Research on a complete model of cosmological evolution a classical scalar field with a Higgs potential. II. Numerical si.pdf 1. Динамическая система и замечания к задаче Коши В первой части работы [1] были сформулированы основные математические соотношения космологической модели, основанной на классическом скалярном Хиггсовом поле. Это, во-первых, - нормальная автономная система дифференциальных уравнений ; (1) ; (2) , (3) где производные берутся по времени в комптоновских единицах; ; остальные обозначения см. в [1]. Во-вторых, это - уравнение гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса, являющееся, по сути, с одной стороны, уравнением Эйнштейна , с другой стороны - первым интегралом динамической системы (1) - (3): (4) В третьих, это - соотношения для физических характеристик космологической модели: инвариантного космологического ускорения (5) инвариантной кривизны пространства Фридмана , (6) эффективной энергии динамической системы . (7) Наконец, в-четвертых, это - некоторые дифференциальные соотношения между динамическими переменными, являющиеся следствием полной системы уравнений Эйнштейна и скалярного поля Хиггса, в частности эквивалентная форма уравнения (5) , (8) согласно которому в космологической модели с классическим скалярным полем Хиггса постоянная Хаббла не может возрастать со временем. Переходя к численному моделированию исследуемой динамической системы, отметим, во-первых, что некоторые существенные особенности поведения этой системы уже были выявлены на основе численного моделирования в работе [2]. Следуя этой работе, динамическую систему (1) - (3) будем определять упорядоченным списком трех безразмерных параметров и упорядоченным списком начальных условий , где , причем значению соответствует фаза расширения в начальный момент времени , значению - фаза сжатия в этот момент времени. Согласно сказанному выше, начальное значение постоянной Хаббла определяется уравнением Эйнштейна (4), из которого имеем (9) В-вторых, заметим [2], что динамическая система (1) - (3) является автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, явно не зависящих от временной переменной, вследствие чего инвариантна по отношению к трансляции . Поэтому в качестве начального момента времени при формировании начальных условий может быть выбрано любое значение . Мы положим это значение равным нулю. При этом мы вправе рассматривать и состояния динамической системы при отрицательных временах . 2. Результаты численного моделирования 2.1. Параметры динамической системы P=[1,1,0.3] На рис. 1 показана карта особых точек данной динамической системы. Здесь и далее сплошным черным кружком изображены притягивающие фокусы (af), звездочкой - отталкивающие фокусы (rf), диагональным крестом - седловые точки (sd). На рис. 2 изображена поверхность Эйнштейна - Хиггса для этого набора параметров. Рис. 1. Карта особых точек динамической систе¬мы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.3] Рис. 2. Гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса динамической системы (1) - (3) для парамет¬ров P = [1, 1, 0.3] Таким образом, в данном случае имеются все шесть особых точек: [[0, -0.3162277660], af], [[0, 0.3162277660], rf], [[-1, -0.4281744192], sd], [[1, -0.4281744192], sd], [[-1, 0.4281744192], sd], [[1, 0.4281744192], sd], из которых два фокуса - притягивающий (внизу) и отталкивающий (вверху) и четыре седловые точки (по углам). Согласно классификации гиперповерхностей Эйнштейна - Хиггса (см. работу [1]), в данном случае гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса представляет деформированный однополостный гиперболоид с главной осью OZ. Таким образом, топология гиперповерхности Эйнштейна допускает скатывание фазовых траекторий с верхней части поверхности в нижнюю. На рис. 3 и 4 показаны зависимость для различных начальных условий (рис. 3) и фазовые траектории динамической системы в плоскости на фоне карты особых точек и сечения гиперпо¬верхности Эйнштейна - Хиггса (рис. 4). Рис. 3. Эволюция постоянной Хаббла динами¬ческой системы (1) - (3) для параметров P = = [1, 1, 0.3] Рис. 4. Фазовые траектории динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.3] в плоскости Наконец, на рис. 5 приведены фазовые траектории данной динамической системы, наложенные на ее гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса, а на рис. 6 - эволюция инвариантного уско- рения. Рис. 5. Фазовые траектории динамической сис¬темы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.3] на гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса Рис. 6. Инвариантное ускорение динамической системы (1) - (3) для параметров P = [1, 1, 0.3] и начальных условий I = [-1, 0.1, 1] - сплош¬ная кривая; I = [ -1.25, 0.1, 1] - пунктирная, I = = [-1.25, 0.1, -1] - точечно-пунктирная 2.2 Параметры динамической системы P=[-1, -1, 0.1] На рис. 7 показана карта особых точек данной динамической системы. На рис. 8 изображена поверхность Эйнштейна - Хиггса для этого набора параметров. Рис. 7. Карта особых точек динамической систе¬мы (1) - (3) для параметров P = [-1, -1, 0.1] Рис. 8. Поверхность Эйнштейна - Хиггса дина¬мической системы (1) - (3) для параметров P = = [-1, -1, 0.1] Таким образом, в данном случае имеются всего две особые точки: [[0, -0.1825741858], rf] и [[0, 0.1825741858], af], одна из которых - притягивающий (внизу) и отталкивающий (вверху) центры. Гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса представляет деформированный однополостный гиперболоид с главной осью Oh. Таким образом, топология гиперповерхности Эйнштейна допускает скатывание фазовых траекторий с верхней части поверхности в нижнюю. На рис. 9 и 10 показаны зависимость для различных начальных условий (рис. 9) и фазовые траектории динамической системы в плоскости на фоне карты особых точек и сечения гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса (рис. 10). Наконец, на рис. 11 приведены фазовые траектории данной динамической системы, наложенные на ее гиперповерхность Эйнштейна - Хиггса, а на рис. 12 - эволюция инвариантного ускорения. Рис. 9. Эволюция постоянной Хаббла динами-ческой системы (1) - (3) для параметров P = = [-1, -1, 0.1] Рис. 10. Фазовые траектории динамической сис¬темы (1) - (3) для параметров P = [-1, -1, 0.1] в плоскости на фоне карты особых точек Рис. 11. Фазовые траектории динамической сис¬темы (1) - (3) для параметров P = [-1, -1, 0.1] на гиперповерхности Эйнштейна - Хиггса Рис. 12. Инвариантное ускорение динамичес- ¬кой системы (1) - (3) для параметров P = = [-1, -1, 0.1] и начальных условий I = [-1, 0.1, 1] Заключение В заключении перечислим основные результаты работы. 1. Космологические модели с классическим Хиггсовым полем в широком диапазоне фундаментальных параметров и начальных условий обнаруживают тенденцию переходить из режима расширения ( ) в режим сжатия ( ). 2. При этом имеются два режима скатывания в зависимости от геометрии гиперповерхности Эйнштейна, точнее говоря, от направления ее главной оси. 3. Обычно используемые в стандартной космологии постоянные решения соответствуют устойчивым особым точкам (притягивающим фокусам). Однако при небольшом конечном отклонении от особой точки решение скатывается к неограниченному сжатию. 4. Таким образом, можно констатировать, что решения, используемые в стандартных сценариях, составляют малый, по сравнению с общим, фазовый поток, т.е. вероятность таких решений мала.

Скачать электронную версию публикации