Three-dimensional diffraction-free Airy pulses in the medium of carbon nanotubes under the conditions of an optical reso.pdf Введение Недавние исследования показали, что существует широкий класс оптических лучей, профиль интенсивности которых действительно поперечно ускоряется во время распространения. В то время как их центр тяжести всегда движется по прямой линии, фактические особенности структуры интенсивности этих ускоряющих волновых фронтов следуют изогнутой траектории. Концепция самоускоряющихся волновых пакетов возникла в 1979 г. с новаторской работы Берри и Балаза [1], которые нашли сохраняющее форму ускоряющее решение для беспотенциального уравнения Шредингера в виде идеальной функции Эйри. Первое наблюдение импульса, имеющего поперечное сечение Эйри, отмечено в 2007 г. авторами [2, 3], почти через 30 лет после пионерской работы Берри и Балаза. Такое внимание импульсы Эйри получили благодаря отсутствию дифракционного расплывания в направлении, перпендикулярном к оси распространения, на больших расстояниях. Одним из ключевых свойств данных импульсов является то, что они обладают свойством самовосстановления и сохраняют поперечное сечение [4], а также имеют повышенную устойчивость к амплитудно-фазовым искажениям. Благодаря всем вышеописанным уникальным свойствам импульсы Эйри заслуживают большого внимания. Важно, чтобы среда, в которой распространяются импульсы, обладала нелинейными свойствами, в качестве такой среды подходят полупроводниковые углеродные нанотрубки (УНТ), часто используемые в различных приложениях [5-9]. Благодаря моделированию такой нелинейной среды становится возможным управление некоторыми параметрами предельно короткого оптического импульса Эйри, например, его скоростью и формой, что, в свою очередь, играет большую роль в создании современной элементной базы опто- и наноэлектроники. Еще одним важным аспектом является то, что среда углеродных нанотрубок помещена в оптический резонатор, т.е. импульс проходит сквозь нее много раз за счет многократного отражения от стенок. Это может приводить к тому, что импульс будет испытывать значительные потери при взаимодействии со стенками резонатора, однако такие потери могут быть компенсированы как внешним полем накачки, так и за счет высокоотражающего покрытия резонатора. Такого рода пространственно локализованные структуры принято называть резонаторными солитонами [10]. Все вышеизложенные аргументы и послужили стимулом к данной работе. Основные уравнения Рассмотрим распространение трехмерных предельно коротких оптических импульсов Эйри продольного сечения в среде ориентированных углеродных нанотрубок, причем электрическое поле импульса и ток направлены вдоль оси нанотрубок. С помощью преобразований Боголюбова можно диагонализировать гамильтониан системы электронов и получить электронный спектр, описывающий свойства электронной подсистемы в отсутствие кулоновского отталкивания . Для углеродных нанотрубок типа «zig-zag» он имеет вид [11, 12] , (1) где ; эВ; ; нм - расстояние между соседними атомами углерода. Уравнения Максвелла в цилиндрической системе координат можно записать в виде [13] , (2) где - электрическое поле импульса; - плотность электрического тока; - время; - скорость света в среде. Здесь мы полагаем, что производная по углу в силу цилиндрической симметрии равна нулю. В силу неоднородности поля вдоль некоторой оси (например, поле направлено и неоднородно вдоль оси z), ток также неоднороден. Неоднородность тока обуславливает накопление заряда в некоторой области, которое можно оценить из закона сохранения заряда: (3) Здесь ρ - плотность заряда; j - плотность тока вдоль оси z; τ - длительность импульса электрического поля; lz - характерная длина, на которой изменяется электрическое поле импульса вдоль оси z. Формула (3) позволяет заключить, что существенное влияние на накопленный заряд оказывает длительность предельно короткого импульса. Сделанные оценки, согласно которым накопленный заряд составляет ~ 1-2% от заряда, дающего вклад в ток, позволяют пренебречь эффектом накопления заряда для фемтосекундных импульсов. Это подтверждают численные эксперименты для случая углеродных нанотрубок и импульса длительностью в десятки фемтосекунд [14]. Модифицируем уравнение (2), учитывая кулоновскую калибровку для описания распространения импульсов с широким спектром в нелинейной среде. Проинтегрировав по времени, несложно убедиться в том, что обобщением уравнения (2) на случай нелинейной среды является уравнение вида . (4) Вектор-потенциал ; плотность тока , ее можно представить так: (5) , Аks - убывающие с ростом k коэффициенты разложения; - групповая скорость; . Интегрирование ведется в первой зоне Бриллюена. Более детальный вывод выражения для плотности тока представлен в работах [15-17]. Результаты численного моделирования Исследуемое уравнение решалось численно [18]. Межзонный ток полагался равным нулю. То есть считалось, что спектр предельно короткого оптического импульса Эйри продольного сечения лежит выше видимой части спектра, в ближней инфракрасной области. Шаг по времени и координате определялся из условий устойчивости численной схемы и уменьшался до тех пор, пока решение не изменялось в восьмом значащем знаке. Начальное условие для вектор-потенциала электрического поля трехмерного предельно короткого оптического импульса Эйри продольного сечения выбиралось в виде [19] Здесь Q - амплитуда импульса; , - ширины импульса в направлении z и r соответственно; u - начальная скорость импульса; k - параметр импульса Эйри; - параметр обрезания, который вводится для того, чтобы импульс был физически реализуем и нес конечную энергию. Рис. 1. Эволюция трехмерного предельно короткого оптического импульса Эйри продольного сечения в среде УНТ, помещенных в оптический резонатор, в различные фиксированные моменты времени t, пс: 20 (а), 60 (б), 100 (в) и 140 (г). По осям отложены единицы координат и электрического поля Результаты эволюции трехмерного предельно короткого импульса, имеющего профиль Эйри в продольном направлении, и Гауссов - в поперечном, распространяющего в среде углеродных нанотрубок, помещенных в оптический резонатор, представлены на рис. 1. На рисунке продемонстрировано устойчивое распространение трехмерного предельно короткого бездифракционного импульса Эйри, который распространяется в среде углеродных нанотрубок, помещенных в условия цилиндрического оптического резонатора. Импульс сохраняет свою энергию локализованной в ограниченной пространственной области, которая сосредоточена вдоль оси цилиндрического резонатора, на временах до 140 пс. Следует заметить, что за время 140 пс импульс успевает пройти несколько дисперсионных и дифракционных длин, таким образом, можно утверждать, что и дальнейшее распространение импульса будет устойчивым. Дисперсионное уширение импульса может быть подавлено, если используются довольно мощные световые импульсы. Есть аналогия с явлением самофокусировки - при дифракционном уширении импульса происходит компенсация за счет сжатия из-за нелинейного свойства среды, в которой он распространяется. В данном случае дисперсионное и дифракционное расплывание предельно короткого оптического импульса компенсируется нелинейностью, которую вносят полупроводниковые углеродные нанотрубки. На рис. 2 показаны срезы интенсивности импульса, проходящие через определенную точку оси z, в различные моменты времени. То есть на рис. 2 представлена энергия импульса, сосредоточенная во всем поперечном сечении резонатора при заданной координате z. Видно, что вся энергия импульса локализована в определенных областях, расположенных вдоль оси резонатора. Формирование такой устойчивой структуры происходит благодаря отражению волн от стенок резонатора и их дальнейшей интерференции. Рис. 2. Срезы интенсивности бездифракционного импульса Эйри (см. пояснение в тексте) вдоль оси z в различные моменты времени t, пс: 20 (а), 60 (б), 100 (в) и 140 (г). По осям отложены единицы координат и электрического поля Таким образом, с помощью взаимодействия электромагнитного поля импульса со стенками цилиндрического резонатора можно варьировать его ширину, в частности уменьшить ее в направлении, перпендикулярном к оси цилиндрического резонатора. Значения соответствующего вектора Пойнтинга представлены на рис. 3, где показано первоначальное движение плотности энергии импульса к стенкам резонатора и последующее его возвращение обратно к оси резонатора. Из проведенного исследования можно сделать следующий вывод: трехмерные бездифракционые предельно короткие оптические импульсы, имеющие продольное сечение Эйри, устойчиво распространяются, сохраняя свою энергию в ограниченной области пространства, в том числе на больших временах (до 140 пс). Нелинейность, вносимая углеродными нанотрубками, компенсирует дисперсионное и дифракционное расплывание импульса. Это возможно благодаря непараболическому закону дисперсии электронов, что обусловливает нелинейность отклика нанотрубок на воздействие электромагнитных умеренных напряженностей, уже начиная со значений 103-104 В/см. Эволюционируя во времени, импульс двигается от оси цилиндрического резонатора к его стенкам, отражаясь от них, и затем происходит интерференция встречных волн, за счет которой импульс сохраняет свою энергию сосредоточенной, с небольшим изменением формы. Рис. 3. Значение вектора Пойнтинга трехмерных предельно коротких оптических импульсов Эйри в среде УНТ, помещенных в оптический резонатор, в различные моменты времени t, пс: 20 (а), 60 (б), 100 (в) и 140 (г). По осям отложены единицы координат и электрического поля Представленные в работе импульсы можно рассматривать как резонаторные солитоны, поскольку нелинейная среда УНТ помещена в оптический резонатор и пучок проходит через массив УНТ много раз за счет многократного отражения от стенок цилиндрического резонатора. Важным достоинством таких импульсов является то, что, имея оптическую обратную связь, они могут распространяться даже тогда, когда в отсутствие резонатора та же нелинейная среда не поддерживает каких-либо пространственных солитонов. Полученные результаты являются перспективными, поскольку позволяют уменьшить расплывание предельно короткого оптического импульса в направлении, перпендикулярном к оси цилиндрического резонатора из углеродных нанотрубок. Важным аспектом является и то, что моделирование проводилось на больших временах (до 140 пс). Это играет важную роль для практических приложений, например, для устройств передачи информации, а также для элементной базы фотоники, опто- и наноэлектроники.

Скачать электронную версию публикации