On the sign of the refractive index for metamaterials.pdf Метаматериалами, согласно первоначальному определению [1], называют гетерогенные структуры, архитектура которых направлена на достижение значений эффективных материальных параметров, превосходящих таковые для обычных макроскопических композитов. Идеальные изотропные электромагнитные метаматериалы характеризуются диэлектрической ( ) и магнитной ( ) проницаемостями, действительные значения которых не имеют каких-либо ограничений по знаку и по абсолютной величине. Прозрачными для электромагнитных волн метаматериалами являются не только обычные дважды положительные ( , ), но и дважды отрицательные ( , ) среды, на что впервые обратил внимание Д.В. Сивухин [2]. Метаматериалы с такими параметрами появились в 2000-е годы [3] и оказались весьма перспективными для ряда приложений. Дважды отрицательные среды поддерживают распространение обратных нормальных волн (у которых направления фазовой и групповой скоростей противоположные). Этим средам приписывают, начиная с В.Г. Веселаго [4], отрицательные значения показателя преломления (хотя в формуле Максвелла ) и называют их также материалами с отрицательным показателем преломления (см., например, [5, 6]). Данное сообщение преследует цель показать, что введение термина «отрицательный показатель преломления» не является обязательным, а скорее обусловлено математическими и физическими неточностями описания явления отрицательного преломления волн. Л.И. Мандельштам ([7], стр. 435) упоминает о «логическом скачке», который обусловлен привычкой «к совпадению энергии и фазы» волны в дважды положительных средах. Но в бианизотропных средах направления фазовой и групповой скорости не совпадают, а в дважды отрицательных средах они строго противоположны. Объясняя эффект отрицательного преломления при падении плоской волны на плоскую границу раздела двух изотропных сред, одна из которых поддерживает обратные волны, он не вводит понятие «отрицательный показатель преломления», а поясняет, что для отклонения волнового вектора преломлённой волны от нормали к границе имеется одна из двух возможностей: под углом или под углом . Вторая возможность реализуется в случае с обратной преломлённой волной. Противоположно направленный по отношению к волновому вектору преломлённый луч отклоняется на отрицательный угол (при положительном показателе преломления). Ход лучей показан у Веселаго на рис. 1 из статьи [4] и на рис. 3 из статьи [8], однако на этих рисунках отсутствует волновой вектор преломлённой волны. Скалярная форма закона Снеллиуса подразумевает именно волновые векторы, а не лучи всех трёх плоских волн, взаимодействующих с границей сред [9, 10]. В обозначениях статьи [4] формула Снеллиуса для отрицательного преломления должна иметь вид , (1) где угол падения и угол положительного преломления измеряются относительно нормали к границе, направленной из первой среды во вторую, а относительный показатель преломления является положительной величиной. Эта формула полностью согласуется с векторной версией закона отрицательного преломления [11]. Применительно к лучам падающей и преломлённых волн формула (1) должна быть изменена , (2) откуда следует, что в результате приписывания знака «минус» показателю преломления теряется информация о направлении отклонения преломлённого луча. В литературе встречается математическое «доказательство» возможности отрицательного показателя преломления [12-14]: . Равенство (3) справедливо, однако только для дважды положительных сред, а для дважды отрицательных сред следует пользоваться формулой . (4) Показатель преломления традиционно определяется как отношение скорости света к фазовой скорости волны в среде. Существует и другое определение: показатель преломления есть длина (модуль) вектора рефракции [15]. Вектор рефракции связан с волновым вектором по формуле , (5) где - положительное волновое число, - скорость света в пустоте, а единичный вектор указывает направление распространения вперёд фазового фронта бегущей плоской волны. (В формулах наподобие (5) иногда [9, 16] вектор направления заменяется на коллинеарный, но противоположный вектор , придавая длине вектора недопустимое отрицательное значение.) Вектор рефракции под другими названиями или без них встречается в литературе по оптике и электродинамике, например, [17] (без названия, стр. 401), [18] («оптический лучевой вектор», стр. 19), [19] («refractive-indexvector»), [20] («indexvector», стр. 71), [21] («reducedrayvector», стр. 101). Согласно универсальному определению длины вектора, показатель преломления (а также волновое число ) всегда является положительным числом. Следовательно, понятие «отрицательный показатель преломления» оказывается несовместимо с определением вектора рефракции, а при решении квадратного дисперсионного уравнения из двух математически возможных значений в качестве решения должно быть выбрано значение . В книге [22] на стр. 590 квадратный корень вычисляется по правилу (4), но затем записываются вихревые уравнения Максвелла для монохроматической плоской волны в виде , (6) и утверждается, что при двух отрицательных проницаемостях оба уравнения будут выполняться одновременно, если взять . На самом деле это утверждение справедливо и при положительном , но одновременная замена знаков у , и сохраняет неизменной правую триаду векторов , , в (6). Это обстоятельство является очевидным парадоксом (дважды отрицательная среда по определению является средой левой руки), который разрешается отклонением возможности отрицательных значений для . Рассмотрение идеальной среды как предельного случая диссипативной среды при стремлении параметра потерь к нулю является распространённым методическим приёмом (принцип предельного поглощения В.С. Игнатовского [23]). Обычно имеют в виду однородные затухающие волны, у которых амплитудная и фазовая плоскости параллельны и для которых можно ввести комплексное волновое число и комплексный показатель преломления [15]. А. Зоммерфельд [24] предложил на основе этого приёма условия излучения для источника в безграничной среде, заметив, что истинным направлением излучаемой волны является направление переноса потока энергии от источника к бесконечности. Материальные параметры в поглощающей среде становятся комплексными величинами: , , причём при выборе временной зависимости в виде принимается, что и . Мнимую часть комплексного показателя преломления (а также и мнимую часть волнового числа ) тоже обычно принимают положительной, независимо от знака действительной части [25]. Фактически такой выбор знака соответствует прямой волне в среде. Как уже было отмечено в [4], отрицательная мнимая часть тоже возможна, она будет соответствовать нарастанию волны, но это нарастание в случае обратной волны происходит в направлении фазовой скорости, а не групповой, и вещество будет по-прежнему поглощать энергию. Действительную часть комплексного показателя преломления следует взять положительной, так как должен выполняться предельный переход к положительному значению показателя преломления прозрачной среды ( при и ); в работе [26] отождествляются направления векторов и . Что касается мнимой части показателя , то, принимая во внимание различие в знаках для прямых и для обратных волн, её следует записать как , где по-прежнему и где присутствует вновь введённый параметр - идентификатор типа волны. Если направление потока энергии (и групповой скорости) волны обозначить ортом , то идентификатор вводится по формуле (7) Таким образом, для диссипативной среды постулируется анзац: комплексный показатель преломления записывается не просто как , но как , где [27]. В идеальной среде значение идентификатора является очевидным: , (8) и с его помощью формулу (2) для преломления лучей можно обобщённо переписать таким образом: , (9) где и являются идентификаторами типа волны первой и второй сред соответственно. Из (9) следует, что отрицательное преломление реализуется только при условии . При комплексных параметрах дисперсионное уравнение обычно решают, пользуясь показательной формой комплексного числа. Так как комплексный квадратный корень (в отличие от всегда положительного арифметического квадратного корня) является двузначной функцией, то при его вычислении следует принимать во внимание тождество , где - целое число, не равное нулю. В противном случае оказывается возможным нежелательный переход к другой ветви квадратного корня. Альтернативным способом вычисления является переход к исходному дисперсионному уравнению (10) с последующим использованием алгебраической формы комплексного числа. В работе [27] уравнение (10) решается с помощью унимодулярных материальных параметров вида (комплексных знаковых функций), представленных в алгебраической форме. Наиболее быстрый способ отыскания значений , и состоит в использовании точных формул для комплексного квадратного корня, представленных в алгебраической форме ([28], формулы (58.1) и (58.2)): . (11) В формуле (11) показан только один корень, второй корень отличается сменой знака у действительной и мнимой частей правой части (11). Сопоставляя с формулой Максвелла , находим , , , (12) где , , . Выражение для идентификатора в (12) согласуется с известными данными о разграничении прямых и обратных волн в диссипативной среде [29]. В заключение, правильное (положительное) значение показателя преломления для дважды отрицательных метаматериалов согласуется с его определением как длины вектора рефракции. Различие между дважды положительными и дважды отрицательными средами осуществляется посредством введения идентификатора типа волны или при помощи параметра «правизны», который был предложен В.Г. Веселаго [8], но в дальнейшем не применялся. Отталкиваясь от формулы (2), закону преломления лучей можно придать симметричный вид . (13) Наконец, вводя по аналогии с терминологией оптики анизотропных сред «показатель преломления по лучу» [30], получим из (13) формально закон Снеллиуса (14) с тем лишь различием, что показатели преломления по лучу и могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Таким образом, несмотря на то, что канонический показатель преломления в дважды отрицательных средах не может быть отрицательной величиной, употребление устоявшегося в литературе наименования «материалы с отрицательным показателем преломления» можно сохранить, имея в виду лучевой показатель .

Скачать электронную версию публикации