Average numbers of atoms in the system with their constant number and with possibility of probabilistic transitions betw.pdf Введение Как известно, постановка и решение ряда важнейших проблем математики с созданием и развитием соответствующих ее областей были инициированы потребностями физики вообще и теоретической физики в частности. В качестве примеров можно привести: а) формулировку И. Ньютоном основ дифференциального и интегрального исчисления как аппарата для решения задач классической механики, описываемых дифференциальными уравнениями (2-й закон Ньютона); б) метод континуального интегрирования, предложенный Р. Фейнманом для решения задач квантовой электродинамики. В последнее время появились экспериментальные данные [1-4] по получению систем атомов, находящихся в состояниях с парами пространственных размерностей (которые обозначаем далее в некоторых случаях для простоты и удобства изложения символами , , ), их электронных структур либо со значениями : , либо , т.е., во всяком случае, в двух принципиально различных состояниях. На очереди - получение систем атомов в состояниях с присутствием пространственных размерностей : , т.е. находящихся в трех различных состояниях. Это означает, что если система атомов находится в состоянии c постоянным средним числом атомов (или ), то, согласно основным положениям квантовой механики [5], существуют определенные вероятности -перехода атомов из состояния с одной из пространственных размерностей в состояние с другой размерностью , . При этом естественным образом возникает вопрос о вычислении возможных значений этих вероятностей (или связей между ними), а также средних чисел атомов в состояниях с пространственными размерностями , при неизменном общем числе атомов , что является чисто математической проблемой с возможным дополнением и развитием соответствующих областей математики (в частности, теории вероятностей и комбинаторики). 1. Постановка задачи В связи с вышеизложенным имеет смысл следующая, более общая постановка задачи. 1) Имеется система из тождественных объектов (например, атомов). 2) Каждый из них может находиться в одном из состояний, которым можно присвоить «номера (№)» . 3) По определению, существуют вероятности -перехода атомов из состояния «с № » в состояние «с № ». 4) Как следствие, возможны «двойные тождественные переходы» без изменения «начального» и с «промежуточным» состоянием (и с последующим переходом ). Очевидно, они происходят с вероятностью , , причем возможно и значение . Требуется: 1. Вычислить либо сами эти вероятности в функции от , либо найти уравнения, их связывающие. 2. Найти средние числа объектов в состояниях «с № », а также максимально и минимально возможные их значения и в функции от . В применении к упомянутой выше системе атомов, которую далее для конкретики и будем иметь в виду, (хотя полученные в работе результаты справедливы для системы любых объектов в предположении наличия допущений 1-4 и подлежащих определению величин 1, 2, а значения номеров состояний могут быть выбраны совпадающими с размерностью пространства , т.е. . Формально решение этой задачи, когда состояние атома определяется его пространственной размерностью, можно распространить и на значения с максимальной размерностью пространства . Например, существуют теории (см. [6]), в которых истинная размерность пространства Вселенной совсем необязательно равна трем, она может быть равна в простейшем варианте и четырем «с нашим» пространством в качестве подпространства («трехмерной поверхности», «ограничивающей» четырехмерное пространство этой Вселенной). Кроме того, такие значения и соответственно имеют место в теории струн и суперструн [6, 7], а также представляют и несомненный «академический» интерес с упомянутой выше необходимостью математического решения поставленной задачи. Заметим также, что значения ( ) могли иметь место и на ранних этапах эволюции Вселенной - так называемой «hidden dimensions» [6]. Простейший вариант применительно к экспериментально полученной пространственной конфигурации атомов ( ) (или ( )), а также вариант ( ) был рассмотрен в работах [8, 9]. Поскольку общий случай при нашей постановке задачи, как будет видно, в математическом отношении сводится к варианту , то далее мы будем использовать некоторые результаты [8, 9], а также предварительно в п. 2 представим обобщение исходных выражений [8, 9], применимое к более общему варианту , который и является предметом обсуждения в данной работе. 2. Общие вероятностные соотношения при наличии возможных состояний в системе тождественных объектов Применительно к состояниям атомов, отличающимся размерностью пространства, значения являются экзотическими, хотя, как упоминалось в п. 1, и существуют модели теории поля (струны и суперструны [6, 7]), в которых возможны эти значения размерности пространства. Во всяком случае, данный вариант интересен «с чисто академической» точки зрения. Исходим из выражения для среднего числа атомов в состоянии в функции от их чисел в остальных состояниях, получающегося обобщением соответствующих формул (10), (11), (12а), (12б), (13), (13а) работы [8] и (1), (2а), (2б) работы [9]: , (1) , (1а) , (1б) причем с учетом упомянутых в 4) п. 1 всех возможных тождественных преобразований имеем по определению . (2) В выражении (1) , как и в 3) п. 1, есть вероятность перехода из состояния в состояние ; первое слагаемое в (1б) соответствует «простым» переходам без учета вклада «промежуточных тождественных преобразований» (см. также по этому поводу [8, 9]), второе - cуммарному вкладу различных «промежуточных состояний» «с номерами ( )» с общей вероятностью («теорема о сложении вероятностей»), и с «промежуточными» состояниями «типа » (включая и значение в соответствии с введенным в п. 1 обозначением), а третье в рамках «теоремы об умножении вероятностей» учитывает вклад «смешанных промежуточных» состояний с различными «номерами ( )». При число «промежуточных» состояний с различными равно двум [8, 9] и в выражении (1б) существует вклад комбинаций величин с различными до квадратичных включительно, когда третье слагаемое в (1б) имеет вид . В случае же последнее слагаемое в (1б) соответствует вкладам кубичных (или более) комбинаций . Поскольку же, как будет видно из п. 3, , то ими, как и вкладами квадратичных в случае , с достаточной для наших целей точностью можно пренебречь, так что выражение (1б) в обоих случаях фактически сводится к виду . В этом смысле вариант аналогичен варианту . Это и будет использовано нами в п. 3 со сведением в математическом отношении варианта к варианту , рассмотренному в работах [8, 9]. Тем не менее, квадратичные при комбинации, как и в [8, 9], далее в некоторых случаях нами все же будут учитываться и в общем случае для гарантии точности расчетов (см. последнее слагаемое в (8б)), хотя их вклад и является малым по сравнению со вторым слагаемым в приведенном выше выражении . 3. Максимальное значение для некоторого при числе состояний и минимальное - . Аналитический и численный расчет Как и в [8, 9], при анализе общих выражений (1), (1б) ограничимся нахождением максимального «предельного» значения для некоторых ( ) ( ). При этом, очевидно, надо положить (см. также [8, 9]) (3) для любых . Введем также для удобства обозначения , (4а) для всех , а также (4б) независимо от значений . В соответствии с (3) и определением параметров , (4а), (4б) при суммировании по i в правой части уравнения (1) можно выделить три группы переходов (т.е. и соответствующих состояний), которые отвечают принципиально различным вероятностям: I) ; , ; II) ; ( ); III) ; , . При этом символы I, III «номеров групп» соответствуют обозначениям состояний с пространственными размерностями в работах [8, 9] в варианте . Средние числа атомов в каждом состоянии, относящемся к данной группе «с номерами », одинаковы и равны (по техническим причинам и для удобства эти «номера групп» в индексе , а также в индексе среднего числа атомов в группе обозначаем в последующем не римскими, а арабскими цифрами). Это, а также соотношения (3), (4а), (4б) вытекают из того, что по отношению к «выделенному» указанным выше способом состоянию «с номером » все остальные состояния каждой группы абсолютно равноправны. Как можно видеть, при ограничениях на значения индексов в уравнении (1) и в определениях групп I, III число этих значений (и число состояний в группах) равно , так что для этих групп (а также и для группы II) . (5) При таком разбиении на группы и в обсуждаемой ситуации в частном случае [8, 9], как выше уже замечено, группа I соответствует состояниям с в работах [8, 9] c минимальным средним числом атомов (в этом варианте при (или ), (или )), а группа III - состоянию с с максимальным (здесь (или ), (или )), так что в обеих группах при и при данных индекс принимает всего одно значение, равное числу состояний в данной группе, и ( ) в соответствии с общей формулой (5). Аналогично в группе II в этом же случае при и (или ), (или ) с тем же выводом. Если состояние в (1) относится к группе «с номером », то в правой части этого уравнения при суммировании по следует оставить вклады только двух остальных групп, так как переходы между состояниями одной группы отсутствуют в силу отмеченной выше идентичности этих состояний в нашем подходе, так что в итоге получим систему трех уравнений, которая в используемых в данной работе обозначениях формально получается из системы (14а) - (14в) работы [8] перестановкой индексов в и заменой : , (6а) , (6б) , (6в) причем, очевидно, как и в [8], . (6г) Отметим, что вместо системы вида (6а) - (6в) может иметь место вытекающая из представления (1) более общая система при отсутствии ограничения (3), т.е. в том числе без «выделенного» состояния в исходных более общих группах . Разбиение же на группы нами сделано независимо от этих «изначальных» более общих групп, когда оно обусловлено введенными обозначениями (3), (4а), (4б). Это и приводит к симметрии состояний в группах I, II с фактической идентичностью этих групп, как и состояний с пространственной размерностью в случае [8, 9]. Этим обстоятельством и обусловлен приводимый ниже вид функций , (8а), (8б), которые при совпадают с такими же функциями в работе [8]. Вид же коэффициентов формально совпадает с формулами (24), (27) работы [8] с указанной перестановкой индексов , , , (7) и теперь с обобщением (8а), (8б) вида функций , (это формулы (25а), (25б) в [8]) для случая на значения c учетом равенства вкладов отдельных слагаемых и сомножителей, относящихся к одной группе, в выражениях (1), (1б): , (8а) . (8б) Как и указывалось в конце п. 2, результаты численных расчетов практически не меняются, если в выражении (8б) пренебречь вкладом последнего слагаемого (в выражении (8а) оно вообще отсутствует по указанным и в [8] причинам). Поскольку уравнения (6a) - (6г) совершенно аналогичны соответствующим уравнениям (14а) - (14в), (15) работы [8] (c упомянутой выше и несущественной в рассматриваемом аспекте перестановкой индексов в коэффициентах ) и описывающим переходы между различными состояниями с их общим числом , то, как уже отмечалось в конце п. 2, мы сводим общую задачу с наличием произвольного числа состояний в системе атомов к более простой и решенной в работе [8] задаче с наличием трех состояний, когда . Значения в соответствии с этой связью между случаями и задаются формулами (16а), (16б), (18а), (18б), (20а), (20б) работы [8] с заменой в них и перестановкой индексов в величинах в этих формулах. Значения же , определяются тогда формулами (35а), (35б) работы [8] с видом , (8а), (8б). При повторении аналогичных работе [8] рассуждений величины и получаются из формул (35а), (35б) и в наших обозначениях - заменой . Таким образом , имеем , (9) Рис. 1. Зависимость решений системы уравнений (30), (31) [8] от дискретного параметра и с функциями (8а), (8б) настоящей работы. Физический смысл имеют только участки графиков 3-9 со значениями (8а), (8б). При этом система уравнений для нахождения значений та же, что и в работе [8] : формулы (30), (31) этой работы и с теми же значениями , (8а), (8б). Как и в работе [8], следует рассмотреть два варианта решения этой системы. 1. В варианте 1, когда , численный расчет физических ( ) значений и функций приводит к значениям величин (4а), (4б); (8а), (8б) в табл. 1 в зависимости от дискретного параметра и с графической иллюстрацией этой зависимости на рис. 1. При этом, как и в [8], в рамках применимости метода должно выполняться условие , которое следует из очевидного ограничения на значение вероятности переходов с учетом только вклада «промежуточных состояний» - это 2, 3, 4-е слагаемые в квадратных скобках формул (12а), (12б) работы [8], или, в более общем случае, 2, 3-е в (1б). Как видно из табл. 1, этому условию удовлетворяют только значения в интервале . Таблица 1 Обозна-чения NS 3 4 5 6 7 8 9 10 ● x 0.215 0.176 0.153 0.138 0.126 0.117 0.110 0.104 ■ y 0.206 0.169 0.147 0.132 0.121 0.112 0.105 0.100 f 1.27 1.43 1.54 1.64 1.72 1.80 1.86 1.93 F 1.33 1.49 1.61 1.71 1.80 1.87 1.94 2.01 2. В варианте 2, подробно изученном в [9], с системой уравнений (34а), (34б) [8] (или (17а), (17б) [9]) для случая оказывается возможным и аналитический расчет соответствующего значения и величин . Именно уравнения (34а), (34б) [8] в этом случае сводятся к одному: . (10) При этом значения в функции от , как это следует из (8а), (8б), равны: . (11) Подставляя (11) в уравнение (10), приходим к кубичному уравнению, определяющему возможные значения в функции от , (12) с совпадением при его решения с решением (18а) получающегося квадратного уравнения в работе [9]. Аналогично в случае из формул (34а), (34б) работы [8] имеем и с учетом соответствующих значений , , , (13) приходим к кубичному уравнению для определения в функции от , (14) решение которого при опять совпадает с приведенным в работе [9] решением (18б) получающегося квадратного уравнения. Результат численного расчета значений , , являющихся решениями этих кубичных уравнений в физической области , и в зависимости от дискретного параметра , представлен в табл. 2 с графической иллюстрацией на рис. 2. Причем они могут быть и точными, например, при это относится к значениям , как к решениям квадратных в этом случае уравнений или при к значению , а при - к значению как к физическим решениям кубичных уравнений. Таблица 2 NS 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2-√3 ≈ 0.2679 0.212 0.181 0.161 0.146 0.134 1/8 = 0.125 0.117 y (√5-1)/2 ≈ 0.618 0.544 1/2 = 0.500 0.470 0.446 0.427 0.412 0.398 Как и в варианте 1, для физических значений должно выполняться соотношение . Однако из вида функции (8б) следует, что при достаточно больших значениях это условие, как и для значения в варианте 1, может и не выполняться; при этом из (11), (13) получаем следующие ограничения на применимость нашего метода вычислений в рассматриваемом варианте 2: Рис. 2. Зависимость величин , задаваемых кубичными уравнениями (12), (14), от дискретного параметра в соответствии с данными табл. 2 , (15а) . (15б) Таким образом, решения уравнений (12), (14) имеют физический смысл только при таких значениях , т.е. при значениях для решения уравнения (12) и при - для (14); при этом для значений точные аналитические решения уравнений (12), (14) есть и с «предельными» значениями , получаемыми из (11), (13); для остальных «физических» в рамках метода значений в табл. 2 приведены приближенные решения уравнений. Точные аналитические решения уравнений (12), (14) в физическом ( ) диапазоне для остальных значений , и, тем более, для произвольных , например, по формулам Кардано [10], оказываются слишком громоздкими, и нет смысла их приводить. Исключение составляет случай со значениями , совпадающими, естественно, с результатами работы [9], и упомянутые экзотические варианты с приведенным выше решением уравнений (12), (14): , . Возможно, это последнее обстоятельство и имеет какой-либо физический смысл, связанный с допустимым наличием экзотических пространств с такой размерностью, например, в теории струн и суперструн [6, 7], но для нас это пока осталось неясным. Заметим также, что в этих случаях варианта 2 равна единице не только вероятность простых переходов (3), а также и вероятность переходов с учетом вклада только «промежуточных состояний» [8], так что , как выше и установлено. 4. Определение минимальных и максимальных чисел атомов В соответствии с формулами (5), (9) имеем для относительного среднего минимального и максимального числа атомов в каждом состоянии групп I, II; III: , . (16) При этом в указанном выше варианте 1 значения ; в функции от , которые приведены в табл. 1 и на рис. 1, определяют зависимость величин , (16) от дискретного параметра , отображенную в табл. 3 и на рис. 3 с установленными ранее и имеющими физический смысл значениями в диапазоне . Таблица 3 NS 3 4 5 6 7 8 9 10 Emin Emax В соответствии с принятым в данной работе разбиением на группы, при значения и в табл. 3 в рамках точности численного расчета практически совпадают со значениями, даваемыми формулами (36а), (36б) работы [8], как и должно быть. Это же соответствие в рассмотренных ниже случаях варианта 2 и опять же практически точно имеет место между данными табл. 4, 5 и формулами (19а), (19б) другой нашей работы [9]. Рис. 3. Зависимость (16) от дискретного параметра по данным табл. 3. Физический смысл имеют только участки графиков 3-9 В варианте 2, определяемом кубичными уравнениями (12), (14), и со значениями (11), (13) зависимость величин , от (и опять в физическом диапазоне значений ) отображена в табл. 4, 5 и на рис. 4, 5 соответственно. При этом значения , для в уравнении (12) и для в уравнении (14) являются точными, что опять-таки указывает на отмеченную выше особенность пространств с такой размерностью в нашем подходе к проблеме. Заметим, что в перспективе возможно обобщение наших результатов, если в (3) положить с заданием значений , для варианта 2 в параметрической форме аналогично тому, как это было сделано в нашей работе [11], а величины , , как и в [11], будут находиться в однозначном соответствии. Такое же обобщение возможно и в рамках численного расчета по варианту 1, когда модифицированные для случая уравнения (32а), (32б) [8] в неявной форме будут определять зависимость , т.е. и , . При этом найденные в данной работе значения , будут получаться в частном случае . Таблица 4 NS 3 4 5 6 7 8 9 10 Emin (√3-1)/2√3 = 0.211 0.099 0.063 0.045 0.035 0.028 1/42 = 0.024 0.020 Emax 1/√3 = 0.577 0.303 0.208 0.160 0.130 0.110 2/21 = 0.095 0.084 Таблица 5 NS 3 4 5 6 7 8 9 10 Emin 1/(3+√5) = 0.191 0.088 1/18 = 0.056 0.040 0.031 0.025 0.021 0.018 Emax (1+√5)/(3+√5) = 0.618 0.324 2/9 = 0.222 0.170 0.138 0.117 0.101 0.089 Рис. 5. Зависимость (16) от дискретного параметра по данным табл. 5. Физический смысл имеют только участки графиков 3-5 Рис. 4. Зависимость (16) от дискретного параметра по данным табл. 4. Физический смысл имеют только участки графиков 3-9 Заключение Из вышеизложенного следует, что данные табл. 3, 4 и 5 в физическом для всех вариантов диапазоне значений дают достаточно близкие значения или при данном (различие составляет несколько процентов). Это же относится и к данным табл. 3 и 4 в физическом для них диапазоне значений . Иначе говоря, поставленная в п. 1 задача определения минимального и максимального числа атомов в состояниях «с номерами » с учетом в том числе и результатов работы [8] для случая наличия только пространственных размерностей нами решена. Причем для данного значения из указанных физических их наборов результат практически не зависит от способа решения основных алгебраических уравнений (30), (31) работы [8] (эти уравнения, как отмечалось, справедливы и для общего случая со значениями функций (8а), (8б)).

Скачать электронную версию публикации