Модель пластической деформации и разрушения твердых тел | Известия вузов. Физика. 2021. № 9. DOI: 10.17223/00213411/64/9/75

Модель пластической деформации и разрушения твердых тел

Рассмотрена модель развития локализованного пластического течения твердых тел, основанная на представлениях о взаимодействии носителей пластичности и сигналов акустической эмиссии, возникающих при развитии элементарных актов пластичности. Экспериментально показано, что на макроскопическом масштабном уровне пластическое течение всегда протекает локализовано, причем распределение зон локализации в объеме принимает формы различных автоволновых процессов и связано с законом деформационного упрочнения.

The model of plastic deformation and failure of solids.pdf Введение Экспериментальное изучение закономерностей пластической деформации твердых тел показало, что она протекает неоднородно на любом своем этапе. Универсальность этого суждения проверена на микро- [1], мезо- [2] и макроскопическом [3] масштабных уровнях, и можно думать, что разномасштабные явления локализации становятся существенными для природы процессов пластического течения практически одновременно. В наших исследованиях [3] экспериментально было установлено, что макролокализация обязательна для любых материалов и любых условий нагружения, а формы распределения очагов локализации и кинетика их развития коррелированы с характером кривой пластической деформации материала на протяжении всего процесса пластического течения. Возникающие при этом в образце пространственно-временные структуры локализации спонтанно появляются при пластической деформации с постоянной скоростью и закономерно эволюционируют во времени. В результате в процессе пластического течения пластичная среда самопроизвольно расслаивается на деформирующиеся и недеформирующиеся в рассматриваемый момент объемы, пространственно разделенные друг с другом. В общем случае подобное расслоение деформируемой среды можно рассматривать как ее самоорганизацию, под которой Хакен [4] понимал обретение системой какой-то пространственной, временнóй или функциональной структуры без специфического воздействия извне. Возможность такого взгляда на локализацию пластического течения была обоснована в работе [5] расчетом снижения энтропии системы при формировании областей локализованной пластической деформации, которое служит типичным признаком процесса самоорганизации [4]. В совокупности деформирующиеся и недеформирующиеся объемы материала образуют паттерн локализованной пластичности, который выявляет динамические деформационные макроструктуры - автоволны локализованного пластического течения [3]. Они были обнаружены и изучены методом модифицированной для анализа пластичности спекл-фотографии [6], позволяющей пошагово восстанавливать поле векторов смещения в деформируемом образце, регистрировать его эволюцию и рассчитывать все компоненты тензора пластической дисторсии (1) как функции координат x, y и времени t. Результаты анализа данных этих экспериментов привели к выводу о том, что при пластическом течении в образцах возникает эволюционирующая картина локализованной деформации с характеристическим масштабом неоднородности ~ 10-2 м. Границы слоев локализации могут быть неподвижными или перемещаться с характеристической скоростью м/с, которая пропорциональна скорости движения подвижного захвата испытательной машины и обычно на порядок ее превышает [7]. Примеры возможных вариантов распределения очагов локализованной деформации (паттерна), а также пояснения метода определения пространственно-временных параметров деформационного процесса показаны на рис. 1. Рис. 1. Зоны локализации в образце (темные полосы) (а); пространственное распределение компоненты тензора (1) (б); диаграмма пластического течения σ(ε) и определение параметров автоволны локализованной пластичности для ГЦК-монокристалла Fe на стадии линейного деформационного упрочнения (в) В настоящей работе рассмотрены макроскопические закономерности развития паттерна локализации деформации на разных стадиях деформационного упрочнения. Главной задачей является разработка модели развития пластического течения на основе анализа картин локализации пластического течения и их эволюции при деформировании растяжением с постоянной скоростью. Деформационное упрочнение и паттерн локализованной пластичности Как установлено к настоящему времени, локализация пластического течения наблюдается при пластической деформации моно- и поликристаллов чистых металлов и сплавов разного состава с ГЦК-, ОЦК-, ГПУ- и тетрагональной решетками, а также неметаллических материалов (керамика, щелочно-галоидные монокристаллы, горные породы). На этом основании можно полагать, что она является общим признаком пластического течения. С другой стороны, известно также, что важной характеристикой любого процесса пластического течения является его стадийность [1, 8]. Поэтому, изучая развитие локализованного пластического течения, уместно сопоставить паттерн локализации с действующим на данной стадии деформационного процесса законом упрочнения. Последний можно характеризовать дискретно меняющимся показателем упрочнения n в уравнении Людвика, аппроксимирующем кривую пластического течения соотношением [8] . (2) Здесь и - напряжение и деформация соответственно; θ - коэффициент деформационного упрочнения; - предел текучести. Стадии деформационного упрочнения на кривой легко графически выделить, отыскав на ней участки, для которых . В частности, n = 0 на площадке текучести , n = 1 на стадии линейного деформационного упрочнения , n = 1/2 на стадии параболического упрочнения и 0 ≤ n < 1/2 на стадии предразрушения . Сопоставление стадий процесса пластической деформации с паттерном локализации пластического течения показало, что каждой стадии отвечает определенный вариант паттерна, качественно не зависящий от частных деталей механизма деформации и структуры деформируемого материала. Это наблюдение позволило сформулировать Правило соответствия, согласно которому площадке текучести соответствует движение вдоль образца уединенного очага локализованной деформации (фронта Людерса), стадии линейного деформационного упрочнения отвечает движение с постоянной скоростью группы эквидистантных очагов локализации, для параболической стадии деформационного упрочнения характерна система эквидистантно расположенных стационарных очагов деформации и, наконец, на стадии предразрушения наблюдается взаимосогласованное движение очагов локализованной пластичности, приводящее к их коллапсу. Установлено, что эти закономерности выполняются для всех материалов независимо от их состава и структуры, а также от действующего механизма пластического течения (дислокационное скольжение, двойникование, деформация фазового превращения). Достаточно широкие вариации структуры и микроструктуры материала влекут за собой лишь количественные изменения картин локализации, не затрагивая ее признаковых качественных черт. Таким образом, пластическая деформация развивается коррелировано по всему объему образца, а названная выше длина 10-2 м играет роль характерного радиуса корреляции этого процесса. Наблюдаемые формы корреляции исчерпываются перечисленными выше закономерностями, и во всех случаях число форм совпадает с числом наблюдаемых в материале стадий кривой пластического течения. Сравнение паттерна локализации пластического течения с известными описаниями общих характеристик автоволновых процессов позволило установить, что каждой стадии деформационного упрочнения может быть поставлена в соответствие строго определенная наблюдаемая мода автоволнового процесса. Конкретно стадии площадки текучести соответствует автоволна переключения, стадии линейного деформационного упрочнения - фазовая автоволна, стадии параболического упрочнения- стационарная диссипативная структура и, наконец, стадии предразрушения - коллапс автоволны. Таким образом, стадии пластического течения оказываются однозначно связанными с соответствующими типами (модами) автоволновых процессов. Иначе говоря, в рамках развиваемого подхода пластическое течение может рассматриваться как закономерная эволюция автоволновых мод локализации пластичности, развивающаяся, начиная от упругой деформации и вплоть до разрушения, в строгой последовательности: автоволна переключения → фазовая автоволна → стационарная диссипативная структура → коллапс автоволны в месте разрушения. Межмодовые переходы включают рождение хаотического квазиравномерного распределения деформаций по объему, имеющего масштаб , после распада структуры, характерной для предыдущей стадии, и возникновения новой автоволновой моды из хаоса. Модель локализации пластического течения Полученные экспериментальные данные наводят на мысль о том, что именно локализация является важнейшей чертой деформационных процессов, определяющей их развитие. На основе данных о локализации пластического течения можно сформулировать ряд принципиально новых представлений о природе процессов пластического течения, что и будет рассмотрено в этом разделе. Прежде всего, при анализе количественных параметров локализации на стадии линейного деформационного упрочнения обнаруживается тесная связь между парными произведениями определенных выше макроскопических параметров автоволн локализованной пластичности и и характеристик кристаллической решетки материалов: 10-10 м - расстояния между плотно упакованными плоскостями и 103 м/с - скорости распространения упругих поперечных волн. Отношения скоростей и масштабов при этом одинаковы по порядку величин 107 - 108. При уточнении соотношений выяснилось, что для исследованных материалов выполняется равенство , (3) справедливость которого доказывается сравнением величин частных отношений , полученных для более чем сорока различных материалов [3, 9]. Угловые скобки в уравнении (3) означают усреднение по всем этим материалам. Произведения и c размерностью кинематической вязкости (L2•T-1) можно считать характеристиками одновременно идущих в деформируемой среде упругих и пластических деформационных процессов. Они описывают перераспределение упругих напряжений со скоростью и характерным масштабом порядка и перераспределение областей локализованной пластичности со скоростью и масштабом . Более того, эта закономерность отражает также взаимосвязь упругих и пластических деформаций. Используемое почти в любом подходе к описанию пластического деформирования упрощение состоит в аддитивности вкладов упругой и пластической деформаций в общую . Поскольку при этом , упругим вкладом обычно пренебрегают и полагают, что . Однако равенство (3) указывает на некорректность такого подхода и наводит на мысль о целесообразности поиска более тесной взаимосвязи двух деформационных характеристик как возможности создания новой модели локализованного пластического течения, учитывающей тесную взаимосвязь упругой и пластической компонент деформации в процессе пластического формоизменения. В основу развиваемой модели разумно положить соотношение (3), которое свидетельствует о важной роли акустической подсистемы кристалла в формировании автоволновых картин локализации пластичности. Глубокий смысл эмпирического равенства (3) состоит в том, что оно количественно связывает характеристики упругих волн с характеристиками автоволн локализации пластического течения . Этот факт допускает простое объяснение. Согласно уравнению Тейлора - Орована [1], определяющему скорость пластической деформации за счет движения дислокаций, непосредственный вклад в последнюю дают подвижные дислокации с вектором Бюргерса b, плотностью и ненулевым значением скорости движения . Собственно движение дислокаций между локальными препятствиями контролируется вязкостью фононного и электронного газов [10] в кристалле, состояние которых должно отражаться на динамике пластического течения, в том числе и на макромасштабном уровне. Поэтому ясно, что фононная подсистема играет важную роль в развитии локализованного пластического течения твердых тел. Дело в том, что процесс деформации включает два типа взаимосвязанных событий, согласованно протекающих в деформируемой среде. С одной стороны, это скачкообразные релаксационные акты движения дислокаций, их ансамблей и в макроскопическом пределе автоволн локализации деформации. С другой стороны, каждый такой акт сопровождается акустической эмиссией [11], т.е., генерацией упругих волн, связанной с перераспределением упругих деформаций в ходе релаксации. Акустическая эмиссия широко применяется в неразрушающем контроле, и в традиционных подходах к изучению пластичности используются сигналы акустической эмиссии для изучения кинетики сдвигов. Порожденный элементарным сдвигом акустический импульс, в свою очередь, может инициировать новый сдвиг за счет эффекта акустопластичности, также в достаточной мере изученного в [12]. Таким образом, в деформируемой среде сосуществуют, взаимодействуя, два типа явлений, к которым относятся динамическая подсистема дислокационных сдвигов, отвечающая за формоизменение, и акустическая подсистема, возникающая за счет излучения акустических импульсов, способных возбуждать новые сдвиги. Этот подход принципиально согласуется с идеей о том, что для самоорганизации необходимо спонтанное расслоение системы на взаимосвязанные информационную и динамическую подсистемы [13]. Взаимодействие таких подсистем обосновано следующими соображениями. Возникновение новых сдвигов в динамической подсистеме движущихся дислокаций и их ансамблей сопровождается излучением импульсов акустической эмиссии (фононов). Это ведет к перераспределению существующего упругого поля и, в свою очередь, инициирует новые релаксационные сдвиги, сопровождающиеся акустоэмиссией. Таким образом, импульсам акустической эмиссии в модели отводится управляющая роль в развитии локализованного пластического течения. Реалистичность этого подхода подтверждается анализом известного эффекта возникновения линий Вальнера - борозд на поверхности хрупкого скола - за счет искривления фронтов растущих трещин под действием звуковых импульсов, излучаемых трещиной при ее росте [14]. С этой целью оценим снизу энергию, необходимую для искривления траектории трещины, полагая, что она расходуется только на увеличение площади поверхности разрушения . В согласии с экспериментальными данными, приведенными в [14], при глубине борозд на поверхности разрушения ~ 1 мкм и диаметре образца ~ 10-2 м получаем, что  10-8 м2. При характерном для металлов значении плотности поверхностной энергии  1 Дж•м-2 энергия импульса, искривляющего фронт трещины, 10-8 Дж  6.25•1011 эВ. Этого вполне достаточно для активации новых элементарных актов пластичности. Можно считать, что равенство (3) формализует связь кинетических характеристик подсистем - скорости распространения упругих волн (упругость), с одной стороны, и скорости движения дислокаций в областях действия концентраторов (пластичность за счет движения дислокаций), с другой. Связь акустических и механических свойств деформируемого твердого тела определяется, в частности, обратным действием дефектной подсистемы на акустические характеристики кристаллов, в результате чего скорость ультразвука, например, оказывается нелинейной функцией деформации и напряжения течения [15]. Она остается постоянной на стадии линейного деформационного упрочнения, падает на стадии параболического упрочнения, а при переходе к стадии предразрушения снова возрастает. Принципиальное подтверждение справедливости рассматриваемой модели было получено при анализе пространственного соответствия очагов локализованной деформации и источников сигналов акустической эмиссии. Эксперименты, проведенные на стали, деформирующейся путем распространения фронта Людерса [16], позволили установить, что наблюдаемые очаги локализованного пластического течения действительно служат источниками акустической эмиссии. Кроме того, обнаружено, что фронт Людерса перемещается неравномерно, и в местах его остановки в дальнейшем формируются очаги, соответствующие будущей стационарной диссипативной структуре, характерной для стадии параболического деформационного упрочнения. Сопоставление картин локализации пластического течения в твердых телах с данными о механизмах их деформации позволило установить, что явления локализации возникают самопроизвольно при постоянной скорости растяжения, не требуя для своего появления специального воздействия, а картины локализации последовательно меняются по мере развития пластического течения закономерным образом и их эволюция тесно связана со стадийностью течения. При этом картины локализации на некоторых стадиях обладают выраженной пространственной и временнóй периодичностью. Каждая из картин локализации, как и явления на соответствующей стадии процесса течения, связана с определенными микроскопическими механизмами деформационного упрочнения, действующими на этой стадии, а дефектная структура материала и характеристики его деформационного упрочнения необратимо меняются при пластическом течении, так что деформируемая среда принципиально нелинейна [17]. Закономерности макроскопической локализации пластического течения объяснимы, если картины локализации суть автоволновые процессы в активных средах [17]. Автоволны являются решениями параболических дифференциальных уравнений , в частности, уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова [18], и часто используются при описании процессов самоорганизации активных сред. Обычные же волны, например, упругие, удовлетворяют гиперболическим уравнениям в частных производных . Известно [17], что описание автоволновых процессов в активных средах требует учета автокаталитического и ингибирующего факторов, взаимосвязанных друг с другом. При пластическом течении в качестве катализатора рассматривается деформация , а в качестве демпфера - напряжение  [3]. По этой причине предложенная модель названа двухкомпонентной (двухфакторной). Скорости изменения деформаций и напряжений в такой модели определяются параболическими уравнениями вида где нелинейные N-образные функции и суть точечные кинетики изменения деформаций и напряжений соответственно, а члены со вторыми пространственными производными описывают перераспределение деформаций и напряжений. Можно принять, что в силу уравнения (3) , а . Анализ возможных решений системы (4), (5), предпринятый в [3], показал, что они порождают разные типы автоволновых процессов в зависимости от закона деформационного упрочнения, действующего на соответствующей стадии процесса пластического течения. Рассмотрим некоторые характерные детали эволюции картин локализации течения на последовательных стадиях деформирования в связи с изменениями дефектной структуры материала в ходе процесса. В частности, известно, что одиночный фронт Людерса, характерный для стадии площадки текучести, разделяет упруго и пластически деформированные объемы материала, и при его движении объем первого уменьшается, а второго растет. Это значит, что на фронте Людерса осуществляется необратимый переход деформируемой среды в новое состояние с бóльшей дефектностью и способностью пластически деформироваться дислокационным скольжением, причем разгрузка деформируемой среды не восстанавливает ее первоначальных свойств. На стадиях линейного и параболического деформационного упрочнения дефектная структура в локальных объемах образца изменяется периодически, причем эти изменения непосредственно связаны с макроскопической неоднородностью (локализацией) пластического течения. В рамках такого анализа связь очагов локализованной деформации может реализоваться за счет фононного обменного взаимодействия. В этом случае целесообразно поставить в соответствие автоволне локализованной деформации квазичастицу - автолокализон [19], масса которого полностью определяются параметрами автоволны. Такой шаг соответствует концепции квазичастиц в теории твердого тела [20]. Одна из первых попыток введения в физику прочности и пластичности квазичастицы, соответствующей распространению трещины - крекона, была предпринята авторами [21] при анализе хрупкого разрушения. Введение автолокализона приводит к важным последствиям. Так, применив формулу де Бройля, перепишем равенство (3) в виде , (6) где h - постоянная Планка. Это, очевидно, эквивалентно равенству , где - масса автолокализона; - масса фонона, а уравнение (6) соответствует предложенному авторами [22] механизму рождения дислокаций в кристаллах за счет конденсации фононов. На стадии предразрушения, когда показатель деформационного упрочнения в уравнении (2) n < 1/2, реализуется физически очень интересная ситуация. Коллапс автоволны локализованной деформации на этом этапе завершает процесс пластического течения, автоволна локализованной пластичности схлопывается в месте будущего разрушения образца, а макроскопическая локализация деформации становится такой, что объем пластически деформируемого материала уменьшается и, наконец, возникает шейка, предшествующая образованию вязкой трещины. На этом этапе на диаграмме деформирования, представленной в условных деформациях и напряжениях, может наблюдаться участок, для которого коэффициент деформационного упрочнения отрицателен. Примеры такого рода схлопывания автоволн локализованной пластичности для алюминия и титана показаны на рис. 2. Можно видеть, что с начала стадии предразрушения при условии n < 1/2 неподвижные на стадии параболического упрочнения очаги начинают перемещаться вдоль оси образца, приближаясь к высокоамплитудным стационарным зонам. Особенностью такого движения является согласованность скоростей перемещения очагов, благодаря которой все они достигают неподвижной зоны локализации почти одновременно. В этом случае графики зависимостей положений подвижных очагов от времени образуют пучки прямых с координатами центров и . Линии в пучках, подходящие к неподвижной зоне с разных сторон, имеют наклоны разного знака, а подходящие к неподвижной зоне с одной стороны - одного. В ходе процесса деформирования некоторые очаги локализованной деформации, движущиеся на этой стадии, могут появляться или исчезать, прекращая свое развитие. Рис. 2. Диаграммы локализованного пластического течения алюминия (а) и титана (б) Для описания кинетики очагов на стадии предразрушения при коллапсе автоволны локализованной пластичности начало координат удобно совместить с какой-либо неподвижной зоной локализации. В таком случае координата i-го очага определяет скорость его перемещения , (7) где и - эмпирические константы, различные для разных материалов. Для понимания смысла уравнения (7) можно считать, что в начале стадии предразрушения очаг макролокализации симметрично окружен соседними, так как на стадии параболического упрочнения . В таком случае уменьшение расстояния между очагами с одинаковыми деформационными полями создает силу отталкивания, объясняющую, почему очаги, зародившиеся дальше от места будущего разрушения, движутся с большей скоростью в соответствии с соотношением (7). Положим, что скорость движения очагов локализованной пластичности есть термически активированный процесс, описывающийся стандартным соотношением , (8) где множитель для конкретного материала зависит только от температуры T; γ - активационный объем; U - энергия активации процесса; kB - постоянная Больцмана; V0 - константа. Инициирующее движение очагов напряжение может быть записано как , где σf - напряжение течения в образце, а вклад от неподвижного препятствия падает с ростом расстояния до него, т.е. . В качестве такого препятствия можно рассматривать неподвижный высокоамплитудный очаг локализованной пластичности, сформировавшийся в конце параболической стадии и определяющий место будущего разрушения (шейки). С учетом увеличения числа очагов и спада напряжения с расстоянием можно записать , откуда следует, что . Подстановка последнего соотношения в уравнение (8) приводит к соотношению пропорциональности , т.е., к уравнению (7). Экспериментальные данные для разных материалов показали, что величины и практически совпадают с экспериментально определенными координатой и временем разрушения образцов при натурных испытаниях. Можно предположить, что они соответствуют месту и моменту времени рождения крекона. Очевидно, для определения величин и полученные зависимости достаточно экстраполировать к большим временам. После этого вопрос о возможности определения положении центров графиков движения очагов на стадии предразрушения приобретает важный смысл. Эти данные могут быть использованы для прогнозирования момента и места будущего разрушения. Предсказать положение полюса, а значит, время и место разрушения можно уже при деформациях, составляющих 0.3-0.65 от предельной деформации до разрушения образцов исследованных материалов. Сравнение расчетных и реальных координаты и момента разрушения, показанное на рис. 3, свидетельствует о том, что эти величины линейно коррелированы, а пространственно-временные координаты полюса графиков движения очагов на стадии предразрушения почти совпадают с координатами места и времени реального разрушения. Рис. 3. Корреляция расчетных и экспериментальных данных о разрушении сплавов: а - для момента разрушения, б - для места разрушения. Коэффициенты корреляции сравниваемых величин ~ 0.95 Критические значения параметров и могут быть определены из зависимостей (7) с помощью соотношений и , где соответствует началу стадии коллапса. На рис. 3 приведены данные о корреляции расчетных и экспериментально наблюдаемых величин. Эти данные указывают на возможность предсказания места и момента разрушения объектов до появления внешних признаков разрушения при общей деформации, достаточно далекой от предельного удлинения при разрыве. Для этого достаточно экстраполировать зависимости до их пересечения в центре. Эта процедура перспективна для создания нового метода прогнозирования вязкого разрушения, например, в условиях обработки металлов давлением. Так, в работе [23], в которой были применены эти приемы, удалось выявить причину разрушения заготовок из сплава Zr - 1 мас.% Nb в процессе холодной прокатки тонкостенных труб для тепловыделяющих элементов энергетических ядерных реакторов. Анализ автоволновых картин позволил обнаружить области скачков остаточных напряжений, по границе которых происходило разрушение заготовок при холодной прокатке. Заключение В работе показано, что пластическое течение твердых тел является макроскопически локализованным на всем протяжении кривой пластического течения от предела текучести до предела прочности. В ходе процесса реализуется ограниченное количество форм локализации, каждая из которых зависит от действующего закона деформационного упрочнения и тесно с ним связана. По этой причине при анализе пластического течения на всем протяжении процесса необходимо принимать во внимание то обстоятельство, что независимо от частных особенностей процесса и даже его микромеханизма существуют общие для твердых тел автоволновые закономерности. В согласии с ними кинетика пластического течения определяется закономерностями смены форм макроскопической локализации деформации, т.е. последовательной генерацией нескольких мод автоволн локализованного пластического течения и формированием однозначно соответствующего стадии деформационного упрочнения паттерна локализации. На этом основании можно с уверенностью предполагать, что автоволновые картины локализации окажутся полезными для предсказания и объяснения особенностей поведения материалов под нагрузкой.

Ключевые слова

пластичность, деформация, дефекты, автоволны, разрушение

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Зуев Лев БорисовичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНд.ф.-м.н., зав. лабораторией ИФПМ СО РАНlbz@ispms.tsc.ru
Горбатенко Вадим ВладимировичИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНк.ф.-м.н., ст. науч. сотр. ИФПМ СО РАНgvv@ispms.tsc.ru
Данилова Лидия ВладиславовнаИнститут физики прочности и материаловедения СО РАНаспирантка НИ ТГУlidaakvo@rambler.ru
Всего: 3

Ссылки

Hull D. and Bacon D.J. Introduction in Dislocations. - Oxford: Elsevier, 2011. - 272 p.
Егорушкин В.Е., Панин В.Е. // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 1. - С. 5-13.
Зуев Л.Б. Автоволновая пластичность. Локализация и коллективные моды. - М.: Физматлит, 2018. - 207 с.
Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. - М.: URSS, 2014. - 316 с.
Zuev L.B. // Phys. Wave Phenom. - 2012. - V. 20. - No. 3. - P. 166-173.
Кудрин А.Б., Бахтин В.Г. Прикладная голография. Исследование процессов деформации металлов. - М.: Металлургия, 1988. - 248 с.
Зуев Л.Б., Колосов С.В., Надежкин М.В. // Изв. вузов. Физика. - 2020. - Т. 63. - № 5. - С. 25-31.
Pelleg J. Mechanical Properties of Materials. - Dordrecht: Springer, 2013. - 634 p.
Zuev L.B., Barannikova S.A., Danilov V.I., and Gorbatenko V.V. // Prog. Phys. Met. - 2021. - V. 22. - No. 1. - P. 3-57.
Blaschke D.N., Motolla E., and Preston D.L. // Phil. Mag. - 2020. - V. 100. - No. 5. - P. 571-600.
Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. - М.: Наука, 1991. - 279 с.
Малыгин Г.А. // ФТТ. - 2000. - Т. 42. - № 1. - С. 69-75.
Кадомцев Б.Б. // УФН. - 1994. - Т. 164. - Вып. 5. - С. 449-530.
Дроздовский Б.А., Фридман Я.Б. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей. - М.: Металлургиздат, 1960. - 260 с.
Zuev L.B. and Semukhin B.S. // Phil. Mag. A. - 2002. - V. 82. - No. 5. - P. 1183-1190.
Никитин Е.С., Семухин Б.С., Зуев Л.Б. // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т. 34. - Вып. 15. - С. 70-74.
Lebyodkin M.A., Zhemchuzhnikova D.F., Lebedkina T.A., and Aifantis E.C. // Res. Phys. - 2019. - V. 12. - No. 5. - P. 867-869.
Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
Zuev L.B. and Barannikova S.A. // Metals. - 2020. - V. 10. - P. 1-15.
Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. - М.: Физматлит, 2007. - 631 с.
Морозов Е.М., Полак Л.С., Фридман Я.Б. // ДАН СССР. - 1964. - Т. 146. - № 3. - С. 537-540.
Умэдзава Х., Мацумото Х., Татики М. Термополевая динамика и конденсированные состояния. - М.: Мир, 1985. - 504 с.
Заводчиков С.Ю., Зуев Л.Б., Котрехов В.А. Металловедческие вопросы производства изделий из сплавов циркония. - Новосибирск: Наука, 2012. - 255 с.
 Модель пластической деформации и разрушения твердых тел | Известия вузов. Физика. 2021. № 9. DOI: 10.17223/00213411/64/9/75

Модель пластической деформации и разрушения твердых тел | Известия вузов. Физика. 2021. № 9. DOI: 10.17223/00213411/64/9/75