Quantum solutions in relativistic classical mechanics.pdf Введение В работах [1-3] разработано новое направление, основанное на существовании квантовых решений уравнений нерелятивистской классической физики. На этой основе построены теоретические модели экзотических атомов Ньютона - Гука, Максвелла - Багрова, Навье - Стокса, Колмогорова - Бюргерса, Леметра - Фридмана. В случае классической механики и электродинамики существование квантовых решений классической физики обусловлено нестационарностью потенциала и теоремой Эренфеста. При этом соответствующие решения в общем случае не зависят от постоянной Планка, вместо которой в случае уравнения диффузии автоматически возникает ее диффузионный аналог . Разработанные теоретические основы нового научного направления представляют интерес для широкого круга исследователей и могут найти применение в различных областях науки и техники: квантовой биологии, синтетической биологии, медицине, квантовой теории сознания, биологической электронике, квантовом компьютере, природоподобных технологиях, финансовой математике, геометродинамике [4-34]. Квантовые решения фундаментальных уравнений классической физики обладают всеми атрибутами квантовой механики. Разработанный квантовый подход может быть признан решением проблемы существования и гладкости в трехмерном пространстве решения уравнения Навье - Стокса. Уравнения Максвелла имеют квантовое решение, описывающее нестационарное самоподдерживающееся электрическое поле кулоновского типа без создающего его заряда. Если частотный параметр такого решения отождествить с величиной Хаббла, то такое поле может имитировать заряд элементарной частицы, стабильной в течение жизни Вселенной. Естественно ожидать, что и классическое уравнение релятивистской механики может иметь квантовые решения. В этой связи найдем квантовые решения классического уравнения релятивистской механики. Квантовые решения в релятивистской классической механике Разработанный в работах [1-3] подход можно обобщить на релятивистскую механику. Действительно, одномерное уравнение релятивистской механики имеет такой же вид, как и второй закон Ньютона, только вместо нерелятивистского выражения для импульса используется выражение : . Это уравнение можно представить в эквивалентном интегродифференциальном виде , (1) где ; очевидно, при функция . Тогда для силы уравнение (1) можно представить в виде безразмерного уравнения на собственные значения . (2) Здесь безразмерный оператор - безразмерная функция; - безразмерная величина, которая в зависимости от физической задачи может быть связана с поверхностной плотностью , объемной плотностью энергии , с энтропией , либо с энергией: где - квант поверхностной плотности энергии, - квант объемной плотности энергии, - квант энергии, - диффузионный аналог постоянной Планка, - коэффициент диффузии, - квант энтропии, который можно отождествить с постоянной Больцмана, . Уравнение (2) имеет множество квантовых решений, так как для каждой соответствующей функции существует свое квантовое решение уравнения (2). В отличие от уравнения квантовой механики классическое уравнение (2) в общем случае не зависит от постоянной Планка, так что и решение уравнения (2) не зависит от постоянной Планка . Поэтому в данном теоретическом исследовании принцип соответствия квантовой механики не имеет смысла. Например, для потенциальной функции решение уравнения (2) и условие квантования имеют известный вид , где , - полином Эрмита; - константа интегрирования, имеющая размерность протяженности в пространстве. Обоснованием существования квантового решения классического уравнения (2) может служить теорема Эренфеста. Действительно, уравнение (2) можно представить в форме уравнения Ньютона , где . Тогда существование квантового решения уравнения (2) оказывается теоретически обусловленным тем, что в сечении пространственно-временной поверхности потенциальной энергии произвольной плоскостью потенциал является гармоническим относительно пространственной переменной: . По теореме Эренфеста для гармонического относительно пространственной переменной одномерного осциллятора квантовое уравнение движения Гейзенберга для величины, усредненной по начальному состоянию, тождественно уравнению Ньютона. Из решения с учетом , нетрудно найти траекторную функцию и волновую функцию : где - эффективная скорость. Константа может быть найдена из условия нормировки . Например, при эффективная скорость . Здесь - энергия на единицу площади в плоскости, перпендикулярной направлению движения частицы; - квант поверхностной плотности энергии. Естественно, при траекторная и волновая функции совпадают с нерелятивистскими выражениями , , где волновую функцию дискретного спектра можно записать в представлении Фока: , оператор переводит состояние с номером в состояние с номером : ; - волновая функция, характеризующая состояние с минимальной энергией; . Для необычного ангармонического по временной переменной потенциала уравнение (1) в безразмерных переменных сводится к уравнению (3) где , , - квант энергии. Для массивных частиц , а для безмассовых частиц . Делая замену переменной , из (3) найдем . (4) Решение уравнения будем искать в виде . Тогда для определения функции получим уравнение . (5) Решение и условие квантования уравнения (5) имеют вид [16] , . Здесь - обобщенный многочлен Лагерра порядка , . Таким образом, для функции окончательно имеем . (6) Аналог решения (6) возникает в сверхпространстве-времени в квантовой геометродинамике и описывает первоатом Леметра - Фридмана [16], который является фундаментальной основой атомной модели квантовой теории гравитации и «Большого взрыва». Здесь - величина Хаббла, - плотность потенциальной энергии вакуумно-подобного скалярного поля. Для силы уравнение (1) на функцию принимает вид . Здесь , . Вводя новую переменную , получим уравнение . Тогда решение уравнения (1) имеет известный вид , где - обобщенный многочлен Лагерра порядка ; - константа интегрирования; - нормировочный множитель функции , который находится из условия . Условие квантования определяется равенством , которое при , подобно условию квантования энергии частицы в кулоновском потенциале , где диффузионный аналог радиуса Бора , - радиус Бора. При величина , так что энергия квантов в таком случае больше, чем для обычного кулоновского потенциала. В классической релятивистской механике возможны и спиновые эффекты. Например, для силы уравнение (1) становится матричным: , где ; - единичная матрица; - константа; . Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных уравнений: Функции могут описывать два возможных состояния собственного момента: . Первое состояние соответствует случаю, когда спин направлен по оси z, второе - случаю, когда спин направлен против оси z. Математическая модель со спином может соответствовать частице в однородном магнитном поле, направленном по оси z . При этом , константа , где - напряженность магнитного поля, - величина собственного магнитного момента частицы. Заключение Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что существуют различные квантовые решения классического уравнения релятивистской механики. В случае классической механики и электродинамики существование квантовых решений классического уравнения обусловлено нестационарностью силы соответствующего типа и теоремой Эренфеста. Это означает, что если «потенциальная» функция не зависит от времени, то уравнения классической механики и электродинамики не имеют квантовых решений. В случае уравнения диффузии существование квантовых решений обусловлено стационарным по временной переменной коэффициентом поглощения, зависящим от пространственной переменной. Квантовые решения в общем случае не зависят от постоянной Планка, которую можно использовать в величине для безмассовых частиц. При этом постоянная Планка не играет той принципиальной роли, которую она играет в квантовой физике.

Скачать электронную версию публикации