New approach to calculating a double coaxial resonator with a shortening capacitance.pdf Коаксиальный резонатор с «укорачивающей» емкостью (КРУЕ) относится к классу квазистационарных резонаторов (рис. 1, а). Его другое название - тороидальный резонатор. В диапазоне дециметровых волн он обладает компактными размерами в сравнении с полыми объемными резонаторами и находит широкое применение, в частности в диэлектрических измерениях [1, 2]. КРУЕ называется одинарным, если его емкостный («укорачивающий») зазор располагается между плоской металлической торцевой поверхностью резонатора и торцом центрального электрода (рис. 1, б). В двойном КРУЕ зазор находится в разрыве центрального электрода (рис. 1, а) [3]. В экспериментальных задачах с использованием КРУЕ необходим расчет его резонансной частоты и других характеристик с оценкой точности расчетной модели. При расчете в квазистационарном приближении зазор в КРУЕ рассматривается как конденсатор [3]. Такой подход обладает простотой, но не дает необходимой точности для применения КРУЕ в измерительных целях. В более строгом электродинамическом подходе - методе частичных областей (ЧО) - резонансный объем разбивается на подобласти. Поле в ЧО описывается спектром собственных мод с выполнением граничных условий на проводящих стенках резонатора и на введенных границах ЧО. Данный подход развивался в работах [1, 4-7] и др. Ряд исследований выполнен численными методами [8, 9]. Общей для точных электродинамических моделей КРУЕ в различных подходах является необходимость представления поля большим количеством собственных мод, что приводит к определителю матрицы большой размерности. Выявление и привлечение дополнительных физических условий на поведение поля в резонаторе, в частности в области зазора, может конкретизировать вид собственных функций и ограничить их набор без ущерба для точности. Оценка точности модели КРУЕ требует точных внутренних размеров реального резонатора. Наиболее сильно на резонансную частоту влияет высота укорачивающего зазора. Ее точное измерение внутри собранного резонатора представляет отдельную задачу. В данной работе рассматривается новый подход к расчету резонансной частоты двойного КРУЕ (рис. 1, а) путем сведения его к двум одинарным (рис. 1, б) с различными укорачивающими зазорами при одинаковой резонансной частоте, равной частоте двойного КРУЕ, и суммарной высоте зазоров одинарных резонаторов, равной высоте зазора в двойном КРУЕ. В расчете используется метод ЧО. Проведено измерение размеров экспериментального двойного КРУЕ, включая укорачивающий зазор, и сопоставление расчетной и экспериментальной резонансных частот. Квазистационарное приближение на первом этапе расчетов может значительно уменьшить объем вычислений и число итераций при расчете КРУЕ. Представим в этом приближении в координатах двойной КРУЕ в виде двух одинарных (рис. 1). Закороченные на одном конце и разомкнутые на другом конце отрезки коаксиальных линий длиной и с модой ТЕМ разделены зазором выстой . В приближении идеальной проводимости стенок резонатора входные сопротивления нижней и верхней коаксиальных частей резонатора в плоскостях и будут соответственно , , где - волновое сопротивление коаксиальных частей резонатора; , - радиусы центрального электрода и корпуса; - волновое число; - длина ТЕМ-волны; - частота; , - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в резонаторе. Далее полагаем среду немагнитной ( , ). Рис. 1. Двойной КРУЕ (а) и его представление в виде двух одинарных КРУЕ (б) При , менее входное сопротивление коаксиалов индуктивное. Коаксиальные части резонатора соединены через зазор высотой с емкостным сопротивлением , где - полная емкость области зазора, включая так называемую «боковую» емкость. Резонансная частота определяется условием = 0, которое дает . (1) На низшей ТЕМ-моде поле в коаксиальных частях находится в противофазе и в поперечном сечении резонатора в области зазора при некотором ( ) имеется плоскость - «электрическая» стенка - с радиальной компонентой электрического поля на всей плоскости при (рис. 1). Это граничное условие на «виртуальной» поверхности позволяет разделить двойной КРУЕ с низшей ТЕМ-модой на два одинарных. Условие конкретизирует зависимость поля от координаты и ограничивает вид функций, пригодных для представления поля. Для основной ТЕМ-моды зазор в исходном двойном резонаторе можно представить в виде двух последовательно соединенных емкостей - зазоров в каждом из одинарных резонаторов. Для их общей емкости имеет место соотношение , (2) где , - емкости зазоров высотой , , включая «боковые» емкости. Величины зазоров , определяются равенством резонансных частот двух одинарных КРУЕ между собой и частоте исходного двойного КРУЕ. Подстановка (2) в (1) с учетом условия на «электрической» стенке приводит к уравнениям (3) для двух одинарных КРУЕ. Система уравнений (3) дает общую для одинарных КРУЕ резонансную частоту и величину зазора , а также . Емкости включают кроме емкостей плоских конденсаторов также «боковые» емкости [3] . (4) Электродинамический расчет резонансной частоты двойного КРУЕ проведем методом ЧО. Вначале рассмотрим одинарный КРУЕ с коаксиальной частью длиной , и соответствующей высотой зазора , . Частоты одинарных КРУЕ монотонно возрастают с ростом зазоров, при этом росту соответствует убывание . При изменении частоты нижнего и верхнего одинарных КРУЕ , будут меняться противоположным образом и совпадут при некотором зазоре . Точка даст значение резонансной частоты двойного КРУЕ и величину , т.е. положение стенки . Высота зазора в двойном реальном КРУЕ должна быть найдена из отдельных измерений. Таким образом, расчет двойного КРУЕ сводится к расчету по одной и той же программе двух одинарных КРУЕ с различной длиной коаксиальной части и величиной зазора. Собственные функции для представления поля должны удовлетворять граничному условию на проводящих стенках резонатора и условию на плоскости разбиения , положение которой находится в процессе решения задачи. Рассмотрим для определенности нижнюю часть двойного КРУЕ - одинарный КРУЕ с высотой центрального электрода и высотой зазора (см. рис. 1. б). Будем использовать представление электромагнитного поля одинарного КРУЕ аналогичное работе [4]. В силу независимости поля от азимутального угла функции для представления поля должны зависеть только от координат . Разделим плоскостью одинарный КРУЕ на две ЧО: волноводную 1 и коаксиальную 2 (рис. 1, б). Поле в волноводной области 1 при , представим спектром волн . Для практически используемых резонаторов резонансная частота основной ТЕМ-моды ниже критических частот волноводных мод , т.е. волноводная область 1 на резонансной частоте является для них закритическим волноводом. Компоненты поля в области 1 выразятся функциями ; (5) ; (6) , (7) где - амплитуды; , - поперечное и продольное волновые числа в области 1, ; , - функции Бесселя нулевого и первого порядка. Граничное условие дает из (5) уравнение , корни которого определяют значения поперечных волновых чисел . Функции в (5) - (7) удовлетворяют введенному граничному условию при . В двойном КРУЕ без этого условия зависимости от в каждом из выражений (5) - (7) должны содержать четные и нечетные функции. Поле в коаксиальной области 2 представим суммой ТЕМ-моды и спектра высших волноводных -мод коаксиальной линии ; (8) ; (9) , (10) где , - амплитуды; , - поперечное и продольное волновые числа в области 2; , , , , - функции Неймана нулевого и первого порядка. Граничное условие из (8) дает для уравнение . Количество собственных волн при расчете КРУЕ должно быть ограничено. Возьмем собственных волн для волноводной ЧО 1 и собственных волн (кроме ТЕМ-волны) для коаксиальной ЧО 2. При касательные компоненты поля в ЧО 1, 2 должны быть непрерывны: , , что дает из (6), (7), (9), (10) уравнения ; (11) . (12) Умножим уравнение (11) на ( ) и проинтегрируем по в пределах . Уравнение (12) умножим на функцию , соответствующую волне ТЕМ, и проинтегрируем по в пределах . Далее умножим уравнение (12) на ( ) и проинтегрируем по в пределах . После интегрирования получим из (11) Q однородных линейных уравнений, из (12) - 1+S линейных однородных уравнений. Таким образом, уравнения (11), (12) приводят к системе из M = Q+1+S линейных однородных уравнений относительно амплитуд , , мод, используемых для представления поля в ЧО 1, 2 одинарного КРУЕ. Обозначим , тогда элементы главной матрицы системы будут иметь вид , ; , , ; , , ; , , ; , , ; , , и , ; , , ; , . Определитель матрицы является функцией частоты и обращается в нуль на резонансной частоте. Для расчета двойного КРУЕ необходимо найти по одной и той же программе резонансные частоты , (нули определителей) одинарных КРУЕ и величину , при которой . Начальными приближениями служат результаты квазистационарного расчета. Вопрос о точности модели КРУЕ неотделим от точности исходных данных - внутренних размеров реального КРУЕ, в частности величины зазора , наиболее сильно влияющего на резонансную частоту. Диаметр и длины , цилиндров-электродов точно измерены с помощью микрометра в разобранном резонаторе и неизменны после его сборки. Измерение внутреннего диаметра цилиндрического корпуса проводилось по спектру резонансных частот объемного резонатора - исходного КРУЕ без центральных электродов [10]. Наиболее сложным и критичным является прямое измерение высоты зазора между электродами в собранном резонаторе. Отдельное измерение , , в разобранном резонаторе и расчет для собранной конструкции не дают необходимой точности. В экспериментальном образце КРУЕ в собранном состоянии возможны опускание верхнего электрода до упора в нижний ( ), его подъем с измерением перемещения и фиксация в верхнем положении. Измерение зазора проводилось электронным измерителем перемещения с разрешением 1 мкм. Размеры двойного КРУЕ приведены в табл. 1. Таблица 1 Размеры двойного КРУЕ, мм 152.167 38.029 25.520 39.391 2.159 67.070 Сходимость расчетной резонансной частоты одинарного КРУЕ исследована при неизменном числе волн = 60 в ЧО 2 с ростом числа волн в ЧО 1 (рис. 2, а) и при числе волн = 60 в ЧО 1 с ростом числа волн в ЧО 2 ( рис. 2, б). Рис. 2. Зависимость резонансной частоты от числа волн в волноводной области 1 (a) и от числа волн в коаксиальной области (б) Результаты расчета резонансных частот одинарных резонаторов , и отклонения при изменении высоты зазора приведены в табл. 2. В табл. 3 представлены экспериментальная резонансная частота, результаты квазистационарного расчета и методом ЧО. Таблица 2 Зависимость расчетных частот , одинарных КРУЕ от зазора ( ) , мм 0.790976 0.790977 0.790978 0.790979 0.790980 , ГГц 0.4667079 0.4667081 0.4667084 0.4667086 0.4667088 , ГГц 0.4667086 0.4667085 0.4667083 0.4667082 0.4667081 , кГц -0.7 -0.4 0.1 0.4 0.7 Таблица 3 Экспериментальная резонансная частота и расчетные , , , ГГц Модель , ГГц , % , мм , мм 0.467648 Квазистационарная 0.495473 5.9 0.801 1.358 Многоволноводная с ЧО 0.466708 0.2 0.79098 1.36802 Из табл. 2 и 3 видно, что существует точка равенства частот одинарных КРУЕ с различными , и зазорами , как в квазистационарном приближении, так и при электродинамическом анализе. Крутизна резонансной частоты составляет 225 МГц/мм. Это соответствует относительному сдвигу частоты 0.05% и показывает важность точного измерения величины зазора для оценки реальной точности расчетной модели. Расхождение расчетной и экспериментальной частот = 0.2% определяется в основном погрешностью . Рассмотренный подход в применении к двойному КРУЕ с диэлектрическим образцом позволит повысить точность измерений диэлектрических параметров до технических ограничений на точность размеров образца и его установки в резонаторе. Уменьшение количества собственных мод без потери точности связано с привлечением мод непрерывного спектра в области зазора.

Скачать электронную версию публикации