Kink-type solution for one modification of the regularized long waveequation.pdf Регуляризованное уравнение длинных волн (RLW) записывается в виде , (1) где , ,  - положительные константы, и т.п. Оно было построено в качестве альтернативы уравнению Кортевега - де Фриза [1, 2] и позволяет описывать нелинейные среды в более широком динамическом диапазоне. Уравнение (1) применяется при описании физических явлений в средах со слабой нелинейностью и дисперсией волн, включая поперечные волны на мелкой воде, ионно-акустические волны в плазме, магнитогидродинамические волны в холодной плазме, упругие среды, оптические волокна, акустические волны в ангармонических кристаллах и т.д. Математическая теория длинных волн в дисперсионных средах, в том числе в водных каналах, подробно изучена в работах [3, 4]. Уравнение RLW обладает решениями типа солитонов. Проблема, однако, заключается в том, что построить аналитическое решение удается только для очень ограниченного набора начальных и граничных условий, а также коэффициентов уравнения. Аналитическое выражение в явном виде получено только для односолитонного решения [5]. Поэтому обычно основное внимание уделяется численным методам, при помощи которых на начальном этапе исследований и было показано существование солитонного и двухсолитонного решений уравнения RLW [6, 7]. Наряду с уравнением RLW используется более общее уравнение, так называемое обобщенное регуляризованное уравнение длинных волн (GRLW). Это уравнение не получило, однако, широкого распространения, поскольку, во-первых, оно допускает высокие порядки нелинейности, а во-вторых, устойчивость его решений зависит от скорости их распространения [8]. Большее внимание привлекает введенное в работе [7] модифицированное регуляризованное уравнение длинных волн (mRLW). Это уравнение можно записать следующим образом , (2) где - вещественная функция, такая, что солитон определяется соотношением . Используя прямой метод Хироты решения нелинейных уравнений в частных производных [9], для уравнения (2) можно явно построить решения в виде одиночного солитона и связанного состояния двух солитонов. При этом дисперсионное соотношение имеет вид . В то же время трехсолитонное решение этого уравнения в аналитической форме получить не удается, хотя численные исследования указывают на его наличие. Возможны и другие модификации регуляризованного уравнения длинных волн. В частности, представляет интерес такая модификация этого уравнения, в результате которой изменится характер решения и вместо солитона появится решение, имеющее вид кинка. В этом случае уравнение записывается в виде . (3) Последнее слагаемое в этом уравнении учитывает взаимодействие процессов дисперсии и диссипации и, кроме того, оно само по себе является нелинейным. При помощи метода Хироты удается построить решение уравнения (3) типа кинка. Это решение можно записать в следующем виде: , (4) где дисперсионное соотношение записывается как . В том, что соотношение (4) является решением уравнения (3), можно убедиться непосредственной подстановкой. Параметр решения описывает положение кинка в начальный момент времени и, без потери общности, может быть принят равным нулю. Параметры решения и удается вычислить точно: ; удовлетворяет квадратному урав- нению . Положительный корень этого уравнения соответствует кинку, а отрицательный - антикинку. Однако эти два решения, принадлежащие разным корням уравнения для , имеют различные топологические заряды, а значит, относятся к разным топологическим секторам [10]. Известная модификация уравнения RLW, описываемая уравнением (2), имеет решение в виде солитона. Предложенная в данной работе модификация, описываемая уравнением (3), допускает решение типа кинка. Эти два решения топологически различны. В то же время сравнение показывает, что дисперсионные соотношения для обоих уравнений фактически одинаковы и совпадают, когда коэффициенты  и  равны единице. Следовательно, для обеих указанных уединенных волн фазовые скорости будут одинаковым образом зависеть от параметра k. Это, в свою очередь, означает, что для физических систем, описываемых уравнениями (2) и (3), дисперсия волновых пакетов будет носить одинаковый характер.

Скачать электронную версию публикации