Зависимость отношения квадратов скоростей акустических волн в твердых телах от параметра Грюнайзена
Установлено, что в формулах Леонтьева и Беломестных - Теслевой для параметра Грюнайзена правые части равенств зависят от ангармонизма через отношения квадратов скоростей акустических волн ( v L2 / v S2) и параметра Грюнайзена γ. Теоретическая зависимость ( v L2 / v S2) от γ в целом согласуется с экспериментальными данными как для кристаллов, так и для стеклообразных твердых тел. Величина ( v L2 / v S2) оказывается однозначной функцией отношения тангенциальной и нормальной жесткостей межатомной связи.
Dependence of the ratio of squares of the velocity of acoustic waves in solids on the Gruneisen parameter.pdf Введение В уравнение состояния твердого тела входит параметр Грюнайзена , характеризующий нелинейность силы межатомного взаимодействия и ангармонизм колебаний решетки. Основным соотношением для экспериментального определения является уравнение (закон, формула) Грюнайзена [1] (1) где - коэффициент объемного теплового расширения; V - молярный объем; B - изотермический модуль объемного сжатия; CV - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Помимо этого уравнения для расчета используются другие выражения, в том числе формулы Леонтьева [2] (2) и Беломестных - Теслевой [3] Рис. 1. Линейная корреляция между значениями параметра Грюнайзена , полученными по уравнению Грюнайзена (1) и по формуле Беломестных - Теслевой (3), для различных кристаллов (использованы данные [3, 4]): 1 - Be; 2 - LiF; 3 - NaCl; 4 - LiCl; 5 - KCl; 6 - KBr; 7 - Al; 8 - Ag; 9 - Pb; 10 - Au (3) Здесь BA - адиабатический модуль объемного сжатия; - плотность; vк - средняя квадратичная скорость волн деформации, квадрат которой является инвариантом суммы квадратов скоростей распространения продольной (vL) и поперечной (vS) упругих волн, (4) - коэффициент Пуассона, который иногда называют коэффициентом поперечной деформации. Формулы Леонтьева (2) и Беломестных - Теслевой (3) привлекательны тем, что, в отличие от уравнения Грюнайзена (1), позволяют рассчитывать по более доступным экспериментальным данным. Установлено, что они находятся в удовлетворительном согласии с уравнением Грюнайзена [3-5] (см., например, рис. 1). Вместе с тем привлекает внимание то обстоятельство, что в формулах (2) и (3) в левых частях равенств находится мера ангармонизма , а в правые части входят на первый взгляд только гармонические характеристики (, BA, ) и . Таким образом наблюдается как бы противоречие. В настоящей работе развито представление о том, что правые части равенств (2) и (3) зависят от ангармонизма (неявно) через зависимость отношения квадратов скоростей звука ( ) от параметра Грюнайзена γ и поэтому указанное выше противоречие на самом деле является кажу- щимся. Линейная зависимость (vL2 / vS2) от параметра Грюнайзена При изучении формул (2) и (3) обнаруживается тот факт, что их правые части являются функциями отношения квадратов скоростей распространения продольной и поперечной акустических волн ( ). Так, например, в уравнении Леонтьева (2) за счет величины правая часть равенства оказывается функцией указанного отношения (vL/vS)2 (см. соотношение (4)) Далее, в правой части уравнения Беломестных - Теслевой (3) коэффициент Пуассона , согласно известной формуле теории упругости [6], также является функцией отношения квадратов скоростей звука ( ) (5) Отмеченное выше наблюдение в отношении рассматриваемых двух формул наводит на мысль о том, что их правые части, возможно, зависят от ангармонизма за счет отношения квадратов скоростей продольной и поперечной акустических волн ( ). Так, наши исследования ряда металлов, ионных и молекулярных кристаллов показали [7]: если между параметром Грюнайзена и квадратами скоростей и в отдельности фактически нет определенной взаимосвязи (рис. 2 и 3), то их отношение ( ) оказывается линейной функцией параметра Грюнайзена - меры ангармонизма (рис. 4). Рис. 2. Зависимость квадрата скорости продольной акустической волны от параметра Грюнайзена для ряда кристаллов. Номера точек соответствуют номерам веществ в табл. 1 Рис. 3. Зависимость квадрата скорости поперечной акустической волны от параметра Грюнайзена для кристаллов, приведенных на рис. 2. Номера точек соответствуют номерам веществ в табл. 1 Рис. 4. Линейная корреляция между отношением квадратов продольной и поперечной скоростей звука ( ) и параметром Грюнайзена для кристаллов, приведенных на рис. 2 и 3. Номера точек соответствуют номерам веществ в табл. 1 Таблица 1 Скорости звука, коэффициент Пуассона и параметр Грюнайзена неорганических веществ при стандартных условиях (p = 105 Па и Т = 298 К) № п/п Элементы и соединения Скорость звука, м/c Отношение квадратов скоростей (vL/vS)2 Коэффициент Пуассона μ Параметр Грюнайзена γ vL vS 1 LiF 7323 4518 2.627 0.200 1.34 2 NaCl 4666 2755 2.869 0.243 1.46 3 LiCl 5260 3058 2.959 0.245 1.52 4 NaBr 3284 1885 3.35 0.270 1.56 5 KCl 4090 2312 3.130 0.259 1.60 6 KI 2623 1469 3.188 0.265 1.63 7 W 5233 2860 3.348 0.283 1.62 8 Fe 6064 3325 3.326 0.292 1.68 9 KF 4641 2587 3.218 0.274 1.73 10 RbI 2245 1198 3.512 0.309 1.73 11 Co 5827 3049 3.652 0.357 1.87 12 Cu 4726 2298 4.229 0.350 2.00 13 Ag 3686 1677 4.831 0.379 2.40 14 Pt 3960 1670 5.623 0.390 2.54 15 Pb 2158 860 6.30 0.372 2.93 У стеклообразных твердых тел наблюдается аналогичная линейная эмпирическая корреляция между отношением квадратов скоростей звуковых волн и параметром Грюнайзена (рис. 5, табл. 2). Рис. 5. Линейная корреляция между отношением квадратов скоростей распространения акустических волн (vL/vS)2 и параметром Грюнайзена . Точки - натриевоалюмосиликатные стекла Na2O- Al2O3-SiO2 с разным содержанием окислов, номера точек соответствуют номерам стекол в табл. 2 Таблица 2 Плотность ρ, скорости распространения продольных (vL) и поперечных (vS) акустических волн, модуль объемного сжатия ВА, коэффициент Пуассона μ и параметр Грюнайзена γ для стекол Na2O - Al2O3 - SiO2 (использованы данные [8]) № п/п Состав по синтезу, мол. % ρ•10-3, кг/м3 νL, м/с νS, м/с BA•10-8, Па µ γ Na2O Al2O3 SiO2 1 15 0 85 2339 5430 3340 342 0.196 1.28 2 15 5 80 2358 5570 3390 370 0.206 1.31 3 15 10 75 2410 5697 3510 386 0.194 1.26 4 15 15 70 2465 5737 3469 416 0.212 1.34 5 15 20 65 2428 5850 3540 425 0.211 1.34 6 15 25 60 2472 6000 3568 470 0.226 1.40 7 25 0 75 2439 5280 3140 359 0.226 1.40 8 25 5 70 2455 5480 3240 394 0.231 1.41 9 25 10 65 2461 5610 3330 411 0.228 1.40 10 25 20 55 2470 5680 3450 405 0.208 1.32 11 25 25 50 2499 5790 3490 432 0.215 1.35 12 25 30 45 2519 6026 3556 490 0.233 1.43 13 35 0 65 2497 5340 3070 398 0.253 1.52 14 30 5 65 2486 5500 3200 413 0.244 1.47 15 20 15 65 2450 5670 3490 390 0.195 1.28 16 17.5 17.5 65 2447 5746 3458 418 0.216 1.35 Теоретический вариант зависимости (vL2 / vS2) от γ На рис. 4 и 5 приводится линейная корреляция между величинами ( ) и γ, полученная эмпирически на основе экспериментальных данных. Представляет интерес установление взаимосвязи этих величин с помощью существующих теоретических уравнений в данной области. Формулу для зависимости отношения скоростей звука ( ) от параметра Грюнайзена γ можно вывести из двух экспериментально оправданных соотношений, а именно из уравнения Беломестных - Теслевой (3) и формулы теории упругости (5), связывающей квадраты скоростей акустических волн с коэффициентом Пуассона μ, которую разрешим относительно ( ) и запишем в виде [6] . (6) Выразив из уравнения Беломестных - Теслевой (3) коэффициент Пуассона μ через γ и подставив его в формулу теории упругости (6), приходим к следующей зависимости отношения ( ) от γ: . (7) Такой же результат можно получить из формулы Беломестных для акустического параметра Грюнайзена (соотношение (1) в работе [3]). Теоретическая зависимость (7) находится в согласии с экспериментальными данными для стекол - прямая на графике проходит практически через начало координат с тангенсом угла наклона равным единице (рис. 6). Исследованные кристаллы (см. табл. 1), в целом, подчиняются зависимости (7), однако они по отношению к ней делятся на две группы, каждая из которых описывается уравнением прямой, не проходящей через начало координат (рис. 7): , где а и b - постоянные (а ≠ 4 и b ≠ 0). Рис. 6. Зависимость квадрата отношения скоростей распространения продольной (vL) и поперечной (vS) акустических волн (vL/vS)2 от параметра Грюнайзена в координатах, соответствующих уравнению (7). Точки - натриевоалюмосиликатные стекла Na2O-Al2O3-SiO2 с разным содержанием окислов, номера точек соответствуют номерам стекол в табл. 2 Возникает, естественно, вопрос, как согласовать соотношение (7) с эмпирической линейной корреляцией, наблюдаемой между величинами ( ) и γ (см. рис. 4 и 5). Из формулы (7) можно получить приближенную линейную зависимость ( ) от γ при условии 2γ 0, откуда γ < 4.5, что совпадает с максимальным параметром Грюнайзена при полиморфных превращениях в кристаллах [9]. С точки зрения интерпретации полученных результатов на микроскопическом уровне представляет определённый интерес модель случайно упакованных атомов в виде сфер, взаимодействующих друг с другом посредством двух взаимно перпендикулярных сил: нормальной к плоскости контакта fn = knxn и тангенциальной (силой трения) ft = ktxt [10]. В рамках данной модели Берлина - Ротенбурга - Басэрста коэффициент Пуассона μ определяется отношением тангенциальной kt и нормальной kn жесткостей межатомной связи λ = (kt / kn) [10]: . (9) Из соотношений (6) и (9) следует, что отношение квадратов скоростей ( ) определяется микроскопическим параметром λ: . (10) В свою очередь, как видно из равенств (3) и (9), параметр λ однозначно связан с ангармонизмом (γ). Заключение Таким образом, квадраты скоростей продольной и поперечной акустических волн и в отдельности практически не связаны с ангармонизмом - не коррелируют с параметром Грюнайзена, а их отношение ( ) оказывается ангармонической (нелинейной) характеристикой твердых тел. В формуле Леонтьева (2) и Беломестных - Теслевой (3) нет противоречия, касающегося взаимосвязи гармонических и ангармонических величин. Как левые, так и правые части равенств в этих соотношениях зависят от нелинейности силы межатомного взаимодействия - ангармонизма, мерой которого служит параметр Грюнайзена γ. Величина ( ) определяется отношением тангенциальной и нормальной жесткостей межатомной связи λ = (kt / kn), которое является однозначной функцией параметра Грюнайзена.
Ключевые слова
параметр Грюнайзена,
продольная и поперечная скорости акустических волн,
ангармонизм,
коэффициент Пуассона,
твердые тела,
формулы Леонтьева и Беломестных - ТеслевойАвторы
Сандитов Дамба Сангадиевич | Бурятский государственный университет им. Доржи Банзарова; Институт физического материаловедения СО РАН | д.ф.-м.н., профессор БГУ, гл. науч. сотр. ИФМ СО РАН | sanditov@bsu.ru |
Бадмаев Саян Санжиевич | Бурятский государственный университет им. Доржи Банзарова | к.т.н., доцент БГУ | sayan75@mail.ru |
Машанов Алексей Алексеевич | Бурятский государственный университет им. Доржи Банзарова | к.т.н., доцент БГУ | mashanov@bsu.ru |
Всего: 3
Ссылки
Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. - М.: Мир, 1975. - 382 с.
Леонтьев К.Л. // Акуст. журн. - 1981. - Т.27. - № 4. - С. 554-561.
Беломестных В.Н., Теслева Е.П. // ЖТФ. - 2004. - Т. 74. - Вып. 8. - С. 140-142.
Сандитов Д.С., Беломестных В.Н. // ЖТФ. - 2011. - Т. 81. - Вып. 11. - С. 77-83.
Сандитов Д.С. // УФН. - 2020. - Т. 190. - Вып. 4 - С. 355-370.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - 3-е изд. - М.: Наука, 1965. - 204 с.
Сандитов Д.С., Дармаев М.В., Сандитов Б.Д., Мантатов В.В. // Изв. вузов. Физика. - 2009. - Т. 52. - № 4. - С. 50-52.
Лившиц В.Я., Теннисон Д.Г., Гукасян С.Б., Костанян А.К. // ФХС. - 1982. - Т. 8. - № 6. - С. 688-693.
Беломестных В.Н., Теслева Е.П., Соболева Э.Г. // ЖТФ. - 2009. - Т. 79. - Вып. 2. - С. 153- 154.
Берлин Ал.Ал., Ротенбург Л., Басэрст P. // ВМС. Сер. А. - 1992. - Т. 34. - № 7. - С. 6-32.