Anticanonical transformations and Grand Jacobian.pdf Введение БВ-формализм (или формализм полей - антиполей) [1, 2] является мощным методом ковариантного квантования, который может быть применен к произвольным калибровочно инвариантным системам. Этот метод основан на фундаментальной концепции глобальной суперсимметрии, известной как БРСТ-симметрия [3, 4]. Одним из наиболее важных объектов формализма полей - антиполей является нечетная симплектическая структура, известная математикам как скобка Бьютен [5]. В терминах антискобки формулируются классическое мастер-уравнение и тождества Уорда для производящего функционала вершинных функций (эффективное действие). Важным свойством является то, что антискобка сохраняется относительно антиканонических преобразований, которые являются дуальными по отношению к каноническим преобразованиям для скобки Пуассона. Важная роль и богатые геометрические возможности общих антиканонических преобразований были реализованы в формализме полей - антиполей в процедуре фиксации калибровок [6]. Оригинальная процедура фиксации калибровок [1, 2] фактически соответствует специальному типу антиканонического преобразования в действии, являющегося собственным решением квантового мастер-уравнения. Антиканонические преобразования играют ключевую роль в описании структуры перенормировок и калибровочной зависимости эффективного действия в калибровочных теориях общего вида [6]. Другим важным применением является изучение произвола в решениях как классического мастер-уравнения [7], так и квантового мастер-уравнения [8, 9], когда главный якобиан антиканонических преобразований выступает существенной частью полного квантового действия. Главный якобиан обладает интересным свойством, известным как свойство факторизации, позволяющим выразить его в виде супердетерминанта суперматрицы в секторе только антиканонически преобразованных полей. Другая возможность связана с использованием в этом представлении супердетерминанта суперматрицы в секторе только антиканонически преобразованных антиполей. Эти свойства главного якобиана были известны, по крайней мере, с работы [10], хотя доказательство в ней не было приведено (см. также [11]). Позднее мы заполнили этот пропуск, доказав свойство факторизации главного якобиана с помощью решения уравнения Ли для одно-параметрического семейства антисимплектических переменных, подвергнутых антиканоническим преобразованиям [9]. В данной работе приводится простое доказательство свойства факторизации главного якобиана, соответствующего антиканоническим преобразованиям в формализме полей - антиполей [1, 2], основанное только на использовании алгебраических свойств антиканонических преобразований. Используем конденсированные обозначения Де Витта [12]. Применяем обозначение для грассмановской четности любой величины . Функциональные производные по полям и антиполям понимаются как левые. Правые функциональные производные помечаются специальным символом « ». Антиканонические преобразования Мы продолжим изложение с использованием антисимплектических координат Дарбу в форме явного разделения на поля и антиполя , (1) Для любых функционалов , антискобка определяется по правилу (2) так что (3) где являются элементами постоянной обратимой антисимплектической метрики со следующей блочной структурой: (4) и свойством антисимметрии (5) В терминах антискобка переписывается в виде (6) Пусть , , будет генератором антиканонического преобразования, (7) Любое антиканоническое преобразование сохраняет антискобку, (8) где , рассматриваются как функции , , найденные из уравнений (2). Условие разрешимости для антиканонического преобразования приводит к следующим соотношениям: (9) Пусть являются элементами суперматрицы антиканонического преобразования (7): (10) (11) Здесь используются обозначения ; (12) (13) Величины в (12) и (13) имеют следующее распределение грассмановских четностей: ; (14) (15) В терминах антиканонического преобразования мы имеем (16) (17) или, используя обозначения , (18) в краткой записи как (19) Введем суперматрицу с элементами как (20) (21) где величины (22) (23) обладают следующим распределением грассмановских четностей: (24) (25) В терминах антиканонического преобразования мы имеем (26) (27) где является суперматрицей, транспонированной к (18), (28) (29) Из первых соотношений в (9) и (11), (21) имеем (30) (31) Из первых соотношений в (31) и (27) выводим уравнение (32) и, следовательно, имеет место представление для в виде (33) Из вторых соотношений в (30) и (31) следует, что (34) В свою очередь из вторых соотношений в (9) и (11), (21) имеем (35) (36) Из вторых соотношений в (19) и (35) следует (37) Используя это соотношение из первого уравнения в (35) и второго уравнения в (36), выводим (38) и представление для и в виде (39) Рассмотрим теперь (40) Окончательно мы получаем соотношения (41) играющие ключевую роль в доказательстве свойства факторизации главного якобиана. Главный якобиан Пусть является главным якобианом антиканонического преобразования (3), который выражается через супердетерминант суперматрицы (10), (42) Известно [12], что супердетерминант может быть записан через супердетерминанты его суперблоков в (11) как (43) В силу соотношения (34) , так что, принимая во внимание (41), выводим равенство (44) Заметим, что равенство (45) справедливо для любой суперматрицы : (46) Следовательно, устанавливаем равенство (47) известное в формализме полей - антиполей как факторизация главного якобиана, соответствующего антиканоническим преобразованиям. Заметим, что существует также возможность выразить свойство факторизации главного якобиана в терминах суперматрицы . Действительно, используем представление для в следующей форме [13]: (48) Принимая во внимание, что (49) получаем ; (50) (51) - второе представление свойства факторизации главного якобиана.

Скачать электронную версию публикации