Аналитическое решение уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы | Известия вузов. Физика. 2021. № 7. DOI: 10.17223/00213411/64/7/140

Аналитическое решение уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы

Представлено аналитическое решение для связанных состояний уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для нового предполагаемого комбинированного потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы. Используя развитую схему для аппроксимации и преодоления трудностей, возникающих в случае l ¹ 0 в центробежной части потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, для связанных состояний найдено решение модифицированного уравнения Даффина - Кеммера - Петьо. Получены аналитические выражения для собственного значения энергии и соответствующие радиальные волновые функции для произвольного значения орбитального квантового числа ( l ¹ 0). Собственные функции выражены через гипергеометрические функции. Показано, что уровни энергии и собственные волновые функции очень чувствительны к выборам радиального nr и орбитального l квантовых чисел.

Analytical solution of the Duffin - Kemmer - Petiau equation for the sum of the Manning - Rosen and the Yukawa class pot.pdf Введение Квантовая механика не является уже революционной теорией. За сто лет, прошедших со времени ее возникновения, она стала вполне установившейся областью физики. При этом изучение точно решаемых задач для физических потенциалов до сих пор является важным в физических исследованиях [1, 2]. В настоящее время наблюдается возрождение интереса к решению уравнения Даффина - Кеммера - Петьо (ДKП) и его отношению к некоторым проблемам в ядерной физике и физике элементарных частиц. Недавно релятивистское уравнение первого порядка ДKП было использовано для изучения взаимодействия спина нуль-мезонов с ядрами [3]. Проблема релятивистской частицы с произвольным спином существует уже долгие годы. Релятивистское волновое уравнение первого порядка для произвольного спина было сначала исследовано Лубарниски, Мадхаварао и Бхабха и стало известно как волновое уравнение типа Бхабха. Самые простые особые случаи этого уравнения переходят в уравнения Дирака (спин - 1/2) и Даффина - Кеммера - Петьо (спин 0 и 1) [4]. После существенного успеха уравнения Дирака [5] при релятивистском описании частиц (спин - 1/2) поиск начался для подобных волновых уравнений первого порядка для спина частиц 0 и 1. Большинство ученых физического сообщества, столкнувшись с релятивистскими бозонами со спинами 0 и 1, вспоминают о хорошо известных уравнениях Клейна - Фока - Гордона (КФГ) и Прока. Известно что, уравнения Клейна - Фока - Гордона весьма эффективно описывают бесспиновые скалярные и псевдоскалярные частицы, составные частицы, такие, как -мезон, бозон Хиггса и т.д., а уравнение Прока - векторные частицы со спином равным 1. Отметим, что эти уравнения являются уравнениям второго порядка. Очень удачный аналог этих уравнений был введен Даффином, Кеммером и Петьо в 1930-х годах. Полученное ими волновое уравнение, т.е. уравнение Даффина - Кеммера - Петьо, имеет природу первого порядка и является обобщением уравнения Дирака, в котором алгебра Дирака -матриц заменена на так называемые -матрицы [6-8]. Уравнение ДКП представлено пяти- и десятикомпонентными версиями, которые очень хорошо описываются для бозонов со спинами 0 и 1 соответственно. Представление уравнения ДКП с нулевым спином при векторном потенциале обладает той же математической структурой, что и его хорошо известный аналог, т.е. уравнение КФГ. В итоге физическое сообщество решило, что эти уравнения полностью эквивалентны. Однако эта эквивалентность нарушается в некоторых адронных процессах, включая отдельные моды распада K-мезонов. Кроме того, уравнение ДКП удобнее для изучения взаимодействий, чем уравнение KФГ, из-за его более сложной структуры. Уравнение Даффина - Кеммера - Петьо является одним из уникальных уравнений, которое может исследовать частицы со спином нуль и единица [6-8]. К настоящему времени были изучены различные аспекты уравнения ДКП. В квантовой механике уравнение ДКП также было исследовано с некоторыми взаимодействиями. Например, в работах [9-11] (и ссылки в них) решалось уравнение ДКП для некоторых центральных потенциалов со спинами 0 и 1, а также были выведены коэффициенты перехода и отражения. В этих работах представлено решение уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для потенциала Хюльтена частицы со спином нуль с помощью метода Никифорова - Уварова, а также для частицы со спином единица для гиперболического потенциала в (1 + 3)-мерном пространстве-времени. В научной литературе уравнения КФГ детально изучены с использованием различных методов решения. В работах [12-23] найдены и детально рассмотрены аналитические решения уравнения КФГ для центральных и нецентральных потенциалов. Уравнение КФГ с различными потенциалами подробно было изучено томской группой Багрова и др. [12-15]. В последние годы к уравнению КФГ в рамках обычной и суперсимметричной квантовой механики часто обращается группа Ахмедова [16-23]. В настоящей работе уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы при произвольном значении орбитального квантового числа ( ) аналитически решаются с помощью метода Никифорова - Уварова. 1. Метод Никифорова - Уварова Метод Никифорова - Уварова (НУ) успешно применяется для решения дифференциального уравнения второго порядка, которое имеет вид [24] . (1) Здесь и - полиномы не выше второй степени; - полином не выше первой степени. Если взять следующую факторизацию для функция : , (2) тогда уравнение (1) сводится к уравнению гипергеометрического типа вида , (3) где и удовлетворяют условию , а функция определяется выражением . (4) Здесь является параметром. Определение - существенный момент при расчете . Данный параметр просто определяется из выражения (4) приравниванием дискриминанта квадратного корня к нулю, откуда можно получить общее квадратное уравнение для . Значения можно использовать для вычисления собственного значения энергии с использованием формулы . (5) Полиномиальные решения задаются соотношением Родрига , (6) где - нормирующая постоянная, а - весовая функция, которая определяется из уравнения . (7) С другой стороны, функция удовлетворяет условию . (8) 2. Решение Уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы в связанном состоянии Уравнение ДKП для свободных частиц со спином единица и нуль в атомных единицах определяется в виде [6-8] . (9) Здесь - масса релятивистских частиц; - матрицы Даффина - Кеммера - Петьо, удовлетворяют алгебраическому выражению , (10) где . (11) В случае векторных бозонов матрицы определяются как , (12) где есть -матрицы; - антисимметричный тензор Леви-Чивиты, принимает следующие значения: для чётной перестановки равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (повторяющиеся индексы соответственно). Матрицы и представляют единичную и нуль-матрицы соответственно. Матрицы и как матрицы имеют вид . (13) В общем случае потенциалы взаимодействия можем представить так: . (14) Учитывая потенциалы взаимодействия, уравнения ДКП определяются в форме (15) или . (16) Здесь называется проекционным оператором и представлена в виде . (17) Волновая функция определяется как . (18) Подставляя выражения (17) и (18) в уравнение (16), после громоздких расчетов получаем систему уравнений: ; (19) ; (20) ; (21) . (22) Исследуя соотношения между уравнениями (19) - (22), получаем . (23) Для аналитического решения уравнения (23) сначала рассмотрим некоторые частные случаи. Если , тогда имеем ; (24) ; (25) (26) Во втором частном случае, если , из уравнения (23) получаем . (27) Здесь главная цель - найти аналитическое решение уравнение (27) для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы в связанном состоянии, применяя метода Никифорова - Уварова. Потенциал Маннинга - Розена можно использовать для описания непрерывных и связанных состояний в системе взаимодействия. Этот потенциал применяется в различных областях исследований, таких, как атомная физика, физика конденсированных сред и элементарных частиц, ядерная физика. Для частицы под этим потенциалом релятивистские эффекты могут стать значительными, особенно при сильной связи. Потенциал Маннинга - Розена определяется в виде [25, 26] . (28) Здесь параметр характеризует диапазон потенциалов и имеет размерность длины; и - два безразмерных параметра. Этот потенциал используется для описания колебаний двухатомной молекулы и формирует подходящую модель для других физических событий. В выражении (28), применяя соотношение , получаем (29) где , . (30) Здесь - параметры экранирования. Потенциал Маннинга - Розена используется для описания колебания двухатомных молекул и, кроме того, формирует соответствующую модель для других физических явлений. Другой наш потенциал - это потенциал Юкавы, который был предложен Юкавой [27] как эффективный нерелятивистский потенциал, описывающий сильные взаимодействия нуклонов. Потенциал класса Юкавы можно представить в виде . (31) Здесь , определяют глубину потенциала. Этот потенциал также называется потенциалом Дебая - Хюккеля в физике плазмы, где он описывает заряженную частицу в слабо неидеальной плазме, а также в коллоидах и электролитах. Для линейной комбинации потенциала Маннинга - Розена с потенциалом класса Юкавы были применены новые приближения потенциала класса Юкавы в виде[28] ; (32) . (33) Тогда сумму потенциалов Маннинга - Розена и класса Юкавы можно записать так: . (34) Здесь ; (35) (36) . (37) Линейную комбинацию этих двух потенциалов можно использовать для изучения взаимодействий деформированной пары ядра и спин-орбитальной связи для частицы в потенциальном поле. Другая важная перспектива этого потенциала - использование при описании колебаний внутри адронной системы. Кроме того, данный потенциал может служить удобной моделью для других физических событий. Из исследования уравнения ДКП для линейной комбинации потенциала можно получить более глубокую и точную оценку физических свойств волновых функций и энергий в связанных и непрерывных состояниях взаимодействующих систем. На основании исследований в этом направлении в настоящей работе мы представляем решение релятивистского радиального уравнения ДКП для линейной комбинации потенциалов Маннинга - Розена и класс Юкавы. Цель настоящего исследования - изучить квантовомеханические системы на больших расстояниях. В рамках таких комбинированных потенциалов возможно рассматривать квантовую систему на значительных расстояниях. Подставляя потенциалы (34) в уравнение (27), получаем . (38) В уравнении (38), учитывая, что , имеем . (39) Из уравнения (39) видно, что в случае центростримительный потенциал расходится. Это уравнение точно решается в случае для . При получении аналитического решения для случая для преодоления трудностей, возникающих в центробежной части потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, применяем уникальное приближение (33) [28]. Подставляя приближение (33) в уравнение (39), получаем . (40) Для решения уравнения (40) методом Никифорова - Уварова необходимо преобразовать его к определенному типу гипергеометрического уравнения, которое имеет вид . (41) Чтобы привести выражение (40) к гипергеометрическому уравнению (41), мы вводим новую переменную : , , (42) в результате получаем . (43) В уравнение (43) вводим новые обозначения, чтобы переписать дифференциальные уравнения в более компактном виде: . (44) С учетом выражения (44) уравнение (43) запишем как . (45) Теперь мы можем успешно применить метод Никифорова - Уварова для решения уравнения (45). Сравнивая (45) с уравнением (41), для , и получим: , , . (46) Используя формулы (4) и выражения (46), для функции имеем . (47) Здесь , , (48) . Параметр может быть найден из выражения (47) следующим образом. Из условия, что дискриминант выражения (47) под квадратным корнем равен нулю, получаем ; (49) ; ; (50) . (51) Подставляя выражения (51) в (47), для функция находим (52) Как видно из выражения (52), полином имеет четыре возможных значения по методу НУ, но мы выбираем то значение , для которого функция имеет отрицательную производную. Другие значения не являются физическими. Отсюда соответствующие функции и имеют вид ; ; (53) ; (54) . (55) Если выражения (51) и (55) подставить в (54), то для получаем . (56) С другой стороны , определяется как . (57) В выражениях (56) и (57) левые части равны и поэтому, приравнивая правые стороны этих выражений, имеем (58) и, решая уравнения (58) по , для определения собственных значений энергии находим аналитические выражения в виде . (59) С учетом выражений (44) уравнение (59) для спектра энергия запишем в виде (60) Чтобы найти радиальную функцию релятивистской частицы, движущейся в потенциальном поле Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, мы факторизуем радиальную функцию : . (61) Применяя метод НУ, функция находится из условия . (62) Теперь, решая уравнение (62), для функции получаем , . (63) Функция находится из формулы Родрига в виде . (64) Здесь - нормирующая постоянная; является весовой функцией и определяется из решения уравнения Пеарсона . (65) Решая уравнение (65) по , получаем . (66) Подставляя весовую функцию в (64), для функции находим (67) Учитывая, что , (68) тогда для функции получаем . (69) Используя выражения (63) и (69) и подставляя их в выражение (61) для радиальной волновой функции , получаем . (70) Мы также можем выразить радиальную волновую функцию с помощью гипергеометрической функции, используя свойства полиномов Якоби [29, 30]. Тогда ; (71) . (72) Здесь и . Для функции имеем следующее выражение в компактном виде: , (73) где ; - нормирующая постоянная, которая находится из условия нормированности. В результате получаем (74) Если в выражениях (60) и (73) учесть условия , то получатся энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Маннинга - Розена, которые определяются в виде ; (75) . (76) Здесь , . (77) Кроме того, если в выражениях (60) и (73) учесть условия , тогда непосредственно получим энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Юкавы: ; (78) . (79) Здесь , . (80) Обсуждение результатов и заключение С помощью метода Никифорова - Уварова решено модифицированное радиальное уравнение Даффина - Кеммера - Петьо для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы для частицы со спином единица при произвольных значениях орбитального квантового числа. Аналитические выражения для собственных значений энергии и соответствующие собственные функции получены для произвольного значения орбитального и радиального квантовых чисел. Показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные функции чувствительны к радиальному и орбитальному квантовым числам. В ходе решения уравнения Даффина - Кеммера - Петьо в случае произвольных значений орбитального момента применялся особый подход к центростремительному потенциалу для преодоления проблемы, связанной с компонентой, которая пропорциональна . В компактном виде найдены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для произвольных значений орбитального квантового числа. С использованием свойств полиномов Якоби собственные функции выражены через гипергеометрические функции. Были также получены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы. Кроме того, было показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные волновые функции чувствительны к выбору радиальных и орбитальных квантовых чисел. Следовательно, изучение аналитического решения модифицированного уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы в рамках квантовой механики может способствовать получению ценной информации о динамике в ядерной, атомной и молекулярной физике для более глубоких исследований. Таким образом, можно сделать вывод, что полученные нами результаты будут интересны не только физику-теоретику, но и физику-экспериментатору благодаря точным и более общим данным. Автор выражает благодарность А.И. Ахмедову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Ключевые слова

потенциал Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, метод Никифорова - Уварова, спектральная задача

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Асланова Сария Мамедали кызыБакинский государственный университетлаборантка БГУsariyya.aslanova@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Greiner W. Relativistic Quantum Mechanics. - 3ed. edition. - Berlin: Springer, 2000.
Bagrov V.G. and Gitman D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.
Nedjadi Y. and Barrett R.C. // J. Phys. G. - 1993. - V. 19. - P. 87.
Krajcik R.A. and Nieto M.M. // Am. J. Phys. - 1977. - V. 45. - P. 818.
Dirac P.A.M. // Proc. R. Soc. London. Ser. A. - 1936. - V. 155. - P. 447.
Petiau G. University of Paris: Thesis. - Published in Acad. Roy. Belg. Classe Sci. Mem. Collect., 1936. - No. 16(2). - P. 8.
Duffin R.J. // Phys. Rev. 1938. - V. 54. - P. 1114.
Kemmer N. // Proc. Roy. Soc. A. - 1939. - V. 173. - P. 91.
Boutabia-Cheraitia B. and Boudjedaa T. // Phys. Lett. A. - 2005. - V. 338. - P. 97.
Hassanabadi H., Kamali M., and Yazarloo B.H. // Can. J. Phys. - 2014. - V. 92. - P. 465.
Yaşuk F., Berkdemir C., Berkdemir A., and and Önem C. // Phys. Scr. - 2005. - V. 71. - P. 340.
Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. // Изв. вузов. Физика. - 1973. - T. 16. - № 11. - C. 66.
Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. // Изв. вузов. Физика. - 1973. - T. 16. - № 12. - C. 45.
Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. // Изв. вузов. Физика. - 1974. - T. 17. - № 6. - C. 74.
Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. // Изв. вузов. Физика. - 1975. - T. 18. - № 3. - C. 152.
Ahmadov A.I., Demirci M., Aslanova S.M., and Mustamin M.F. // Phys. Lett. A. - 2020. - V. 384. - P. 126372.
Ahmadov A.I., Aslanova S.M., Orujova M.Sh., et al. // Phys. Lett. A. - 2019. - V. 383. - P. 3010.
Nagiyev Sh.M. and Ahmadov A.I. // Int. J. Mod. Phys. A. - 2019. - V. 34. - No. 17. - P. 1950089.
Ahmadov A.I., Nagiyev Sh.M., Qocayeva M.V., et al. // Int. J. Mod. Phys. A. - 2018. - V. 33. - P. 1850203.
Ahmadov A.I., Aydin C., and Uzun O. // Int. J. Mod. Phys. A. - 2014. - V. 29. - P. 1450002.
Nagiyev Sh.M., Ahmadov A.I., and Tarverdiyeva V.A. // Adv. High Energy Phys. - 2020. - V. 2020. - Art. ID 1356384.
Badalov V.H., Ahmadov H.I., and Badalov S.V. // Int. J. Mod. Phys. E. - 2010. - V. 19. - No. 07. - P. 1463.
Ahmadov A.I., Aslanova S.M., Orujova M.Sh., and Badalov S.V. // Adv. High Energy Phys. - 2021. - V. 2021. - Art. ID 8830063.
Nikiforov A.F. and Uvarov V.B. Special Functions of Mathematical Physics. - Basel: Birkhäuser, 1988.
Manning M.F. // Phys. Rev. - 1933. - V. 44. - P. 951.
Manning M.F. and Rosen N. // Phys. Rev. - 1933. - V. 44. - P. 953.
Yukawa H. // Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. - 1935. - V. 17. - P. 48.
Qiang W.C. and Dong S.H. // Phys. Lett. A. - 2007. - V. 363. - P. 169.
Abramowitz M. and Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, Mathematical Tables. - N.Y.: Dover, 1964.
Orudjev G.S. and Ismayilova N.A. // Adv. Phys. Res. - 2019. - V. 1. - No.1. - P. 37.
 Аналитическое решение уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы | Известия вузов. Физика. 2021. № 7. DOI: 10.17223/00213411/64/7/140

Аналитическое решение уравнения Даффина - Кеммера - Петьо для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы | Известия вузов. Физика. 2021. № 7. DOI: 10.17223/00213411/64/7/140