранжа , (1) где - потенциальная энергия скалярного поля: (2) - константа самодействия; - масса скалярных бозонов; - индикатор. Функции Лагранжа (1) соответствует уравнение скалярного поля , (3) где , и тензор энергии-импульса скалярного поля . (4) Далее мы будем опускать постоянный член в потенциале Хиггса (2), приводящий к простому переопределению космологической постоянной , замечая, что при этом космологическая постоянная перенормируется следующим образом: , (5) где - ее невозмущенное, затравочное, значение. Соответствующие уравнения Эйнштейна изучаемой системы имеют вид (6) Уравнения (3) и (6) являются базовыми уравнениями модели. В [10] показано, что в случае пространственно-плоской Вселенной Фридмана полную систему динамических уравнений (3), (4) относительно масштабного фактора и скалярного потенциала можно записать в виде ; (7) ; (8) , (9) где (10) - постоянная Хаббла, (11) - эффективная энергия системы, которая, согласно (8), является неотрицательной величиной - . (12) Подстановка уравнения Эйнштейна (8) в правую часть (9) дает соотношение , (13) согласно которому постоянная Хаббла в данной модели может только уменьшаться со временем, причем . Вводя также инвариантное космологическое ускорение (14) представим уравнение (13) в эквивалентной форме (15) Введем также полезное соотношение для квадратичного инварианта кривизны пространства Фридмана (16) Вводя далее безразмерную временную переменную , безразмерные фундаментальные константы и безразмерные функции (17) перепишем систему базовых уравнений (7) - (9) в нормальном виде относительно переменных : ; (18) ; (19) . (20) При этом выражения для инвариантного космологического ускорения (14) и (15) остаются инвариантными с заменой и производных , а выражение для эффективной энергии (11) преобразуется следующим образом: , . (21) Запишем также в этих обозначениях интегральное условие (8) (22) Заметим, что в принятых обозначениях все переменные и постоянные безразмерны. Итак, исследуемая динамическая система имеет три степени свободы, а ее состояние однозначно определяется координатами точки в 3-мерном фазовом пространстве . При этом области фазового пространства , в которых нарушается энергетическое условие (12), т.е. (23) являются недоступными для динамической системы, вследствие чего фазовое пространство динамической системы может оказаться многосвязным. Заметим, что недоступные области (23), если таковые существуют, являются цилиндрическими с осями, параллельными . Далее, уравнение Эйнштейна (22), являющееся первым интегралом динамической системы - интегралом полной нулевой энергии, в то же время описывает алгебраическую поверхность 4-го порядка в фазовом пространстве динамической системы , на которой лежат все фазовые траектории динамической системы. В дальнейшем в соответствие с [10] будем называть поверхность гиперповерхностью Эйнштейна - Хиггса. 1.2. Особые точки динамической системы Особые точки динамической системы определяются равенством нулю правых частей нормальной системы уравнений. Таким образом, координаты особых точек динамической системы (18) - (20) определяются уравнениями (24) Отсюда в общем случае имеем шесть особых точек системы - две симметричных с нулевым потенциалом и его производной [10]: (25) и четыре симметричных , располагающихся в вершинах прямоугольника в плоскости : . (26) Таким образом, всего возможны пять случаев [10]: 1) при особых точек не существует; 2) при особых точек не существует; 3) при существуют только две особые точки ; 4) при существуют четыре особые точки ; 5) при существуют все шесть особых точек. Вычисляя величину эффективной энергии (21) в особых точках, найдем (27) Итак, из условий (25) и (26) следует: все особые точки динамической системы, если они существуют, доступны. В особых точках собственные значения матрицы динамической системы равны [10]: В парах симметричных точек и собственные значения матрицы динамической системы совпадают. Знаки перед первыми и вторыми радикалами в этих формулах принимают независимые друг от друга значения: знаки перед первыми радикалами соответствуют различным парам точек, знаки перед вторыми радикалами - различным собственным значениям. При этом важно помнить необходимые условия существования особых точек (25) и (26). Таким образом, особые точки при являются неустойчивыми (седловыми) точками, а при - устойчивыми (притягивающими центрами). В этих точках постоянная Хаббла при , а скалярное поле отсутствует. Согласно формулам (21) и (23) инвариантное космологическое ускорение и инвариантная кривизна равны (28) В результате особым точкам соответствуют инфляционные решения с положительной или отрицательной постоянной Хаббла: . При все собственные значения матрицы динамической системы в ее особых точках вещественны и имеют различные знаки. Таким образом, при все особые точки являются седловыми. При и собственные значения динамической матрицы в ее особых точках становятся комплексно сопряженными и среди них есть значения, отвечающие притяжению. 1.3. Асимптотические фазовые траектории Динамическая система уравнений (18) - (20) однозначно задается матрицей динамической системы: , а ее фазовые траектории вблизи особых точек определяются асимптотическими формулами (см., например, [11]) , (29) где - собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы : (30) Для нахождения постоянных необходимо определить начальные условия в какой-либо точке , достаточно близкой к особой точке . На рис. 1 и 2 показаны примеры таких траекторий для фундаментальных параметров . Особые точки обозначены черными точками, начальные точки - звездочками, начало траекторий - круг/сфера, конец - квадрат/куб. Рис. 1. Фазовая траектория динамической системы (18) - (20) (сплошная кривая) и асимптотическая траектория (точки) на плоскости Рис. 2. Фазовые траектории динамической системы (18) - (20) (сплошная кривая) и асимптотическая траектория (точки) в 3-мерном пространстве 2. Гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса 2.1. Топология поверхности и форма сечений Вследствие формулы (13) , поэтому постоянная Хаббла не может возрастать со временем. Возможность же перехода от стадии расширения ( ) к стадии сжатия ( ) определяется топологией гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса. Перепишем уравнение гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса (22) в эквивалентном виде : . (31) Заметим, что согласно (5) . Производя замену , (32) приведем уравнение гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса к виду уравнения центральной поверхности второго порядка в трехмерном пространстве: , причем при ее главной осью является ось , при - ось . При гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса является конусом в переменных . Полагая , приведем уравнение гиперповерхности Эйнштейна -Хиггса к каноническому виду , (33) где . Таким образом, тип поверхности Эйнштейна - Хигсса (33) в переменных определяется знаком : при - это однополостной гиперболоид, при - конус, при - двуполостной гиперболоид. При этом мы должны понимать, что преобразование (32) не является биективным: при обратном преобразовании появляются два корня , в результате чего поверхность 2-го порядка искажается. Наибольшие деформации возникают в области особых точек . В этой области сечение поверхности Эйнштейна - Хиггса может иметь достаточно разнообразные формы, в значительной мере определяющие возможности переходов космологической модели со стадии расширения на стадию сжатия. В частности, сечение (т.е. в плоскости ), в котором лежат особые точки, определяется уравнением , согласно которому возможны следующие формы сечения: ; ; ; , где - точки, - деформированные эллипсы, - «восьмерка». 2.2. Типы гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса и ее сечения Далее, говоря о типах гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса по классификации центральных поверхностей (рис. 3-10), мы по умолчанию будем иметь ввиду прилагательное «деформированная». Рис. 3. Двуполостной гиперболоид: . Главная ось Из этих примеров видно, что топология поверхности на рис. 3 допускает переходы космологической модели от стадии расширения к стадии сжатия , а топология поверхности на рис. 4 - не допускает. Рис. 4. Двуполостной гиперболоид: . Главная ось Рис. 5. Конус: . Главная ось . Показаны точки сечения Рис. 6. Конус: . Главная ось Рис. 7. Однополостной гиперболоид: . Главная ось Рис. 8. Однополостной гиперболоид: . Главная ось Рис. 9. Однополостной гиперболоид: . Главная ось Рис. 10. Однополостной гиперболоид. Главная ось В следующей части статьи мы обсудим результаты численного моделирования представленной космологической модели.

Скачать электронную версию публикации