About rms amplitude of zero oscillations of atoms in crystal.pdf Введение Известно, что атомы в кристалле совершают беспрерывные тепловые колебания около идеального равновесного положения в узлах кристаллической решетки. Экспериментально показано, что амплитуда этих колебаний в среднем составляет 5-7% от периода кристаллической решетки. С увеличением температуры кристалла увеличиваются и эти величины и при определенных температурах доходят до таких значений, что наблюдается процесс плавления. При понижении температуры амплитуда тепловых колебаний атомов уменьшается. Кажется, что при температуре абсолютного нуля (Т = 0 К) тепловые колебания атомов около точки равновесия должны прекратиться и амплитуда тепловых колебаний должна была бы равняться нулю. Однако многочисленые теоретические и экспериментальные работы указывают на то, что колебания атомов в кристалле при Т = 0 К не прекращаются [1]. Эти колебания не имеют отношения к температуре и поэтому называются нулевыми колебаниями. Амплитуда нулевых колебаний гораздо меньше, чем межатомное расстояние в решетке. Поэтому она не несет и не передает энергию. Колебание определяется квантовой природой атомов, объясняемой принципом неопределенности квантовой физики, согласно которой хрх  . Из этого соотношения получается, что точное определение координаты колеблющегося атома в пространстве, например, как х = 0, вызывает большую неопределенность в его импульсе и соответственно в его кинетической энергии. Покоящийся атом с рх = 0 также приводит к бесконечному росту его координаты. Следовательно, энергия нулевых колебаний представляет собой минимальные значения энергии и координаты, которые может иметь атом. Соответственно атомы в кристалле при температуре Т = 0 К колеблются с нулевой частотой, соответствующей нулевой энергии [2]. Нулевые колебания атомов как реальный процес в кристалле сказываются на многих его свойствах [3-6]. В частности, в работе [5] показано, что в основе уникальных явлений сверхпроводимости и сверхтекучести лежит обтекание упорядоченных нулевых колебаний. Поскольку нулевые колебания совершаются в определенной среде, имеющей определенные силовые характеристики, то энергия и соответственно амплитуда нулевых колебаний атомов должны быть различными для разных кристаллов и должны зависеть от энергетических характеристик их решетки. Однако работ, посвященных данному вопросу, нам не встречалиось. Кроме того, известно, что свойства элементов периодической системы Менделеева имеют зависимость от порядкового номера элементов. Представляет интерес установить такую зависимость и для среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний атомов в элементах периодической системы Менделеева. Установление связи между амплитудой, а также энергией нулевых колебаний и микроскопическими параметрами кристалла могло бы дать дополнительный параметр для понимания механизма влияния нулевых колебаний на свойства вещества. Поэтому ответы на рассматриваемые вопросы имеют практическое значение. В то же время выяснение этих вопросов представляет научную ценность для расширения понятия природы нулевых колебаний атомов в твердых телах. Цель настоящей работы - нахождение связи между среднеквадратичной амплитудой нулевых колебаний атомов и силовыми характеристиками кристаллической решетки элементов и установление ее зависимости от порядкового номера элементов в периодической таблице Менделеева. Материалы и методика эксперимента Для расчета среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний атомов в элементах использовали основные положения теории рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтронов реальными кристаллами [7, 8] и наиболее достоверные значения температуры Дебая элементов, приведенные в литературе [9-11]. В настоящее время теория и техника дифракции рентгеновских лучей и тепловых нейтронов в кристалле достаточно развиты и достоверно показано, что между амплитудой тепловых колебаний атомов и температурой Дебая имеется следующая связь [7, 8]: . (1) Здесь - температура Дебая; - среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов в кристалле; = h/2, h - постоянная Планка; k - постоянная Больцмана; m - масса атома в кристалле; х = /Т - отношение температуры Дебая к температуре измерения Т, К; слагаемое 1/4 обусловлено колебаниями атомов при абсолютном нуле температуры; Ф(х) - протабулированная функция Дебая, которая зависит от спектра частот тепловых колебаний атомов и определяется следующим образом: Ф(х) = , (2) где  = , ω - частота колебаний. Температура Дебая (в К) элементов таблицы Менделеева [9-11] Группы № I a II a III a IV a V a VI a VII a VIII a I b II b III b IV b V b VI b VII b VIII b I H He II Li 366 Be 1060 B 1150 C 1873 N O F Ne 75 III Na 164 Mg 386 Al 428 Si 645 P S 180 Cl Ar 82 IV K 96 Ca 230 Sc 231 Ti 410 V 339 Cr 357 Mn 450 Fe 478 Co 454 Ni 450 Cu 345 Zn 313 Ga 333 Ge 406 As 285 Se 89 Br Kr 72 V Rb 55 Sr 129 Y 235 Zr 300 Nb 276 Mo 380 Tc Ru 580 Rh 450 Pd 264 Ag 225 Cd 190 In 109 Sn 170 Sb 193 Te 129 I Xe VI Cs 39 Ba 96 La 135 Hf 178 Ta 240 W 380 Re 415 Os 500 Ir 425 Pt 210 Au 162 Hg 357 Tl 79.6 Pb 92 Bi 117 Po At Rn VII Fr Ra Ac Как видно из выражения (1), среднеквадратичная амплитуда атомов в кристалле связана с температурой Дебая. Для расчета среднеквадратичной амплитуды атомов в элементах по формуле (1) мы использовали значения температуры Дебая, в основном представленные в [9], которые являются самыми достоверными и весьма близкими данным, приведенным в [10, 11]. Отсутствующие в [9] значения брали из [10, 11] (таблица). При выборе данных по температуре Дебая θ использовали правило нелинейного уменьшения температуры Дебая в группах элементов с увеличением атомного номера Z [9]. Интересно, что это правило выполняется без исключения для всех элементов в каждой группе независимо от различия их кристаллической структуры. Например, элементы III b группы таблицы Менделеева B, Al, Ga, Tl имеют кубическую, ромбическую, тетрагональную и гексагональную кристаллическую структуры соответственно [11]. Тем не менее для этой группы тоже наблюдается нелинейное плавное уменьшение температуры Дебая [9]. Это свидетельствует о том, что в энергиях связи элементов доминирующую роль играет внешняя электронная конфигурация, которая определяется порядковым номером элементов. Результаты исследований и их обсуждение Согласно формуле (1), среднеквадратичная амплитуда атомов в кристалле определяется следующим образом: . (3) Вычислим Ф(х) функцию при температуре абсолютного нуля Т = 0 К. При Т= 0 К интеграл в выражении (2) имеет вид Ф(х) = . (4) Если учесть, что, согласно работе [12], интеграл = , то из выражения (4) при условии Т = 0 получим следующее равенство: Ф(х) = = = 0. (5) Согласно условию (5) и выражению (1), при Т = 0 К для температуры Дебая получим выражение (6) где θ0 и - температура Дебая и среднеквадратичное смещение атомов в кристалле соответственно при температуре Т = 0 К. Из выражения (6) видно, что температура Дебая при температуре Т = 0 К будет определяться среднеквадратичным смещением атома (квадратом среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний атома ) и массой атома. Это означает, что при температуре Т = 0 К температура Дебая 0 от функции Дебая, т.е. от фононного спектра кристалла, не зависит, а зависит только от массы атома и от среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний атомов, что является вполне логичным. Из формулы (6) следует = . (7) Для вычисления по формуле (7) удобно выразить массу m через атомный вес А: m = А1.673710-27 кг, где 1.673710-27 кг - средняя масса протона и нейтрона. В работе [13] на основе анализа литературных данных [1, 2, 14-17] и основных положений теорий рассеяния рентгеновских лучей [7] и тепловых нейтронов [8] показано, что температура Дебая при низких температурах непостоянна и между температурами Дебая при умеренных θ и криогенных температурах θ0 имеется следующая связь: θ0 = . (8) Отметим, что такое приближение верно только в том случае, если нет фазовых переходов ниже температуры Дебая Т < . Учитывая выражение (8), формулу (7) можно записать в следующем виде: . (9) Таким образом, среднеквадратичное смещение (среднеквадратичную амплитуду) нулевых колебаний атома в кристалле можно оценить через температуру Дебая θ, которую легко определить в обычных экспериментальных условиях. Известно, все свойства элементов периодической системы Менделеева имеют периодическую зависимость от атомного номера, т.е. от конфигурации внешних электронов [8]. Представляет интерес установить зависимость среднеквадратичной амплитуды от атомного номера элементов периодической системы Менделеева. Прежде чем приступить к этой процедуре, имеет смысл установить зависимость среднеквадратичной амплитуды атомов в элементах периодической системы Менделеева при комнатной температуре для сравнения со среднеквадратичной амплитудой атомов в элементах при Т = 0 К. Эти величины мы рассчитывали по формулам (3) и (9) и построили соответствующие графики, которые представлены на рис. 1. Как видно из рис. 1, среднеквадратичная амплитуда тепловых и нулевых колебаний атомов в элементах имеет периодическую зависимость от порядкового номера элементов в периодической системе Менделеева. Рис. 1. Зависимость среднеквадратичной амплитуды тепловых (Т = 300 К, штриховая кривая) и нулевых колебаний (Т = 0 К, сплошная кривая) атомов в элементах периодической системы Менделеева от порядкового номера Теперь определим конкретный вид зависимости среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний от силовых параметров кристалла. Выражение для среднеквадратичной амплитуды нулевых колебаний атомов (7) запишем в следующем виде: = (10) Известное соотношение для коэффициента квазиупругой силы атома f = [7] перепишем для условия температуры абсолютного нуля и в результате имеем (11) Если учесть соотношение (10), тогда из выражения (7) получим уравнение = =  . (12) Таким образом, среднеквадратичная амплитуда нулевых колебаний атомов в кристалле обратно пропорциональна квадратному корню произведения массы и коэффициента квазиупругой силы между атомами при температуре Т = 0 К, т.е. чем больше масса и коэффициент квазиупругой силы, тем меньше амплитуда нулевых колебаний. Можно также легко определить: от каких параметров решетки зависит энергия нулевых колебаний атомов в ней. Для того чтобы осуществлялось нулевое колебание атомов в решетке, его энергия 0 должна быть равна энергии квазиупругой силы между атомами кв: 0 = кв. Так как 0 > кв, то решетка перестанет существовать. К примеру, можно привести гелий, который в обычных условиях остается жидким при сколь угодно низких температурах. Для его кристаллизации необходимо приложить давление. Условие 0 < кв противоречит принципу неопределенности квантовой механики. Согласно условию 0 = кв, получим следующее выражение: 0 = h0 = кв, = = , (13) где А - амплитуда нулевого колебания, которая определяется как А = [1]. Учитывая это равенство, выражение (13) запишем как 0 = , которое, согласно (12), приобретает вид 0 = . Отсюда видно, что энергия нулевого колебания атома определяется квадратным корнем половины величины коэффициента квазиупругой силы. Выводы Установлено, что среднеквадратичная амплитуда нулевых колебаний атома в кристалле обратно пропорциональна квадратному корню произведения массы атома и коэффициента квазиупругой силы между атомами. Энергия нулевого колебания атома определяется квадратным корнем отношения коэффициента квазиупругой силы к удвоенной массе атома. С учетом анализа положения теорий рассеяния рентгеновских лучей и нейтронов реальными кристаллами и колебания линейного осциллятора получена формула, позволяющая вычислить среднеквадратичную амплитуду нулевых колебаний атомов в кристалле через температуру Дебая, определяемую в обычных экспериментальных условиях (формула (9)). Определено, что среднеквадратичная амплитуда тепловых и нулевых колебаний атомов в элементах, как и многие другие свойства элементов [18], имеет периодическую зависимость от порядкового номера элементов в периодической таблице Менделеева. В элементах с высоким значением температуры Дебая значение среднеквадратичной амплитуды тепловых колебаний атомов при комнатной температуре не сильно отличается от значения амплитуды нулевых колебаний атомов (при Т = 0 К). Это объясняется малым числом возбужденных колебаний в этих кристаллах при комнатной температуре и соответствующим низким значением внутренней энергии кристалла, так как комнатная температуре гораздо ниже, чем их температура Дебая, при которой возбуждается весь спектр тепловых колебаний атомов в кристалле. Таким образом, значения энергии и амплитуды нулевых колебаний атомов в кристалле, обуслов¬ленные принципом неопределенности, зависят от динамических характеристик атомов в крис- талле.

Скачать электронную версию публикации