Среда скомпонована из плоскопараллельных монослоев, состоящих из элементов Гюйгенса. В модели молекулярной оптики получены выражения для отраженного поля, поля в среде и (в случае слоя конечной толщины) за средой. Рассмотрена теорема погашения и введено выражение для показателя преломления. При определенных условиях такая среда может вести себя как среда с единичной, нулевой или отрицательной реальными частями показателя преломления на заданной частоте. Сформулировано условие реализации магнитного зеркала. В случае слоя среды конечной толщины показан выход обратных волн за пределы среды.
Backward waves leaving the metamaterial.pdf Введение В последнее время большое внимание уделяется созданию искусственных сред с необычными электродинамическими характеристиками и свойствами. Например, с отрицательной [1, 2], нулевой [3] или единичной [4] реальными частями показателя преломления. Такие среды (метаматериалы) обычно представляют собой системы резонансных включений во вмещающей их диэлектрической матрице. Решение задачи Френеля на границе раздела вакуум - метаматериал и анализ распространения волн в таких средах обычно основаны на уравнениях Максвелла. Свойства среды описываются эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей [5]. Широко используются численные методы. Но использование эффективных параметров в уравнениях Максвелла не раскрывает механизм формирования отраженной и преломленной электромагнитных волн. Применение численных методов также оставляет скрытыми многие детали физических процессов при формировании этих волн. При таком подходе нельзя получать соотношения между микроскопическими (поляризуемость включения, расстояние между ними и др.) параметрами вещества. Поэтому нужен также анализ, основанный на молекулярных представлениях о строении вещества и позволяющий получить информацию, недоступную при макроскопическом описании. Тем более, когда макроскопическое описание явления с введением и и численное решение приводят к разным результатам. Такая ситуация возникла при анализе распространения в среде при отрицательном преломлении обратных волн. При макроскопическом описании с введением отрицательных и область существования этих волн находится внутри метавещества. В случае же метаматериала из резонаторов, как показали численные расчеты [6-9], обратные волны выходят за геометрические пределы метаматериала. Объяснение этого эффекта в данных работах отсутствовало. В настоящей работе на основе анализа распространения электромагнитного излучения в среде из электрических и магнитных диполей [10, 11] показано, что область существования обратных волн действительно выходит за пределы метаматериала, и представлен физический механизм этого явления. Пусть размеры включений в среде меньше других характерных размеров задачи. Тогда включения можно рассматривать как совокупность точечных электрических и магнитных диполей. Распространение поля в такой среде определяется взаимодействием этих диполей с падающим полем и описывается в модели молекулярной оптики [12]. По сравнению с методом Сивухина [12] в данной работе рассматриваются не только электрические, но и магнитные диполи. В выражениях для полей диполей учтен вклад всех зон, а не только волновой, как в работе [12]. Поэтому можно рассматривать среду из дипольных монослоев, расположенных на расстояниях друг от друга, меньших длины волны. В отличие от [12] учитывается воздействие одних монослоев на другие. Рассмотрим распространение плоской -поляризованной электромагнитной волны через среду, состоящую из периодически расположенных плоскопараллельных монослоев, составленных из точечных элементов Гюйгенса. Под элементами Гюйгенса понимаются частицы с электрической ( ) и магнитной ( ) дипольными поляризуемостями [13]. Индуцированные электрические и магнитные дипольные моменты взаимно перпендикулярны и пропорциональны падающему на них электрическому и магнитному полям соответственно. Такая ситуация реализуется, например, когда рассеивающими элементами среды являются наносферы [13]. Под действием внешнего поля диполи становятся источниками вторичных когерентных электромагнитных волн. Поля диполей учитываются полностью. Монослои лежат в плоскостях , пересекающих ось в точках . Расстояния между монослоями одинаковы и равны , причем , где - длина волны излучения. Элементы одного монослоя расположены неупорядоченно с плотностью и не взаимодействуют между собой. Поскольку внешнее поле распространяется вперед, то рассматривается рассеяние последовательными монослоями. Каждый монослой элементов находится в поле излучения всех других монослоев. На первый монослой со стороны под углом падают монохроматические поля и с частотой и волновым вектором . Здесь , и - единичные векторы вдоль соответствующих осей. Наведенные электрический и магнитный дипольные моменты -го элемента Гюйгенса (с радиус-вектором ) первого монослоя излучают. Поля и , рассеянные монослоем вперед в точке наблюдения ( ), получаются интегрированием полей электрического и магнитного диполей по координатам всех элементов монослоя [14]: ; (1) ; (2) , , . (3) Поля и , рассеянные первым монослоем назад (отражение), имеют вид [14] ; (4) . (5) При выводе (1) - (5) суммирование по координатам диполей было заменено интегрированием по плоскости монослоя, т.е. дискретные излучающие центры были заменены непрерывно распределенными источниками. В этом случае поле излучения реальной среды не отличается от поля ее модели уже на расстояниях от границы порядка среднего межатомного [12]. Поэтому выводы данной работы справедливы на расстояниях от монослоя, больших, чем средние межатомные. Распространение вперед и теорема погашения Согласно (1) и (2), первый монослой излучает вперед поля и в направлении волнового вектора . Представим в виде , отсюда можно записать как , где (ввиду малости потерь предполагается, что ) , (6) дают изменения амплитуды и фазы волны, вызванные излучением первого монослоя. Падающее поле достигает элемента первого монослоя, имея по оси фазу . Излучение элементов монослоя добавляет к этой фазе величину , делая общий набег фазы . Выражения , (7) (8) описывают бегущую вперед преломленную волну с -компонентой волнового вектора . (9) Можно сказать, что излучение первого монослоя гасит падающую волну и формирует преломленную (теорема погашения Эвальда - Озеена [15]). На второй монослой падают поля (7), (8). Индуцированные электрический и магнитный моменты элемента второго монослоя равны и соответственно. Поля и , рассеянные вперед вторым монослоем, равны ; (10) . (11) Выражение (10) для (и аналогично (11) для ) можно представить в виде . Излучение второго монослоя гасит падающее на него поле и формирует свою преломленную волну (теорема погашения Эвальда - Озеена) . Поля, рассеянные вторым монослоем назад (отражение), имеют вид ; (12) (13) На третий монослой падают поля и . И так далее. В общем случае бегущие вперед поля в точках нахождения элементов Гюйгенса -го монослоя равны (14) (15) Можно показать, что теорема погашения справедлива для каждого монослоя диполей. Отражение от среды Отраженные поля и формируются отраженными от всех монослоев волнами. Учитывая (4), (5) и (12), (13), при бесконечном числе монослоев получаем ; (16) , (17) где . При , и выражения (16) и (17) приобретают вид ; (18) ; (19) . (20) Здесь - коэффициент отражения Френеля. Поля (18), (19) дают поперечную отраженную волну. При ( ) возможна реализация оптического магнитного зеркала [16]. Поле в среде В установившемся режиме поле в точке нахождения элемента -го монослоя создается полями (14) и (15), распространяющимися вперед, и полями, отраженными от последующих монослоев. В результате получаются следующие выражения: ; (21) , (22) где . Выражение в квадратных скобках в (22) преобразуем, введя и , где определяется из условия . Тогда при , и получаем, что , причем , и значит - это угол между волновым вектором преломленной волны и осью . В этом случае выражения (20), (21) приобретают вид ; (23) ; (24) . (25) Величина определяет коэффициент пропускания Френеля, а . Значит, коэффициенты Френеля в (18), (19) и в (23), (24) получаются из общих соотношений (16), (17) и (21), (22) для отраженной и прошедшей волн соответственно в случае разреженной слабопоглощающей среды при , т.е. как первые члены разложения соответствующих выражений по степеням . Вектор поляризации магнитного поля перпендикулярен волновому вектору . Преломленная волна поперечна и распространяется вперед под углом к оси . Показатель преломления среды Считая, что , и учитывая (9), введем показатель преломления среды : . (26) Разные возможные ситуации описаны в [4, 10, 11]. Выделим некоторые из них. 1. Если , то и . При этом и среда не преломляет. Коэффициент отражения Френеля , а коэффициент пропускания Френеля . Поле как бы «не замечает» среду. Условие означает, что набег фазы волны, обусловленный излучением электрических дипольных моментов элементов Гюйгенса, компенсируется набегом фазы, пред- определенным излучением магнитных моментов. При , условие , согласно (6) и (3), переходит в и далее в не зависящее от угла падения условие . Возможность выполнения равенств , в случае среды из последовательно чередующихся электрических и магнитных дипольных монослоев была рассмотрена в работе [4]. 2. Если и , то , что соответствует ( ) преломлению при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную. Преломленная волна отклоняется от направления падающей, прижимаясь к границе раздела. Из (18) - (20), в частности, следует возможность реализации оптического магнитного зеркала [16]. В том числе и на границе обычных (не искусственных) материалов. 3. Если и , то . Это соответствует отрицательному преломлению и области существования обратных волн в среде. Излучение каждого монослоя, согласно (6), сдвигает фазу общего поля на . Если этот сдвиг по величине превосходит положительный набег фазы, вызванный распространением волны вперед на периоде структуры, то результирующий набег фазы на этом периоде отрицателен, , и в среде распространяется обратная волна. При возможна реализация оптического магнитного зеркала [16]. 4. При , и имеем и или . Для вещественных это возможно только при (т.е. и ) и , т.е. при . Значит, среда может вести себя как среда с нулевым показателем преломления только при нормальном падении излучения. Условие означает, что набег фазы волны, обусловленный излучением монослоя элементов Гюйгенса, компенсирует набег фазы, вызванный распространением вперед на периоде структуры [11]. При , это условие, согласно (3) и (6), переходит в и далее в . Из (23) и (24) следует, что и . В случае периодической среды из электрических дипольных монослоев и последовательно чередующихся электрических и магнитных дипольных монослоев возможность получения была показана в [10]. Обратная волна за пределами среды В п. 1 и 3 предыдущего раздела были сформулированы условия получения и существования обратных волн в полубесконечной среде. Пусть теперь метаматериал толщиной содержит монослоев. Тогда -й монослой - последний. Пусть среда за ним - вакуум. Волновой вектор волны в среде дается выражением (9) и при в среде распространяется обратная волна. Вследствие теоремы погашения излучение метаматериала вперед определяется излучением последнего монослоя, элементы которого «чувствуют» поля (14), (15). Поле излучения метаматериала в точке наблюдения ( ) на расстоянии от метаматериала определяется выражением, аналогичным (14), и представляет собой волну (27) у которой -компонента волнового вектора равна . (28) Излучение -го монослоя сдвигает фазу поля на . Если , то при получаем , присущее обратной волне. Значит, обратная волна выходит за пределы метаматериала. Это соответствует результатам численных расчетов в [6, 7]. При величина равна нулю, т.е. при распространении волны вперед положительный набег фазы компенсирует отрицательный вклад . Если , то . Обратная волна превратилась в прямую. С ростом величина стремится к . Если точка наблюдения находится в дальней зоне ( ), то и волновой вектор выходящей из метаматериала волны параллелен волновому вектору падающей на него волны. Если первый монослой - единственный (в соответствии с [6-9]), то -компонента волнового вектора поля на выходе из монослоя равна и вышеприведенные рассуждения остаются в силе. Отметим еще одно следствие из (9) и (26), нерассмотренное в [11] и в п. 1 предыдущего раздела. Равенство справедливо и при (что соответствует ), и при . В последнем случае из (26) следует, что , т.е. отрицательный набег фазы волны, обусловленный излучением монослоя, в 2 раза больше положительного набега фазы, обусловленного распространением волны вперед на периоде структуры. Тогда . Показателю преломления среды при этом обычно приписывают значение , что, в частности, соответствует идеальной суперлинзе. В основу концепции суперлинзы положена способность плоскопараллельного слоя материала с отрицательными значениями и фокусировать излучение точечного источника [1]. Пусть источник расположен перед слоем на расстоянии (меньшем длины волны) от него. И пусть толщина слоя будет , а изображение источника формируется на расстоянии позади слоя. Утверждается, что при (если слой расположен в вакууме) и при изображение источника идеальное [5]. Эффект основан на том, что слой с и усиливает неоднородные волны в излучении источника и при это усиление точно компенсирует затухание этих волн в областях перед слоем и после него. При тех же условиях отрицательный набег фазы обратных волн в пределах слоя точно компенсирует положительный набег фазы обычных бегущих волн в областях перед слоем и после него. Действительно, если обратные волны существуют только внутри метаматериала (как получается при макроскопическом описании с введением и внутри среды), то положительный набег фазы бегущей вперед волны в областях перед метаматериалом и после него компенсируется отрицательным набегом фазы ( ) обратной волны в метаматериале. Но при и из (28) следует, что при . Обратные волны выходят за пределы метаматериала и полной компенсации набегов фаз уже не происходит. Условие реализации суперлинзы нарушается. В случае (п. 4 предыдущего раздела) и, следовательно, . Обратная волна ( ) выходит за пределы метаматериала при . Заключение Полагая, что среда - это совокупность элементов Гюйгенса со взаимно перпендикулярными электрическим и магнитным дипольными моментами и экспериментально наблюдается результат интерференции испущенных ими волн и падающего поля, в работе в рамках молекулярной оптики рассмотрено распространение -поляризованного классического монохроматического излучения через метаматериал. Получены выражения для полей, отраженных от метаматериала, внутри него и прошедших через слой конечной толщины. Введен показатель преломления метаматериала. Получено условие или реализации магнитного зеркала. Условие или в определенных областях частот выполняется и для обычных сред. Приведены критерии, при которых метаматериал ведет себя как среда с , , или . В случае метаматериала конечной толщины показан выход обратных волн за пределы среды. Переход от обратных волн в метаматериале к обычным волнам за ним происходит в некотором промежуточном слое, величина которого определяется значением . Среду с электрическим и магнитным откликами на внешнее поле можно также создать из последовательно чередующихся электрических (из электрических диполей) и магнитных (из магнитных диполей) монослоев [4, 10]. И в этом случае выход обратных волн из метаматериала также имеет место. Если последний монослой такой среды - электрический (магнитный), то -компонента волнового вектора волны за метаматериалом ( ), где ( ) дают изменение фазы волны, обусловленное излучением электрического (магнитного) монослоя. Видно, что при , а при . Значит, если в среде распространяется обратная волна, то она обязательно выходит за границу метаматериала. Поле (27) на выходе из диэлектрика (и зависимости в (28), и ) формируется при сложении падающего поля и полей, рассеянных элементами среды. Значит, выход обратных волн за пределы среды - следствие интерференции электромагнитных волн - должен наблюдаться при неупорядоченном (как в данной работе) и при упорядоченном распределении элементов в монослое, т.е. это - интерференционный эффект, не зависящий от модели среды.
Веселаго В.Г. // УФН. - 1967. - Т. 92. - С. 517-526.
Вендик И.Б., Вендик О.Г. // ЖТФ. - 2013. - Т. 83. - № 1. - С. 3-28.
Vesseur E.J.R., Coenen T., Caglayan H., et al. // Phys. Rev. Lett. - 2013. - V. 110. - P. 013902-1- 013902-5.
Авербух Б.Б. // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41. - Вып. 10. - С. 50-56.
Pendry J.B. // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 85. - P. 3966-3969.
Kissel V.N. and Lagar’kov A.N. // Phys. Rev. - 2005. - V. B72. - P. 085111-1-085111-8.
Lagarkov A. and Kissel V. // Physica. - 2007. - V. B394. - P. 63-166.
Лагарьков А.Н., Сарычев А.К., Кисель В.Н., Тартаковский Г. // УФН. - 2009. - T. 179. - Вып. 9. - С. 1018-1027.
Лагарьков А.Н., Кисель В.Н., Сарычев А.К., Семененко В.Н. // ТВТ. - 2010. - Т. 48. - № 6. - С. 1031-1048.
Авербух Б.Б. // Письма в ЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 24. - С. 64-69.
Averbukh B.B. and Averbukh I.B. // Proc SPIE. - 2016. - V. 10176. - P. 1017601-1-1017601-10.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. - М.: Наука, 1980. - 751 с.
Краснок А.Е., Максимов И.С., Денисюк А.И. и др. // УФН. - 2013. - Т. 183. - Вып. 6. - С. 561-589.
Авербух Б.Б., Авербух И.Б. // Изв. вузов. Физика. - 2009. - Т. 52. - № 12. - С. 8-13.
Борн М., Вольф В. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 855 с.
Schwanecke A.S., Fedotov V.A., Khardikov V.V., et al. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2007. - V. 9. - P. L1-L2.