Reflection of elastic waves at the boundary with the specified stresses.pdf Введение Структура границ раздела твердых тел и закономерности процессов деформации и разрушения структурно неоднородных тел, обусловленные наличием границ, являются предметом исследования многих авторов [1-5]. Это связано с тем, что реальные материалы и среды, к числу которых относятся композиты, поликристаллы, пористые и геологические среды, имеют иерархически организованную внутреннюю структуру и границы раздела являются важным элементом структуры. Экспериментальные и теоретические результаты исследований свидетельствуют о том, что границы раздела оказывают существенное влияние на физические и эксплуатационные свойства сред, материалов и тел [2, 5-7]. Некоторые закономерности процессов деформирования структурно-неоднородных тел можно установить, исследуя деформации на границах раздела, к числу которых относятся и свободные поверхности. Такие поверхности являются характерной особенностью пористых и трещиноватых тел, а также существуют в сплошных телах при различных способах нагружения за исключением всестороннего воздействия. Напряженно-деформированное состояние, формируемое в процессе распространения, взаимодействия и затухания волн, может быть изучено на границе в рамках классической задачи прохождения волн [8, 9]. Граничные условия на свободной поверхности формулируются в виде равенства нулю действующих напряжений. Коэффициенты отражения, определяемые при решении этой задачи, позволяют найти деформационные моды на границе, характеризующие формоизменение и поворот бесконечно малого элемента среды на границе. Аналогичный подход при решении задачи распространения волн через границу позволил исследовать напряженно-деформированное состояние на границе раздела упругих тел при условии идеального контакта и скольжения в рамках классического представления о границе [10, 11] и модельного представления в виде контактного слоя [12]. Несмотря на широкое применение звуковых и ультразвуковых колебаний в процессе обработки материалов при различных способах нагружения, отражение волн на границе при заданных напряжениях остается до конца нерешенной задачей в теоретическом плане. Влияние напряжений на границе важно учитывать также при анализе волновых процессов в пористых флюидонасыщенных и трещиноватых средах. Если пора или трещина заполнены жидкостью, то напряжения на границе не равны нулю и определяются давлением, а также напряжением сдвига в случае вязкой жидкости. Рассматриваемая задача актуальна для упругих элементов многих конструкций энергетического, технологического и другого оборудования, эксплуатируемого в условиях нагружения, частным случаем которого является погружение в жидкость, при волновом воздействии. Ограниченное число работ, посвященных анализу отражения упругих волн на границе при заданных нагрузках [13], и отсутствие анализа соответствующего деформированного состояния границ являются причиной выполнения данной работы и предметом ее исследования. Математическая постановка задачи и аналитическое решение Постановка задачи Пусть на граничную поверхность изотропного упругого полупространства, расположенного в области z < 0 декартовой системы координат xyz, падает плоская монохроматическая волна, направление распространения которой образует некоторый угол с осью z в плоскости yz (рис. 1). Упругое полупространство характеризуется коэффициентами Ламе λ, µ и материальной плот¬ностью ρ. На границе раздела при z = 0 заданы нормальные P0 и касательные напряжения τ0. При падении на границу продольной (P) волны (рис. 1, а) вектор смещений Ul0 имеет не равные нулю Uz0-, Uy0-компоненты , (1) которые для падающей поперечной вертикально поляризованной (SV) волны, характеризуемой вектором Ut0 (рис. 1, б), определяются выражениями . (2) Здесь Al0, At0 - амплитуды падающих P- и SV-волн; θl0, θt0 - углы падения; kl0 = ω/Cl, kt0 = ω/Ct - волновые числа; Cl, Ct - скорости упругих волн; ω - частота; t - время; rl(t)0 = zcosθl(t)0 + ysinθl(t)0. Нижний индекс l соответствует величинам продольной волны, t обозначает величины поперечной волны. Дифференцируя (1), (2) по пространственным координатам, получим выражения для компонент тензора упругой дисторсии, которые позволяют найти компоненты деформаций и поворота для падающей продольной волны (3) и поперечной волны (4) где ξl(t)0 = -iωt + ikl(t)0rl(t)0. Компоненты смещений отраженной волны для любого типа падающей вертикально поляризованной волны имеют вид (5) где Al-, At- - амплитуды отраженных волн; θl-, θt- - углы отражения; ξl(t)- = -iωt + ikl(t)0rl(t)-, rl(t)- = = -zcos θl(t)- + ysinθl(t)-. Рис. 1. Схематическое представление волновой картины на границе упругого тела при заданных напряжениях для падающей продольной (а) и поперечной (б) волн На основе уравнений (5) компоненты деформаций и поворота для отраженной волны запишутся следующим образом: (6) В простейшем случае падающей поперечной горизонтально поляризованной волны (SH) не равны нулю Ux0-, Ux--компоненты вектора смещений: , (7) и соответствующие моды деформаций: (8) где , - амплитуда падающей и отраженной SH-волны. Нахождение коэффициентов отражения Напряжения, определяемые законом Гука и компонентами деформаций падающих и отраженных волн, в случае заданных на границе при z = 0 напряжений P0, τ0 удовлетворяют равенствам . (9) Здесь L = 2μ+λ - упругий модуль; εij = (∂iUj+∂jUi)/2 - компоненты полных деформаций, определяемых смещениями Ui = Uj0+Uj- при i = x, y, z. Подставляя (3) и (6) в два первых равенства (9), получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения P- и SV-волн Rll = Al-/Al0, Rtl = At-/Al0 в случае падающей продольной волны: (10) Уравнения (10) записаны при условии выполнения законов отражения θl0 = θl-, kl0sinθl0 = kt-sinθt- в каждой точке граничной поверхности и обозначениях C = Ct/Cl, tl = t - (y/Cl)sinθl0, Pl = P0/(LAl0kl0), τl = τ0/(μAl0kl0). Для падающей поперечной волны система уравнений для коэффициентов Rlt = Al-/At0, Rtt = At-/At0, записанная на основе граничных условий для напряжений σzz, σzy и формул для деформаций (4), (6), примет вид (11) В данном случае выполняются законы отражения θt0 = θt-, kt0sinθt0 = kl-sinθl0- и приняты обозначения tt = t - (y/Ct)sinθt0, Pt = P0/(μAt0kt0), τt = τ0/(μAt0kt0). При записи коэффициентов отражения в (10), (11) первый нижний индекс соответствует типу отраженной волны, второй индекс указывает на тип падающей волны. Отражение первичной SH-волны при заданных напряжениях на границе определяется равенством , (12) где RSV - коэффициент отражения. Аналитические решения (10), (11) представляют сумму двух слагаемых ; (13) , (14) в которых , (15) (16) - известные коэффициенты отражения на свободной поверхности [8, 9], вторые слагаемые в (13), (14) определяют зависимости коэффициентов от внешне приложенных напряжений. Коэффициенты отражения на свободной поверхности являются решением (10), (11) при отсутствии напряжений на границе (P0 = τ0 = 0) и при нулевых значениях вторых слагаемых, когда ; (17) (18) Однако эти равенства невыполнимы, поскольку при (17), (18) знаменатели соответствующих выражений обращаются в нуль. Численные результаты и их обсуждение Анализ решений для коэффициентов отражения Аналитические выражения (13), (14) существенно упрощаются при нормальном (19) и касательном падении продольных , (20) и поперечных волн . (21) Коэффициенты отражения продольных волн Rll, Rlt зависят от нормальных напряжений на границе при θl(t)0 = 0 и по-разному определяются нагрузками при θl(t)0 = 90, где Rlt зависит только от P0, а Rll - от нормальных и касательных напряжений. Отражение поперечной волны Rtl при углах падения θl0 = 0, 90 связано с напряжением сдвига τ0, как и Rtt при θt0 = 0, которое при θt0 = 90 определяется обоими напряжениями. Согласно (21), слагаемое, связанное с внешне приложенными напряжениями, при касательном падении SV-волны имеет сингулярную особенность при P0 ≠ 0. Из полученных решений (13) и (14) следует, что коэффициенты отражения на границе при заданных постоянных напряжениях, наряду с коэффициентами для свободной поверхности (15), (16), не зависящими от пространственных координат и времени, определяются вторым слагаемым, связанным с P0, τ0, неоднородность которого задается экспоненциальным множителем exp(ωtl(t)). При нормальном падении P- и SV-волн связь коэффициентов отражения с заданными напряжениями P0, τ0 синхронна во всех точках граничной поверхности и определяется множителем exp(ωt). При произвольном угле падения волны зависимость действительных частей коэффициентов отражения от заданных напряжений пропорциональна sinωtl(t), а мнимых частей - cosωtl(t). На рис. 2 представлены угловые зависимости коэффициентов отражения для продольной и поперечной волн при ωtl(t) = 0, 2πm и ωtl(t) = π(1/2+2m) в случае падающей P-волны при различных напряжениях на границе. Аналогичные зависимости для падающей поперечной волны показаны на рис. 3. При частоте возбуждаемой волны ω и времени tl(t), удовлетворяющих условию ωtl(t) = πm, где m = 0, 1, 2, … - целое число, действительные части коэффициентов отражения (13), (14) не зависят от заданных напряжений на границе, а связь мнимых частей с P0, τ0 не содержит пространственных координат и времени. При ωtl(t) = π(1+2m)/2 ситуация противоположна: мнимые части не зависят от напряжений на границе, а связь действительных частей с P0, τ0 однородна по пространству и постоянна во времени. В случае падающей на границу волны расширения характер угловых зависимостей коэффициентов отражения Re(Rll) и Re(Rtl) при заданных напряжениях на границе различен, но в обоих случаях качественно аналогичен зависимостям на свободной поверхности (рис. 2, а). Изменяясь непрерывно, действительные части Rll(θl0) имеют максимальные значения, а действительные части Rtl(θl0) - минимальные значения. Модули мнимых частей Rll(θl0) максимальны при θl0 = π/2, Im(Rtl(θl0)) имеют экстремум при углах θl0  π/4 в случае ненулевых нормальных напряжений на границе и не имеют экстремума при заданных напряжениях сдвига. Следует отметить, что зависимости при ωtl = 0 (2πm), показанные на рис. 2, а, и при ωtl = π, (πm) будут иметь одинаковые действительные части и отличающиеся знаком мнимые части. Мнимые части коэффициентов отражения при ωtl = π/2 (π/2+2πm) на рис. 2, б и при ωt = 3π/2 (π/2+πm) равны нулю, а действительные части при качественно совпадающем характере угловой зависимости отличаются числовыми значениями. Рис. 2. Действительные (а) и мнимые (б) части коэффициентов отражения продольной (сплошные кривые) и поперечной (пунктирные кривые) волн при P0 = τ0 = 0 (1, 1), P0 = -0.6, τ0 = 0 (2, 2), P0 = 0, τ0 = -0.2 (3, 3), P0 = -0.6, τ0 = -0.2 (4, 4). Зависимости при ωtl(t) = 0 обозначены цифрами без штрихов, при ωtl(t) = π/2 - цифрами со штрихами Рис. 3. Действительные (сплошные кривые) и мнимые части (пунктирные кривые) коэффициентов отражения продольной (а) и поперечной (б) волн при P0 = τ0 = 0 (1, 1), P0 = -0.6, τ0 = 0 (2, 2), P0 = 0, τ0 = -0.2 (3, 3), P0 = -0.6, τ0 = -0.2 (4, 4). Зависимости при ωtl(t) = 0 обозначены цифрами без штрихов, при ωtl(t) = π/2 - цифрами со штрихами Коэффициенты отражения продольной и поперечной волн Rll(θl0), Rtl(θl0) по-разному реагируют на изменение упругих свойств среды, задаваемых отношением скоростей C = (μ/(2μ+λ))1/2. При увеличении С действительная часть Rll увеличивается во всем диапазоне углов падения волны и экстремальные значения Re(Rll(θl0)) наблюдаются при больших углах падения волны по сравнению с представленными на рис. 2, а результатами для любого нагруженного состояния границы. Действительная часть Rtl уменьшается с ростом С при любых углах θl0. Экстремальные значения Re(Rtl(θl0)) наблюдаются при меньших углах θl0 при граничных условиях Р0 = 0, τ0 ≠ 0 и практически при неизменяемых углах в случае Р0 ≠ 0. При заданном нормальном напряжении существуют два интервала углов: 0 ≤ θl0 ≤ θl, где Im(Rll(θl0)) уменьшается с ростом С по сравнению с результатами рис. 2, б, и θl ≤ θl0 ≤ π/2, где эта зависимость увеличивается. При Р0 = 0, τ0 ≠ 0 Im(Rll(θl0)) уменьшается при любом значении θl0. Мнимые части Rtl(θl0) увеличиваются с ростом С при любом напряженном состоянии границ и имеют экстремумы при больших углах падения волны при Р0 ≠ 0. Падающая на границу волна расширения отражается в виде однородной продольной и поперечной волн при углах θl ≤ θl0 ≤ π/2 как на свободной поверхности, так и на границе в случае заданных напряжений. Если на границу падает волна сдвига, то отраженная продольная волна существует в виде однородной волны в интервале углов 0 ≤ θt0 ≤ θt*, где θt* - предельный угол полного внутреннего отражения, определяемый условием, следующим из закона отражения: . (22) При θt0 > θt* отраженная Р-волна становится неоднородной и распространяется вдоль границы, затухая по экспоненте в глубь среды. Предельный угол θt* является особой точкой на кривых зависимостей коэффициентов отражения P- и SV-волн от угла падения поперечной волны на рис. 3. Например, для реальных частей Rlt(θt0), Rtt(θt0), обозначенных цифрами 2, 4, угол θt0 = θt* является точкой возврата. Для мнимых частей Rlt(θt0), Rtt(θt0) на свободной поверхности и при ωtt = π(1/2+m), обозначенных цифрами 1, 1-4 на рис. 3, этот угол является точкой раздела областей нулевых и ненулевых значений. Характер угловых зависимостей коэффициентов отражения Re(Rlt) и Re(Rtt) при заданных напряжениях на границе различен, но в обоих случаях качественно аналогичен зависимостям на свободной поверхности в интервале углов θt0 ≤ θt* при ωtt = 2πm. При ωtt = π(1/2+m), θt0 ≤ θt* действительные части Rlt(θt0), Rtt(θt0) качественно аналогичны зависимостям на свободной поверхности при заданных напряжениях сдвига на границе и различны при заданных нормальных напряжениях. Изменяясь непрерывно, действительные части Rlt(θt0) имеют максимальные значения при θt0 = θt* при любых Р0 ≠ 0, τ0 ≠ 0 в случае ωtt = 2πm и при Р0 = 0, τ0 ≠ 0 в случае ωtt = π(1/2+m). Действительные и мнимые части Rtt при θt0 = 0 и θt0 = θt* имеют одинаковые значения. Мнимые части обеих отраженных волн при θt0 > θt* изменяются в большей степени по сравнению с зависимостями на свободной поверхности при заданном нормальном напряжении Р0, чем при τ0. Не останавливаясь на деталях изменения зависимостей, показанных на рис. 2, при варьировании упругих свойств среды, задаваемых отношением скоростей С, отмечается изменение предельного угла полного внутреннего отражения, определяемого как θt* = arcsin(С) (22). Определение деформаций на границе Для падающей продольной волны формулы (3), (6) позволяют записать выражения для амплитуд деформации на границе в виде (23) которые определяют компоненты деформаций εzi = Eziel0, Ωzi = Wziel0 с точностью до безразмерного множителя el0 = ikl0Al0. Подставляя в (23) соответствующие коэффициенты отражения, можно определить амплитуды деформации на границе при заданных напряжениях. Как следует из (23), амплитуды объемных деформаций на границе Ev = Ezz+Eyy определяются коэффициентами отраженной продольной волны, а повороты - коэффициентами отраженной поперечной волны. Рассмотренные в предыдущем разделе зависимости коэффициентов отражения от угла падения волны и упругих параметров среды позволяют проанализировать аналогичные связи для амплитуд деформационных мод Ev, Wzy. На рис. 4, а приведены амплитуды диагональных компонент деформаций, направленные по нормали и по касательной к границе, и деформация сдвига. Эти деформационные моды определяются обоими коэффициентами Rll, Rtl в отличие от объемной деформации и поворота. При условии ωtl = 0, 2πm, все рассматриваемые компоненты деформаций на границе при заданных напряжениях и свободной поверхности совпадают. По сравнению с деформацией на свободной поверхности амплитуды Eyy при ωtl = π(1/2+2m) увеличиваются при заданных напряжениях сдвига на границе и уменьшаются при нормальных напряжениях. Амплитуды компонент Ezz принимают меньшие значения при любых заданных Р0, как и деформация сдвига при τ0 ≠ 0. Амплитуда деформации Ezy, не равная нулю при заданных напряжениях сдвига на границе, не зависит от угла падения волны. При малых углах падения модули удлинений, направленных по нормали к границе, преобладают над удлинениями, направленными по касательной к границе, при больших углах падения волны mod(Eyy) > mod(Ezz). Для падающей SV-волны амплитуды деформации на границе на основе формул (4), (6) запишутся при θt0≤θt* в виде (24) Здесь εzi = Eziet0, Ωzi = Wziet0 и et0 = ikt0At0 - безразмерный множитель. При θt0 > θt* выражение для амплитуды деформации сдвига изменится следующим образом: . (25) На рис. 4, б показаны зависимости амплитуд деформаций Ezi от угла падения волны сдвига. В интервале углов при θt0 ≤ θt*, как и в случае падающей P-волны, при условии ωtt = 0, 2πm рассматриваемые компоненты деформаций на границе при заданных напряжениях и свободной поверхности совпадают (кривые 1-4, 1). Указанные зависимости для диагональных компонент Ezz(θt0), Eyy(θt0) при Р0 ≠ 0 с точностью до знака качественно подобны. В случае ωtt = π(1/2+2m) по сравнению с деформацией на свободной поверхности амплитуды Eyy уменьшаются при заданных напряжениях сдвига и увеличиваются при заданных нормальных напряжениях, амплитуды компонент Ezz увеличиваются при любых заданных Р0, τ0, как и деформация сдвига при τ0 ≠ 0. При θt0 = θt* удлинения Ezz на свободной границе и при Р0 ≠ 0, τ0 ≠ 0 совпадают для обоих условий ωtt, амплитуды Eyy совпадают только при ωtt = 0, 2πm. В интервале углов θt0 > θt* зависимости удлинения Ezz(θt0), Eyy(θt0) при нормальных напряжениях на границе с точностью до знака качественно подобны при условиях ωtt = 0 и ωtt = π/2. Рис. 4. Амплитуды деформаций на границе раздела для падающей P- (а) и SV-волны (б) при P0 = τ0 = 0 (1, 1), P0 = -0.6, τ0 = 0 (2, 2), P0 = 0, τ0 = -0.2 (3, 3), P0 = -0.6, τ0 = -0.2 (4, 4). Зависимости для Ezz-компонент изображены сплошными линиями, для Eyy - пунктирными линиями и для Ezy - пунктиром с точкой. Цифрами без штрихов обозначены деформации при ωtl(t) = 0, цифрами со штрихами - при ωtl(t) = π/2 Коэффициенты отражения и амплитуды деформаций, показанные на рис. 2, 3, 4 при ωtl(t) = 2πm, ωtl(t) = π(1+2m)/2, будут наблюдаться на граничной поверхности при y = 0 в моменты времени, кратные периоду и четверти периода падающей волны t/T = m, t/T = (1+2m)/4, где Т - период волны. В произвольной точке граничной поверхности эти величины наблюдаются со сдвигом во времени tl(t)/T = t/T-∆t, где ∆t = y/Cl(t))sinθl(t)0 для определенного угла падения волны и упругих скоростей. В произвольный момент времени 0 ≤ tl(t)/T ≤ 1 коэффициенты отражения и амплитуды деформаций на границе при заданных напряжениях могут быть определены аналогичным образом. Заключение В рамках традиционной постановки задачи рассмотрены закономерности отражения упругих волн при заданных нормальных и касательных напряжениях на границе и изучены соответствующие распределения деформаций. Аналитические выражения для коэффициентов отражения упругих волн на границе при напряжениях, полученные при условии выполнения законов отражения, определяются коэффициентами отражения на свободной поверхности и содержат вклад, зависящий от напряжений и параметров падающей волны. При нормальном падении продольной и поперечной волн коэффициенты отражения и амплитуды деформации на границе изменяются синхронно. В общем случае изменение этих величин в противофазе падающей волны неоднородно по пространству и во времени. Рассчитанные зависимости коэффициентов отражения от угла падения волны для двух значений фаз падающих продольных и поперечных волн демонстрируют существенную зависимость рассматриваемых величин от заданных напряжений на границе. При падении волны расширения мнимые части коэффициентов отражения не равны нулю и определяют сдвиг фаз между падающей и отраженной волной, не наблюдаемый на свободной поверхности. В случае падающей поперечной волны мнимые части коэффициентов отражения и сдвиги фаз первичной и вторичных волн появляются при углах падения волны меньше критического, в отличие от границы при нулевых напряжениях. При углах падения больше критического отражение волн происходит со сдвигом при любых граничных условиях. Действительные части коэффициентов отражения при падении продольной волны качественно подобны коэффициентам отражения на свободной поверхности. Изменение аналогичных величин при падении волны сдвига зависит от характера нагружения. Деформированное состояние на границе при заданных напряжениях определяется удлинениями, направленными вдоль нормали к границе и касательной, деформацией сдвига и поворотом. На свободной поверхности деформация сдвига равна нулю. При постоянных напряжениях на границе амплитуда этой компоненты деформации равна половине напряжения сдвига и отличается знаком для падающей продольной и поперечной волн. Зависимости удлинений от угла падения продольной волны качественно подобны изменениям деформаций на свободной поверхности. В случае падающей поперечной волны качественное подобие удлинений на обеих рассматриваемых границах наблюдается при углах падения меньше критического, при углах падения больше критического модули удлинений существенно увеличиваются при заданных нормальных напряжениях. Изменение поворотной моды деформации на границе при любых граничных условиях определяется коэффициентом отражения поперечной волны.

Скачать электронную версию публикации