Massless higher spin supermultiplets with extended supersymmetry.pdf Введение Теория полей высших спинов привлекает значительное внимание, обусловленное возможностями развития новых методов в классической и квантовой теории поля, а также глубокими связями с теорией суперструн и AdS-соответствием. Ожидается, что в рамках теории полей высших спинов удастся развить новые подходы к проблемам объединения фундаментальных взаимодействий и квантовой гравитации (см., например, обзоры [1-3] и ссылки в них). В последнее время растет интерес к изучению суперсимметричных моделей полей высших спинов [4-17]. Предлагаемая работа посвящена решению общей проблемы построения компонентной лагранжевой формулировки для произвольных N-расширенных безмассовых свободных супермультиплетов высших спинов в четырехмерном пространстве анти-де Ситтера (4D AdS). Хорошо известно, что в 4D N-расширенные безмассовые супермультиплеты с максимальным спином ограничены соотношением , а супермультиплеты с максимальным спином - соотношением . Супермультиплеты с должны содержать высшие спины . Если быть более точным, имеется связь между параметром и максимальным значением спина в супермультиплете, (см., например, [18]). В случае суперсимметрии компонентная лагранжева формулировка супермультиплетов высших спинов в пространстве Минковского была построена достаточно давно [19, 20]. В дальнейшем компонентный подход был обобщен и изучен в работах [21-24]. В частности, были найдены суперпреобразования, оставляющие инвариантным сумму лагранжианов для безмассовых полей со спинами и . Лагранжева формулировка вне массовой оболочки для таких моделей была построена в рамках суперполевого подхода [25, 26]. В 4D пространстве AdS свободная лагранжева формулировка для высших суперспинов вне массовой оболочки была развита в работе [27] в суперполевом формализме, где ее компонентная форма была выведена из суперполевой теории. Квантование этой теории было проведено в работе [28]. Для суперсимметричные модели высших спинов как в пространстве Минковского, так и в пространстве AdS обсуждались в работе [29], универсальный суперполевой подход к полям высших спинов в суперпространстве 4D, AdS был развит в работе [30]. Недавно суперполевая лагранжева реализация на массовой оболочке была построена для безмассовых супермультиплетов в рамках калибровки светового конуса [16]. Расширение этого подхода для N-расширенных супермультиплетов было дано в [17] при условии, что , где - натуральное число. В данной работе мы выводим компонентную лагранжеву формулировку для произвольных N-расширенных безмассовых супермультиплетов высших спинов на массовой оболочке в 4D пространстве AdS. Наше исследование основано на тетрадо-подобном подходе для полей высших спинов, который обобщает тетрадную формулировку гравитации. Лагранжево описание для свободных бозонных и фермионных полей высших спинов в этом подходе было развито в [31]. Мы выводим суперпреобразования для N-расширенных безмассовых супермультиплетов высших спинов, которые оставляют систему свободных лагранжианов с целыми и полуцелыми спинами инвариантной, и показываем, что алгебра этих суперпреобразований замыкается на массовой оболочке. В п. 1 описаны основные элементы тетрадо-подобной лагранжевой формулировки для безмассовых полей высших спинов в 4D AdS-пространстве и техника 4D мультиспиноров. В п. 2 представлены минимальные безмассовые -супермультиплеты [14], которые будут использованы как блоки для построения N-расширенных супермультиплетов. Пункт 3 посвящен построению произвольных N-расширенных безмассовых супермультиплетов высших спинов в 4D AdS-пространстве. В Заключении сформулированы основные результаты работы. 1. Свободные поля высших спинов В тетрадо-подобном подходе безмассовые поля с целым спином описываются с помощью динамической 1-формы и вспомогательной 1-формы , (см. все обозначения в работе [32]). Эти поля полностью симметричны относительно точечных и неточечных индексов и обобщают тетраду и лоренцевскую связность в тетрадной формулировке гравитации. Выберем их вещественными, т.е. потребуем, чтобы они удовлетворяли следующим правилам эрмитова сопряжения Лагранжиан, являющийся дифференциальной 4-формой в 4D AdS-пространстве, записывается в виде (1) Здесь 1-форма - фоновая AdS-тетрада; D является AdS-ковариантной производной ; и - двойное произведение (см. детали в [32]). Вид лагранжиана (1) определяется инвариантностью относительно калибровочных преобразований Замечательное свойство тетрадо-подобной формулировки - это возможность построить калибровочно-инвариантные объекты, обобщающие кривизну и кручение в теории гравитации: Чтобы упростить построение супермультиплетов, мы не вводим какие-либо суперпреобразования для вспомогательных полей . Вместо этого все вычисления сделаны с точностью до членов, пропорциональных уравнениям движения для вспомогательных полей. По сути, это эквивалентно «условию нулевого кручения»: (2) Что касается суперпреобразований для динамических полей , соответствующая вариация лагранжиана может быть компактно записана следующим образом: Теперь перейдем к безмассовым полям с полуцелым спином , которые описываются с помощью 1-формы , . Чтобы быть майорановскими спинорами, эти поля должны удовлетворять условию вещественности Соответствующий лагранжиан имеет вид (3) Можно показать, что данный лагранжиан инвариантен относительно калибровочных преобразований где . Отметим, что проведенное рассмотрение не фиксирует знак . Как и в случае целого спина, можно построить калибровочно-инвариантные кривизны, которые в данном случае имеют вид Прямые вычисления показывают, что вариация лагранжиана (3) может быть записана следующим образом: Как в бозонном, так и в фермионном случае вариация лагранжиана свободных полей высших спинов полностью выражается в геометрических объектах. 2. Минимальные N = 1 супермультиплеты В этом разделе представлены минимальные безмассовые супермультиплеты высших спинов в 4D AdS-пространстве. В следующем пункте они будут играть роль строительных блоков для расширенных супермультиплетов. Супермультиплет содержит два безмассовых поля, одно со спином и другое со спином . Они описываются полями и соответственно. Суперпреобразования, связывающие эти поля, записываются в виде где - некоторые комплексные параметры, и параметры суперпреобразований удовлетворяют условию (4) Отметим, что здесь и далее мы не вводим какие-либо суперпреобразования для вспомогательного поля , так как вычисления проводятся с точностью до уравнений движения для этого поля (2). Инвариантность лагранжиана относительно суперпреобразований, , ведет к ограничениям на коэффициенты Оставшийся свободный параметр может быть либо чисто вещественным, либо чисто мнимым. В пространстве AdS это связывает знак массо-подобного члена для фермионного поля и четность бозонного поля. Два случая соответствуют разным безмассовым супермультиплетам с четным/нечетным бозоном. Чтобы окончательно зафиксировать параметр вычислим коммутатор двух суперпреобразований на бозонном поле (5) где , (6) Видно, что коммутатор этих суперпреобразований есть комбинация трансляции с параметром и лоренцевского вращения с параметрами . Это означает, что два соответствующих суперзаряда , удовлетворяют коммутационным соотношениям AdS-супералгебры где - AdS-генераторы. Супермультиплет содержит безмассовые поля с целым спином и полуцелым спином . Соответствующие поля есть и Суперпреобразования с точностью до уравнений движения для вспомогательного поля (2) записываются в виде Условие инвариантности лагранжиана относительно этих преобразований, , дает Опять свободный параметр может быть либо вещественным, либо чисто мнимым. Это соответствует двум разным безмассовым супермультиплетам с четным/нечетным бозоном. Вычисляя коммутатор двух суперпреобразований и требуя выполнения алгебры (5), мы фиксируем 3. N-расширенные супермультиплеты В этом пункте рассматриваются безмассовые N-расширенные супермультиплеты высших спинов в пространстве 4D AdS. Как было отмечено во Введении, для данного максимального целого или полуцелого спина в супермультиплете параметр удовлетворяет условию . Для каждого данного спина мы описываем состав полей в супермультиплете и вводим соответствующие полевые переменные. Затем мы находим суперпреобразования и определяем лагранжиан как сумму лагранжианов для всех полей с целыми и полуцелыми спинами в супермультиплете. Показано, что такой лагранжиан инвариантен относительно введенных суперпреобразований. Далее установлено, что построенные суперпреобразования формируют замкнутую N-расширенную 4D AdS-супералгебру. Мы ограничимся рассмотрением случая , тогда расширенный супермультиплет содержит безмассовые поля со следующими спинами: где k - произвольное целое или полуцелое число. Это обстоятельство компактно запишем так: Количество безмассовых полей с данным спином равняется . Легко заметить, что минимальный спин в граничном случае равен . Так, все безмассовые поля, входящие в супермультиплет, единым образом описаны в п. 1. Введем бозонные и фермионные полевые переменные. Здесь первый нижний индекс обозначает спин поля, компактный индекс - антисимметричную комбинацию индексов и соответствует антисимметричному представлению группы внутренней симметрии . Если максимальный спин является целым, то принимает четные значения для бозонных полей и нечетные значения для фермионных. В случае максимального полуцелого спина ситуация обратная, т.е. принимает четные значения для фермионов и нечетные для бозонов. Общий анзац для линейных суперпреобразований выбирается в следующем виде с набором произвольных комплексных коэффициентов (7) (8) Здесь - параметры расширенных суперпреобразований, удовлетворяющие соотношениям (4). Лагранжиан определен как где есть лагранжиан для свободного поля со спином . Инвариантность лагранжиана относительно этих суперпреобразований ведет к ограничению на произвольные коэффициенты, входящие в (7) и (8): В этих соотношениях или для всех в зависимости от четности соответствующих бозонных полей. Остаются два семейства свободных параметров и . Чтобы связать их друг с другом, мы потребуем замыкание алгебры суперпреобразований (7), (8). Это дает соотношение (9) Вычисление коммутатора для двух суперпреобразований (7) ведет к следующему результату: (10) где (11) (12) Можно показать, что правая часть коммутатора (10) представляет собой комбинацию трансляции, лоренцевского вращения и внутренних -преобразований с параметрами , и соответственно. Из (9), (10) имеется ограничение на параметры Вид коммутаторов выше показывает, что суперзаряды , , соответствующие суперпреобразованиям (7), (8), удовлетворяют коммутационным соотношениям расширенной AdS-супералгебры на массовой оболочке (13) где - генераторы AdS, а являются генераторами группы внутренней симметрии . Заключение Сформулируем кратко основные результаты работы. Построены полевые реализации произвольных N-расширенных безмассовых супермультиплетов в четырехмерном пространстве анти- де Ситтера. Для произвольного поля с максимальным целым или полуцелым спином , входящим в супермультиплет, реализована суперсимметричная компонентная лагранжева формулировка для случаев, когда . Найдены соответствующие суперпреобразования и показано, что они формируют замкнутую на массовой оболочке супералгебру и оставляют инвариантным лагранжиан. Показано, что коммутаторы двух суперпреобразований формируют N-расширенную AdS-супералгебру, и именно они являются комбинацией трансляции, лоренцевского вращения и внутренних -преобразований. Для выхода за рамки рассмотренных случаев, когда , необходимо включить в супермультиплет также безмассовые поля с низшими спинами. Например, в случае достаточно добавить безмассовый спин 1, а в случае и следует добавить безмассовые поля со спином и набор комплексных полей для безмассового спина 0. Явная реализация для таких супермультиплетов требует отдельного рассмотрения (см. [32]). Авторы признательны С.М. Кузенко за комментарии и Ю.М. Зиновьеву за обсуждения.

Скачать электронную версию публикации