Mathematical modeling of the melting process of silicate materials in plasma reactor.pdf Введение В настоящее время широкое распространение для производства теплоизоляционных материалов и изделий получили силикатные расплавы с различным содержанием SiO2 [1, 2]. Силикатные расплавы - это расплавы, которые получают из кремнезема SiO2 и соединений на его основе - силикатов [3, 4]. Сырьем для получения силикатных расплавов служат распространенные горные породы (песок, базальт, диабаз, мергель) [5], побочные продукты промышленности (металлургические шлаки, золы) [6] и вторичное сырье (стеклобой и др.) [7]. Из силикатных расплавов в зависимости от исходного сырья, определяющего химический состав расплава, и режима охлаждения можно получить различные по структуре и свойствам материалы и изделия: стекло, стеклянные изделия, стеклокристаллические и частично закристаллизованные материалы. Разработка технологических основ получения силикатных расплавов с использованием нетрадиционных источников нагрева является актуальной [8, 9]. В работе [10] описаны комплексные исследования практического применения энергии низкотемпературной плазмы при плавлении различных видов материалов с содержанием SiO2 от 50 до 99 мас. %. Показано, что при использовании энергии низкотемпературной плазмы можно получать однородный по температуре и химическому составу силикатный расплав. Отметим, что данные процессы протекают в среде низкотемпературной плазмы при малых значениях времени tm < 1 c. Высокая скорость протекания процессов сопряжена с определенными трудностями при получении экспериментальных данных. Построение математической модели позволит устранить указанные трудности и корректно интерпретировать данные, полученные в ходе экспериментальных работ. Проведенные теоретические [11, 12] и экспериментальные [13, 14] работы показывают, что процесс взаимодействия «твердая частица - плазма» включает большое количество различных физических явлений, поэтому их полное описание практически невозможно. В работе [15] представлена физико-математическая модель процесса плавления частицы кварца в условиях низкотемпературной плазмы. Расчеты позволили установить полное расплавление частиц с предельным радиусом 0.14 ≤ rp ≤ 0.44 мм. Цель настоящего исследования - разработка физико-математической модели плавления силикатного материала в плазменном реакторе. В рамках численного решения рассматриваемой задачи использовалась комбинация метода контрольного объема и метода Рунге - Кутты - Мерсона с автоматическим контролем шага по времени четвертого порядка точности. Физико-математическая модель плавления силикатного материала Рассмотрим процесс нагрева и плавления силикатного материала в плазменном реакторе. В начальный момент времени осуществляется запуск электродугового плазмотрона, вследствие чего в полость реактора поступает высокотемпературный ионизированный газ (воздух), который нагревает внутренний объем. В результате создаются высокие значения температуры, под действием которых происходит нагрев и плавление материала, засыпанного на дно реактора. В настоящем исследовании рассмотрены следующие этапы описанного процесса: • нагрев материала от начальной температуры T0 до температуры плавления Tmelt. На данном этапе происходят нагрев, плавление материала в верхнем слое засыпки, на основании чего формируется фронт плавления; • появление межфазной границы, формирование первичного расплава. На данном этапе в зависимости от запаса тепловой энергии может произойти плавление всей твердой фазы или только ее некоторой части. Стоит отметить, что нагрев и плавление конденсированной фазы сопровождаются расходом энергии, приводящим к понижению температуры газовой фазы. Поэтому задача описания процесса переноса тепла от воздушной прослойки к конденсированной фазе должна рассматриваться в сопряженной постановке, с учетом условий сопряжения на границе раздела сред. При математическом моделировании будем исходить из следующих предположений: • внутри реактора высотой L находится слой силикатного материала высотой H. Верхняя часть реактора высотой D = L - H заполнена высокотемпературной газовой фазой (Tf = 2500, 3000 и 3500 К). Стенки реактора полагаются теплоизолированными. В условиях реального эксперимента [15] высота реактора составляет L = 100 мм, слой силикатного материала Н = 20 мм; • в начальный момент времени температура воздушной массы в результате воздействия потока низкотемпературной плазмы значительно увеличивается и достигает величины Tf, при этом предполагается, что Tf превышает температуру плавления силикатного материала Tmelt, но меньше температуры испарения Tvap; • в качестве модельного силикатного материала использовались теплофизические характеристики кварцевого песка [16], в частности: плотность ρ = 2.65 г/см3, теплоемкость С = 7.704 кДж/моль; коэффициент теплопроводности λ = 1.38 Вт/(м•K), температура плавления и испарения Тmelt = 1990 и Tvap = 2950 K соответственно. Схема процесса представлена на рис. 1. В данной схеме приняты следующие обозначения: 1 - твердая фаза, соответствует засыпанному материалу в реактор; 2 - жидкая фаза, силикатный расплав; 3 - газовая фаза - воздушная прослойка (плазма); xg - координата границы воздушной прослойки и конденсированного материала; xm - координата зоны плавления. Рис. 1. Схема процесса плавления силикатного материала в реакторе: а - начальный момент времени; б - формирование фронта плавления; в - завершение процесса плавления; 1 - твердая фаза; 2 - жидкая фаза; 3 - газовая фаза На начальном этапе до формирования зоны плавления координата границы воздушной прослойки и конденсированного материала равна высоте слоя засыпки: xg = H. Затем в процессе плавления материала и увеличения доли жидкой фазы происходит рост xg. Это связано с различием плотности жидкой и твердой фаз. Менее плотная жидкость занимает больший объем, чем состояние в твердой фазе. Таким образом, область, занимаемая расплавом, распространяется не только вниз, но и вверх. В такой постановке математическое моделирование сводится к рассмотрению краевой задачи нестационарного сопряженного кондуктивно-конвективного теплопереноса в замкнутом объеме реактора. Для описания процесса теплообмена в твердой фазе (0 ≤ x ≤ xm) уравнение теплопроводности примет вид . (1) В уравнениях, описывающих тепловой баланс в жидкой и газовой фазах, учитывается конвективный перенос, связанный с движением сред [17, 18]. Таким образом, уравнение теплового баланса в жидкой фазе (xm ≤ x ≤ xg) принимает вид: (2) Баланс тепла в газе (xg ≤ x ≤ L) описывается уравнением (3) В уравнениях (1) - (3) использованы следующие обозначения: Ti, Сi, ρi, λi, vi - температура, теплоемкость, плотность, теплопроводность и скорость. Индекс i = s, l, g соответствует твердой, жидкой и газовой фазам. Для решения уравнений (1) - (3) требуется задать граничные условия. На стенках реактора моделировались условия адиабатичности: (4) На границе раздела газовой и конденсированной фаз условия сопряжения имеют традиционный вид. На начальном этапе, до формирования фронта плавления, эти условия запишутся так: (5) После формирования слоя расплава условия на границе раздела примут вид (6) Отметим, что поскольку плотности жидкой и твердой фазы не совпадают, то с течением времени происходит смещение границы раздела xg(t). На границе раздела твердой и жидкой фаз в процессе образования силикатного расплава устанавливается температура, равная температуре плавления сырья. Кроме того, на этой границе должны выполняться условия Стефана [19]: , , . (7) Условия (7) позволяют определить скорость движения фронта плавления. В результате интегрирования по времени условия Стефана можно определить положение фронта плавления. Скорость движения жидкой фазы, а также координату границы x = xg(t) можно установитть из условия баланса массы: , . (8) Для определения плотности газовой фазы воспользуемся балансным уравнением: , (9) где ρ0 - начальная плотность газа. С помощью уравнения неразрывности определим скорость газа: . (10) В начальный момент времени температура воздушной массы в результате воздействия потока низкотемпературной плазмы значительно увеличивается и достигает величины Tf: (11) Дискретизацию уравнений (1) - (3) будем проводить в два этапа. На первом этапе в результате интегрирования по контрольному объему [20] уравнение теплопроводности преобразуем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При интегрировании использовалась сетка, содержащая 1000 узлов. На втором этапе производится численное решение этой системы методом Рунге - Кутты - Мерсона с автоматическим контролем шага по времени четвертого порядка точности [21]. Результаты моделирования и их обсуждение На рис. 2 показано положение фронта плавления в различные моменты времени, рассчитанное для разных значений начальной температуры газовой фазы (Tf = 2500, 3000 и 3500 К). В случае невысокой температуры газовой области плавлению материала предшествует достаточно длительный индукционный период, характеризуемый нагревом материала от начальной температуры до температуры плавления. После завершения этого этапа начинается процесс плавления, сопровождающийся смещением межфазной границы в глубь материала (рис. 2, кривая 1). С увеличением температуры газа длительность индукционного периода уменьшается, и при Tf > 2700 К формирование межфазной границы происходит практически мгновенно t < 0.2 c. Отметим также, что с повышением Tf увеличивается величина тепловой энергии, передаваемой от газа к конденсированной среде. В результате этого скорость движения фронта плавления растет. Таким образом, время, за которое фронт плавления достигает нижней стенки реактора, уменьшается. На рис. 3 представлены результаты изменения температуры на границе газовой и конденсированной фаз с течением времени. Кривая 1 соответствует прогреву материала при низкой температуре газовой фазы. В начальный момент времени, когда фазовый переход отсутствует, после незначительного понижения происходит увеличение температуры слоя. Затем после начала плавления материала изменение температуры с течением времени становится незначительным. В случае высокой начальной температуры газовой фазы плавление материала возникает в начальный момент времени. В течение начальных 1-2 с наблюдается незначительное снижение температуры. Затем изменение температуры становится несущественным. Отметим, что при Tf > 2700 К температура слоя превышает температуру кипения, что может приводить к испарению материала, которое на данном этапе исследования не учитывается. Рис. 2. Положение фронта плавления в различные моменты времени: кр. 1 - Tf = 2500 К; кр. 2 - 3000 К; кр. 3 - 3500 К Рис. 3. Изменение температуры с течением времени, x = xg(t): кр. 1 - Tf = 2500 К, кр. 2 - 3000 К, кр. 3 - 3500 К Изменение температуры в центральном сечении засыпки показано на рис. 4, а. Кривая 1 соответствует прогреву материала без фазового периода в течение рассматриваемого промежутка времени. Кривые 2, 3 соответствуют прогреву материала с образованием зоны плавления. Важно отметить, что распределение температуры в слое, расположенном ниже фронта плавления, оказывается нечувствительным к температуре газового потока. На это указывает близость кривых 2 и 3. При Tf > 2700 К для данного значения координаты x в течение tm = 7-8 с происходит нагрев материала до температуры плавления, затем происходит фазовый переход и крайне незначительное увеличение температуры. Рис. 4. Изменение температуры с течением времени: а - центральное сечение засыпки, x = H / 2 = 10 мм; б - нижнее сечение засыпки, x = 0 мм; кр. 1 - Tf = 2500 К, кр. 2 - 3000 К, кр. 3 - 3500 К Рис. 4, б демонстрирует изменение температуры в нижнем сечении реактора. Основные закономерности распределения температуры в этом сечении аналогичны зависимостям, представленным на рис. 4, а. Однако плавление материала при Tf > 2700 К происходит спустя больший промежуток времени tm =10-12 с. Рис. 5. Распределение температуры в воздушной прослойке: а - Tf = 2500 К, б - 3000 К, в - 3500 К; кр. 1 - t = 1 c, кр. 2 - 5 c, кр. 3 - 10 c, кр. 4 - 20 c, кр. 5 - 30 c На рис. 5 представлено распределение температуры воздушной прослойки, рассчитанное в различные моменты времени при начальных температурах (Tf = 2500, 3000 и 3500 К). Распределение температуры в начальный период времени характеризуется практически постоянными значениями в центральной и верхней частях воздушной области и достаточно узким пограничным слоем вблизи поверхности конденсированной фазы. С течением времени толщина пограничного слоя увеличивается, приближаясь к верхней стенке реактора. Рис. 5, a демонстрирует распределение температуры при К. Температура газа в верхней и центральной областях с течением времени убывает. В нижней части воздушной прослойки по мере нагрева твердой фазы и распространения тепловой волны в глубь материала температура газа увеличивается. Такие закономерности сохраняются до начала плавления материала. На рис. 5, б показано распределение температуры при Tf = 3000 К. В этом случае в начальный период времени также наблюдается резко выраженный пограничный слой, толщина которого растет с течением времени. При этом температура газа уменьшается с течением времени во всей области, занимаемой газом. В результате плавления конденсированного материала повышения температуры в верхнем слое не происходит. Напротив, температура в этом слое в результате расхода энергии на фазовый переход уменьшается. Поскольку объем жидкой фазы, образующейся в результате плавления, превышает объем твердой фазы той же массы, происходит смещение границы раздела конденсированной и газовой фаз вверх. Аналогичные зависимости наблюдаются и при более высокой величине начальной температуры газовой фазы Tf = 3500 К (рис. 5, в). Распределение температур в конденсированной фазе, рассчитанное в различные моменты времени при разных начальных температурах Tf , показано на рис. 6, где отображен процесс прогрева твердой фазы с течением времени, сопровождающийся ростом температуры. Данные рис. 6, а соответствуют величине начальной температуры газовой фазы Tf = 2500 К. При t > 25 с начинается плавление материала, при этом увеличивается объем жидкой фазы, и граница раздела жидкой и газовой фаз смещается вверх. Распределение температуры в конденсированной фазе при более высоких температурах Tf показано на рис. 6, б - в, эти значения качественно близки. Рис. 6. Распределение температуры в конденсированной фазе: а - Tf = 2500 К, б - 3000 К, в - 3500 К; кр. 1 - t = 1 c, кр. 2 - 5 c, кр. 3 - 10 c, кр. 4 - 20 c, кр. 5 - 30 c Переход от твердой фазы к жидкой отображается изломом температурной кривой, который четко выражен в начальный период времени, когда температура твердой фазы невысока. По мере прогрева твердой фазы излом температурной кривой становится менее выразительным. К важным особенностям распределения температуры в слое расплава относится тот факт, что если с течением времени температура в нижней части расплава возрастает, то в его верхней части постепенно убывает. При этом граница, разделяющая эти области, оказывается неизменной. Заключение В результате проведенных исследований выполнен обзор литературных источников, посвященных изучению процессов теплопереноса с учетом фазовых превращений, разработана и сформулирована физико-математическая модель плавления силикатного материала в объеме реактора. На основе этой модели был предложен алгоритм численного исследования, создан программный код и проведен вычислительный эксперимент. Результаты исследований позволяют сделать следующие выводы: • в случае невысокой температуры газовой области плавлению материала предшествует достаточно длительный индукционный период, характеризуемый нагревом материала от начальной температуры до температуры плавления. После завершения этого этапа начинается процесс плавления, сопровождающийся смещением межфазной границы в глубь материала. С увеличением температуры газа Tf длительность индукционного периода уменьшается, и при Tf > 2700 К формирование межфазной границы происходит практически мгновенно; • распределение температуры в газовой фазе при t < 20 c характеризуется практически постоянными значениями в центральной и верхней частях воздушной области и достаточно узким пограничным слоем вблизи поверхности конденсированной фазы. С течением времени толщина пограничного слоя увеличивается, приближаясь к верхней стенке реактора; • в случае невысокой начальной температуры (Tf = 2500 К) в начальный период времени температура газа вблизи границы раздела фаз оказывается ниже температуры плавления. В результате процесса теплообмена в газовой фазе тепловая энергия передается сначала из центральных, а затем из верхних слоев к границе раздела фаз. Если запас тепловой энергии в газовой фазе оказывается достаточным для осуществления фазового перехода, то спустя некоторое время начинается процесс плавления; • при высокой начальной температуре (Tf = 3000 К) процесс плавления начинается практически мгновенно после введения высокотемпературной среды в установку. В этом случае на границе раздела фаз устанавливается практически постоянная температура, незначительно превышающая температуру плавления; • скорость распространения фронта плавления определяется начальной температурой газовой фазы и теплофизическими характеристиками материала, но слабо зависит от толщины слоя засыпки.

Скачать электронную версию публикации