A multi-scale stiffness fractal model of joint interfaces.pdf Введение Механические соединения широко распространены и играют ключевую роль во многих вопросах, таких, как трение, прилипание, износ, уплотнение, смазка, усталость, теплопередача, динамические характеристики и т.д. Многочисленные исследования показывают, что около 90% статической деформации и большая часть динамической жесткости всего механизма происходят от стыковых поверхностей [1-7]. Теоретически расчет контактной жесткости поверхностей стыков является неотъемлемой частью анализа динамики механизмов и может обеспечить теоретическую основу для повышения точности механизмов путем разумного проектирования и изготовления соответствующей жесткости обработанных поверхностей стыков. Однако контактная жесткость поверхностей соединений не моделируется точно из-за сложных нелинейных характеристик контактной системы. Правильная характеристика рельефа поверхности имеет решающее значение для создания модели поведения контактной деформации. Гринвуд и Уильямсон (Greenwood and Williamson) [8] использовали статистические методы, чтобы предложить математическую модель, при этом высота поверхности микроповыпуклого тела считалась подчиняющейся случайному распределению. Совершенствованием технологии тестирования и методов цифровой обработки сигналов сформировалось три важных параметра: стандартное отклонение высоты поверхности, стандартное отклонение наклона поверхности и кривизна стандартного отклонения. При постоянном улучшении разрешающей способности измерительных приборов топография поверхности обнаруживает значительное самоподобие и отсутствие масштаба в процессе непрерывного усиления. Основными особенностями фрактальной геометрии являются самоподобие и отсутствие масштаба, которые очень хорошо согласуются с характеристиками контура поверхности. В [9] изучено распределение поверхностных микровыпуклых тел и предложена контактная модель WA (Whitehouse and Archard). Что касается модели фрактального контакта, то в 1990-х годах было создано много репрезентативных работ [10, 11]. Используя оптическую интерферометрию и сканирующую туннельную микроскопию, наблюдали фрактальные структуры на различных поверхностях как в миллиметровом, так и в наноразмерном масштабах. В соответствии с фрактальными характеристиками была предложена модель фрактального контакта M-B [10, 11] для двух изотропных шероховатых поверхностей, а случайная высота контура шероховатой поверхности была задана функцией W-M [12-14]. В [15, 16] впервые отмечено, что до предела функции распределения площади поперечного сечения микроконтакта максимальная площадь микроконтакта выпуклого тела примерно равна реальной площади контакта шероховатой поверхности, что не соответствует реальной ситуации. Поэтому авторы этих работ ввели фактор расширения области и получили новую функцию распределения микроконтактов, которая позволила более объективно и точно выразить поведение контакта. Затем в [17] расширили модель фрактального контакта MB (Majumdar and Bhushan) от двумерной модели MB до трехмерной фрактальной модели YK (Yan and Komvopoulos). Тем не менее модель фрактального контакта MB и ее расширенная модель MB имеют проблему: при увеличении нагрузки до определенного диапазона контактное состояние микроповыпуклого тела изменяется с пластического на упругое. В [18] была предпринята попытка решить эту проблему. Было указано, что верхний предел переменной микроповыпуклой формы - это расстояние от пика до впадины волны, в то время как в предыдущих исследованиях расстояние между пиком и впадиной волны непосредственно использовалось в качестве переменной формы, что приводило к противоречию. Кроме того, была предложена модель фрактального контакта ME (Morag and Etsion), которая больше соответствует практике. Была выстроена связка между традиционной статистической моделью и фрактальной моделью на основе модели ME [19], расширяющей модель до полной модели фрактальной контактной поверхности. Это позволило обсудить внутреннюю взаимосвязь между нагрузкой и площадью контакта, которая эффективно разрешила противоречие, существующее в микроповыпуклом контакте модели MB от пластичности до упругости. После изучения шероховатой поверхности сухого трения [19] была создана трехмерная фрактальная модель жесткости и демпфирования [20, 21]. В продолжении модели фрактального контакта MB в [22-24] была предложена нормальная фрактальная жесткость, учитывающая взаимодействие поверхностных выпуклых тел. Для зубчатой динамической системы исследовали с помощью математических и аналитических методов влияние шероховатости поверхности и фрактальной размерности контурной поверхности на динамические характеристики [25]. Поскольку контактные характеристики совместных интерфейсов трудно теоретически точно предсказать, в некоторых подходах их определяют экспериментальными методами. Была разработана модель экспериментального измерения жесткости, основанная на методе контактного резонанса [26]. В работе [27] авторы предположили, что закон совместных параметров может быть получен с помощью экспериментальных данных, а авторы [28] измерили тангенциальную жесткость и демпфирование интерфейсов соединений двумя различными способами. В последние годы многие исследователи [29, 30] получили динамические характеристики совместных интерфейсов с помощью методов виртуального материала. Однако исследования проводились больше с экспериментальной и практической точки зрения, чем с теоретической. Была разработана и исследована многомасштабная модель совместных интерфейсов. Нормальное контактное поведение соединения можно разделить на три этапа: пластический, упругопластический и эластичный. Были установлены законы площади-смещения и силы-смещения в упругопластическом режиме. Переход, который заключается в механизме деформации шероховатости от упругой к пластической, согласуется с классической контактной механикой. Результаты моделирования и расчетов показывают, что существует сложный закон между безразмерной общей реальной площадью и фрактальной размерностью D. Анализ результатов численных расчетов демонстрирует приближенную линейную связь между безразмерной нормальной нагрузкой и ключевыми параметрами. Кроме того, эти ключевые параметры были разделены для многомасштабной модели совместных интерфейсов на две основные категории: фрактальные и межфазные параметры. Теоретические основы Характеристика рельефа поверхности Контактная шероховатая поверхность в широком смысле характеризуется функцией Вейерштрасса - Мандельброта (Weierstrass - Mandelbrot) (W-M) [12-14]. Ян и Комвопулос (Yan and Komvopoulos) [17] описывают профиль шероховатой поверхности с помощью улучшенной функции W-M: , (1) где z(x) - описывающий высоту контура поверхности тригонометрический ряд; x - представляющая боковое расстояние независимая переменная; L - длина образца; D - фрактальная размерность с диапазоном 1 < D < 2; G - параметр фрактальной шероховатости; γ - параметр, представляющий плотность частоты; - случайная фаза; n - индекс частоты, у которого самое низкое значение, соответствующее низкой частоте среза - , а самое высокое - . Они удовлетворяют и , где - длина волны отсечки в зависимости от разрешения измерительного прибора. Из (1) видно, что профиль поверхности представляет собой сумму функций косинуса в серии различных частот. Это означает, что профиль состоит из субминиатюрных неровностей, лежащих поверх более крупных неровностей. Контактная шероховатая поверхность характеризуется фрактальной размерностью D и параметром фрактальной шероховатости G. Когда D близок к единице, профиль является гладким, имеющим более высокую амплитуду для длинноволновых колебаний и более низкую амплитуду для коротковолновых. По мере увеличения D профиль становится более волнистым и неровным. Когда D приближается к двум, профиль становится почти заполняющим пространство и, следовательно, больше похож на плоскую поверхность. Модифицированная функция W-M на уровне n может быть записана как , (2) где - шкала длины шероховатости на уровне n, а . Рис. 1. Геометрия пятна контакта масштаба длины l(n) в модели ME Высота контактной шероховатости на уровне n равна высоте пика этой функции косинуса и может быть представлена в виде . (3) Как показано на рис. 1, плоскость усечения пересекает профиль шероховатости на , высота [5] плоскости усечения над основанием шероховатости может быть выражена так: . (4) Модель MB предполагала, что шероховатость полностью деформирована, а результат интерференции любой контактной шероховатости равен ее полной высоте. Мораг и Эцион (Morag and Etsion) [18] пересмотрели модель MB. Модель ME предполагала, что значение деформации составляет от нуля до полной деформации, т.е. деформация контактных шероховатостей на уровне n может быть получена в форме . (5) Модифицированная функция распределения микроконтактов была дана Вангом и Комвопулосом (Wang and Komvopoulos) [15, 16]: , (6) где обозначает усеченную область микроконтакта с радиусом ; является усеченной областью наибольшего микроконтакта; - удовлетворяющим условию расширением области. Значения приведены в [23]. Анализ контактов В общем случае поверхности контакт идеально представляется как контакт между абсолютно гладкой и шероховатой поверхностями. Эквивалентный модуль Юнга E удовлетворяет условию , где E1, E2, v1 и v2 обозначают модули Юнга и коэффициенты Пуассона двух твердых контактных поверхностей соответственно. Как показано на рис. 1, радиус кривизны шероховатости в масштабе длины может быть упрощен: . Тогда эквивалентная кривизна на уровне n может быть выражена так: . (7) Деформация любой контактной шероховатости может быть упругой, упругопластической или полностью пластической. Критическая интерференция текучести на уровне n, разделяющем упругое и упругопластическое состояния, равна [29] , (8) где H - твердость более мягкого материала, связанная с его пределом текучести , удовлетворяющая условию , а K - коэффициент твердости, связанный с коэффициентом Пуассона v более мягкого материала и удовлетворяющий соотношению [30]. Пластическая критическая интерференция на уровне n, разграничивающая упругопластическое и пластическое состояния с помощью [31], равна , (9) где - давление полностью пластического вдавливания, удовлетворяющее соотношению [31]; - среднее давление для инициирования выхода, удовлетворяющее соотношению [31-34]. Площадь контакта с диаметром основания в его упругой стадии . (10) Из приведенного анализа критическая площадь усеченного микроконтакта текучести на уровне n, которая также отмечает переход режима деформации от упругого к упругопластическому, получена в виде . (11) Пластическая критическая усеченная площадь микроконтакта на уровне n также знаменует переход режима деформации от упругопластической к пластической: . (12) Отношение (11) к (12) дает . (13) Для упругой деформации на уровне n упругая площадь микроконтакта и упругая контактная нагрузка одной степени жесткости могут быть представлены следующим образом [35, 36]: ; (14) . (15) В режиме полной пластической деформации площадь пластического микроконтакта и пластическая контактная нагрузка на уровне n задаются [35-37] как ; (16) . (17) Существует взаимосвязь реальной площади микроконтакта , упругой усеченной области и пластической усеченной области на уровне n [32] соответственно: ; (18) . (19) Многомасштабная контактная модель фрактальной шероховатой поверхности В данном исследовании контактные поверхности моделируются с шероховатостью в нескольких масштабах длины. В созданной модели есть некоторые предположения: 1. В выражении (1) профиль представляет собой сумму функций косинуса при ряде различных частот. z(x) - это ряд косинусов, композиция различных тригонометрических функций. Из-за суперпозиции волн шероховатая поверхность в микроскопической форме фактически накладывается на вершину большего микроповыпуклого тела меньшим микроповыпуклым телом с большей кривизной. 2. В определенном масштабе длины контактная сила и площадь контакта имеют экспоненциальные зависимости в режиме упругопластической деформации. При микроскопическом деформировании шероховатой поверхности микроповыпуклого тела параметры контакта должны непрерывно изменяться, особенно на пути от упругой стадии к пластической. 3. Допущения определили следующие уравнения для нашей контактной модели: ; (20) ; (21) , (22) где - реальная площадь контакта поверхности; - реальная площадь контакта на уровне n; - общая нормальная контактная нагрузка поверхности; - общая нормальная контактная нагрузка на уровне n; - общая нормальная контактная жесткость; - общая нормальная контактная жесткость на уровне n. 4. У реального профиля обработанной поверхности значение фрактальной размерности D не может быть ни слишком малым (менее 1.2), ни слишком большим (более 1.7), а диапазон динамических параметров не может изменяться чрезвычайно сильно. Анализ упругопластической деформации Когда уравнения (14) и (15) рассматриваются вместе, можно вывести следующие формы о площади и силе микроконтакта в упругом режиме: и . По аналогии эти две формы можно также рассмотреть в режиме упругопластической деформации. При переходе от упругости к пластичности выбирается соответствующий экспоненциальный параметр, обеспечивающий ее непрерывность. Площадь микроконтакта и микроконтактная нагрузка контактных шероховатостей в режиме упругопластического деформирования выражаются следующим образом: ; (23) , (24) где b и D - параметры экспоненты. Теоретически площадь микроконтакта и нормальная нагрузка микроконтакта должны непрерывно изменяться при приближении двух различных состояний контакта, (25) Параметры b и D могут быть рассчитаны в соответствии с выражениями (14) - (17) и (23) - (25): , . (26) Критический фрактальный уровень Согласно применяемой модернизированной модели, в каждой шкале длины существуют три стадии деформации: упругая, упругопластическая и полностью пластическая. Переход деформации от упругой к пластической происходит при увеличении контактной нагрузки, что согласуется с классической контактной механикой. Таким образом, выступ упруго деформируется, если площадь усеченного микроконтакта меньше критической площади усеченного микроконтакта на уровне n: . (27) Подставляя (10) и (11) в (27), можно получить следующее соотношение: . (28) Так, . (29) Затем критический уровень упругости определяется как , (30) где выражение (30) обозначает операцию округления значения в фигурных скобках. Аналогично выступ деформируется упруго или упруго-пластически, если усеченная площадь микроконтакта на уровне n удовлетворяет условию . (31) Так, . (32) Мы определили пластический критический уровень как . (33) Все выступы в контакте находятся в состоянии, при котором происходит деформация: - упругая, когда ; - упругая или упругопластическая, когда ; - упругая, упругопластическая или пластическая, когда . Фрактальная модель общей реальной площади контакта В случае площадь упругого контакта равна . (34) Если , то площадь упругого и упругопластического контактов равна ; (35) . (36) Если , то площадь контактов упругого, упругопластического и пластического соответственно: ; (37) ; (38) . (39) Отсюда следует, что общая площадь контакта составляет: - упругого ; (40) - упругопластического ; (41) - пластического . (42) Таким образом, общая площадь контакта равна . (43) Безразмерная общая реальная площадь контакта по всей поверхности соединения и безразмерная наибольшая площадь единичного выступа соответственно могут быть записаны как , , (44) где - общая видимая площадь контакта. Фрактальная модель полной нормальной контактной нагрузки Нормальная сила контакта шероховатости. Контактную нагрузку одного выступа можно записать как - упругую, согласно (7) и (15), ; (45) - упругопластическую, согласно (7) и (24), ; (46) - пластическую можно выразить уравнением (17). Нормальная контактная нагрузка интерфейса соединения. На уровнях упругая контактная нагрузка составляет . (47) На уровнях упругая и упругопластическая нагрузка соответственно: ; (48) . (49) На уровнях упругая, упругопластическая и пластическая нагрузка: ; (50) ; (51) . (52) Таким образом, общая упругая контактная нагрузка на поверхности раздела . (53) Аналогично общая упругопластическая контактная нагрузка равна . (54) Полная пластичная контактная нагрузка . (55) Отсюда общая контактная нагрузка на поверхности раздела . (56) На основе (56) суммарная нормальная контактная нагрузка . (57) Фрактальная модель нормальной жесткости Нормальная жесткость шероховатости. Нормальная жесткость может быть записана для шероховатости, которая деформируется: - упруго (из ур. (45)): ; (58) - упругопластически (из ур. (46)): . (59) Нормальная контактная жесткость стыка. Для разных уровней контактная жесткость равна: - для упругая ; (60) - для упругая и упругопластическая соответственно: , (61) ; (62) - для упругая и упругопластическая соответственно: ; (63) . (64) Отсюда общая нормальная контактная жесткость поверхности соединения составляет: - упругая ; (65) - упругопластическая ; (66) - контакта . (67) На основе (67) безразмерная общая нормальная жесткость по всем стыкам соединений может быть выражена как . (68) Фрактальная модель тангенциальной жесткости Тангенциальная жесткость шероховатости. Известно, что два сферических тела, контактирующие под действием нормальной силы, имеют круглую площадь контакта [29] с радиусом, показанным на рис. 1. При последующем приложении тангенциальной силы к сферическому телу возникнет деформация с частичным скольжением на границе раздела. Тогда соотношение между тангенциальной интерференцией и тангенциальной силой формулируется следующим образом: , (69) где и - нормальная и тангенциальная нагрузки единичного выступа на уровне n соответственно; - коэффициент трения; - эффективные модули сдвига двух твердых контактных поверхностей с модулями сдвига G1 и G2, соответственно, что подразумевает . Из (69) тангенциальная сила может быть выражена как . (70) Для расчета тангенциальной контактной жесткости шероховатости необходимо следующее предположение: сила, действующая на каждый выступ, прямо пропорциональна размеру его контактной площади. В результате нормальная и тангенциальная силы, действующие на один единственный выступ, могут быть выражены так: ; (71) . (72) Тангенциальная жесткость каждого микроконтакта может быть получена в виде . (73) Из (14), (23) и (73) можем получить тангенциальную упругую жесткость и тангенциальную упругопластическую жесткость на уровне n: ; (74) . (75) Полная микроконтактная тангенциальная жесткость. Для разных уровней тангенциальная контактная жесткость равна: - для упругая ; (76) - для упругая и упругопластическая соответственно: , (77) , (78) - для упругая и упругопластическая соответственно: , (79) . (80) Отсюда для общей тангенциальной контактной жесткости поверхности контакта: - упругая ; (81) - упругопластическая . (82) Общая тангенциальная контактная жесткость составляет . (83) Безразмерная полная тангенциальная жесткость всех интерфейсов соединений равна . (84) В результате получена сложная нелинейная зависимость реальной площади контакта, общей нормальной контактной жесткости и общей тангенциальной контактной жесткости поверхностей соединений. Численное моделирование и обсуждение Если прикладывается безразмерная общая нормальная сила , то наибольшая безразмерная площадь одного выступа определяется выражениями (24) и (57). Затем безразмерная общая реальная площадь контакта может быть рассчитана с помощью (44), а безразмерные общие нормальная и тангенциальная жесткости могут быть найдены из (35), (68) и (84). Значения различных параметров приведены в таблице. Влияние этих параметров показано на рис. 2 и 3. Значения параметров расчета Параметры Значения Видимая площадь контакта Aa, м2 0.01 Твердость H, Н/м2 9109 Модули Юнга двух поверхностей E1, E2, Н/м2 206109, 206109 Эквивалентный модуль Юнга E, Н/м2 113109 Модули сдвига двух поверхностей G1, G2, Н/м2 435108, 435108 Эквивалентный модуль сдвига G , Н/м2 128108 Коэффициенты Пуассона 1, 2 0.3, 0.3 Эквивалентные коэффициенты Пуассона  0.3 Фрактальная размерность D 1.2 ~ 1.9 Безразмерный параметр фрактальной шероховатости G* 10-11, 10-12, 10-13 Коэффициент трения μ 0.25 Влияние фрактальных параметров и общей нормальной силы на реальную площадь контакта Рис. 2. Влияние фрактальной размерности на общую реальную площадь, Когда соприкасаются две шероховатые поверхности, тогда реальную площадь контакта определяют два существенных элемента: фрактальные параметры и нормальная нагрузка. Общая реальная площадь контакта , как показано на рис. 2, изменяется с фрактальными размерами D и параметром шероховатости . Как следует из рисунка, реальная площадь контакта по отношению к кажущейся площади составляет лишь небольшую долю. Между тем существует выпуклый нелинейный закон наряду с реальной площадью контакта и фрактальной размерностью D. Площадь по мере роста D сначала будет увеличиваться, а затем уменьшаться и достигнет своего максимума при D = 1.48. На рис. 3 можно наблюдать, что безразмерная общая реальная площадь примерно линейно увеличивается при нормальной нагрузке , когда D = 1.3 или 1.7. Всесторонний анализ рис. 2 и 3 показывает, если или D являются константами, то чем грубее поверхность, тем меньше . Следовательно, для увеличения реальной площади контакта поверхностей эффективным методом является уменьшение шероховатости поверхности. Рис. 3. Влияние общей нормальной нагрузки на общую реальную площадь: D = 1.3 (а) и 1.7 (б) Влияние фрактальных параметров и общей нормальной силы на общую нормальную жесткость Рис. 4. Влияние фрактальной размерности на общую нормальную жесткость, Показано, как фрактальные параметры D и влияют на общую нормальную жесткость при фиксированной безразмерной нормальной нагрузке . Когда D меньше 1.5, происходит быстрый рост, который замедляется, когда значение D превышает 1.5. Влияние общей нормальной нагрузки на общую нормальную жесткость показано на рис. 5. Ясно, что примерно линейно увеличивается с ростом . Из рис. 4 и 5 следует, что для фиксированного или D величина уменьшается вместе с приращением , т.е. чем более гладкая поверхность, тем больше . Таким образом, нормальная жесткость будет повышена, если шероховатость поверхности уменьшится. Рис. 5. Влияние общей нормальной нагрузки на общую нормальную жесткость: D = 1.3 (a) и 1.7 (б) Влияние фрактальных параметров, общей нормальной силы, тангенциальной силы и коэффициента трения на общую тангенциальную жесткость Рис. 6. Влияние фрактальной размерности на общую тангенциальную жесткость: , , μ = 0.25 Тенденция изменения общей тангенциальной жесткости при изменении параметра D от 1.2 до 1.9 показана на рис. 6. Для фиксированных , и μ = 0.25 установлено, что рост жесткости прямо пропорционален значению D. Аналогично соотношению , ключевым моментом является D равное 1.5. Когда D составляет от 1.2 до 1.5, значение быстро повышается, а при дальнейшем увеличении D скорость его роста постепенно замедляется. На рис. 7 представлена взаимосвязь и , которая является приблизительно линейной. Установлено, что изменения в не оказывают существенного влияния на величины , причем незначительно уменьшаются по мере увеличения (рис. 8) для фиксированных и μ = 0.25. Зависимость изменения от коэффициента трения μ показана на рис. 9 для D = 1.3 и 1.7. Для фиксированных и установлено, что изменения μ также не оказывают существенного влияния на величины , причем они незначительно увеличиваются по мере роста . Рис. 7. Влияние общей нормальной нагрузки на общую тангенциальную жесткость: a - D = 1.3, , μ = 0.25; б - D = 1.7, , μ = 0.25 Рис. 8. Влияние общей тангенциальной нагрузки на общую тангенциальную жесткость: a - D = 1.3, , μ = 0.25; б - D = 1.7, , μ = 0.25 Рис. 9. Влияние коэффициента трения на общую тангенциальную жесткость: a - D = 1.3, , ; б - D = 1.7, , Из рис. 6-9 можно сделать вывод, что падает с увеличением . Таким образом, уменьшение шероховатости поверхности эффективно для улучшения тангенциальной жесткости. Заключение В соответствии с предложенной фрактальной моделью и теориями контактной механики была разработана общая многомасштабная контактная модель для анализа нормальной и тангенциальной контактной жесткости поверхности стыка. Проанализированы три фазы деформации, которые содержат упругие, упругопластические и полные пластические деформации контактирующих неровностей. Предложенная модель преодолела недостаток нефизического поведения, существовавший в модели MB: деформация поверхностных неровностей изменилась с упругой на пластическую по мере увеличения нагрузки. По результатам моделирования и расчетов были сделаны следующие основные выводы: 1. Существовала нелинейная связь между безразмерной общей реальной площадью и фрактальной размерностью D. По мере увеличения размерности D величина сначала росла, а затем уменьшалась. 2. Общая реальная площадь подчинялась приблизительно линейной зависимости от общей нормальной нагрузки . Общая нормальная жесткость и тангенциальная жесткость увеличивались с ростом D и . 3. Безразмерная общая тангенциальная нагрузка и коэффициент трения μ также влияли на безразмерную общую тангенциальную жесткость, но влияние было незначительным. 4. Чем меньше шероховатость поверхности раздела, тем меньше общая реальная площадь, и тем больше безразмерная общая нормальная и тангенциальная жесткость. 5. Уменьшение шероховатости поверхности способствовало увеличению реальной площади контакта и повышению жесткости стыков. Фрактальная модель шероховатого контакта без адгезии на основе множественной шероховатости полезна для анализа интерфейса и оптимизации структуры.

Скачать электронную версию публикации