Analytical solution of the Shredinger equation for the linear combination of the Manning-Rosen and the class of Yukawa p.pdf Введение Исследования аналитического решения волновых уравнений в потенциальных полях в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике всегда играли и будут играть важную, может быть и основную, роль в исследованиях в области физики ядра и элементарных частиц, а также физики атомов и молекул. В потенциальных моделях физические свойства микрообъектов описываются и интерпретируются с помощью различных волновых уравнений, например, уравнения Шредингера, уравнения Дирака, уравнения Клейна - Фока - Гордона, релятивистского конечно-разностного уравнения. При этом используются точные или феноменологически введенные потенциалы взаимодействия. Таких потенциалов немало. Самыми известными потенциалами, широко применяемыми как в релятивистской, так и нерелятивистской областях, являются потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал, а также их различные комбинации. К другим видам потенциалов взаимодействия относятся, например, следующие: потенциалы Кратцера, Морса, Эскарта, Maннинга - Розена, Пешля - Теллера, Хюльтена, Вуда - Саксона, Макарова, Хартмана, Ринга - Шапеда и др. Значимость потенциальной модели, в первую очередь, определяется тем, насколько она хорошо описывает те или иные свойства рассматриваемой физической системы. Другая важная сторона модели - ее точная решаемость. В квантовой механике точные решения, аналитические и численные решения как релятивистских, так и нерелятивистских волновых уравнений для разных потенциалов представляют большой интерес [1, 2]. Особенно аналитические решения Шредингера, Клейна - Фока - Гордона и уравнения Дирака имеют огромное значение в квантовой механике, потому что волновая функция обеспечивает всю важную информацию для полного описания квантовых систем. Небольшое количество потенциалов может быть решено точно для уравнения Шредингера с любыми радиальными и орбитальными квантовыми числами [1, 2]. Традиционно многие квантовые системы могут быть изучены только методами приближений и числового решения [3]. До настоящего времени несколько методов, включая суперсимметрию, разложение на множители, подход с использованием лапласовского преобразования, интегралы по траектории, метод Никифорова - Уварова (НУ) [4], были развиты и направлены на решение квантового волнового уравнения. Метод НУ имеет большую практическую значимость для решения дифференциальных уравнений второго порядка, превращая их в уравнения гипергеометрического типа. Более того, различные экспоненциальные и гиперболические потенциалы решаются аналитически с использованием различных приближений по методу НУ. В принципе, экспоненциальные потенциальные модели всегда привлекают значительное внимание и интенсивно используются в различных физических системах, включая квантовую космологию, ядерную физику, молекулярную физику, физику элементарной частицы и физику конденсированной среды. Много потенциалов экспоненциального типа, включая потенциал Хюльтена, потенциал Морса, потенциал Маннинга - Розена, потенциал Вуда - Саксона, потенциал Эскарта, потенциал Розена - Морса, ранее были исследованы и получены некоторые аналитические решения для связанного состояния с помощью приближения для этих моделей в состоянии [5-25] (и ссылки в них) . Уравнения Шредингера также были детально исследованы в работах [26-28]. Некоторые известные экспоненциальные потенциалы также могут быть включены в модель гиперболического потенциала, что дает возможность понять естественную динамику квантовой системы [29] (и ссылки в ней). В настоящей работе уравнения Шредингера для комбинированного потенциала, потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы при произвольном значении орбитального квантового числа ( ) аналитически решаются с помощью метода НУ. Таким образом, основная цель нашего исследования - аналитическое решение модифицированного уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы в рамках обычной квантовой механики с использованием метода Никифорова - Уварова. Применяя развитую аппроксимацию для преодоления проблемы, возникающей в случае в центробежной части потенциала, найдены собственные значения энергии и соответствующие радиальные волновые функции для любого значения орбитального углового момента . Статья построена следующим образом: в 1-м разделе представлено краткое описание метода Никифорова - Уварова. Во 2-м разделе даны решения для связанных состояний уравнения Шредингера для потенциала Маннинга - Розена плюс класс потенциала Юкавы при улучшенной схеме аппроксимации, полученные с помощью метода НУ. Частные случаи обсуждаются в разделе 3. Далее, в разделе 4, представлены численные результаты для уровней энергии в зависимости от потенциальных параметров и квантовых чисел и заключительные замечания о нашей работе. 1. Метод Никифорова - Уварова Метод Никифорова - Уварова успешно применяется для решения дифференциального уравнения второго порядка, которое имеет вид [4] . (1) Здесь и - полиномы не выше второй степени; - полином не выше первой степени. Если взять следующую факторизацию для функции : , (2) тогда уравнение (1) сводится к уравнению гипергеометрического типа , (3) где и удовлетворяют условию , а функция определяется выражением . (4) Здесь является параметром. Определение является существенным моментом при расчете . Данный параметр просто определяется из выражения (4) приравниванием дискриминант квадратного корня к нулю. Отсюда можно получить общее квадратное уравнение для . Значения можно использовать для вычисления собственного значения энергии с использованием следующей формулы: . (5) Полиномиальные решения задаются соотношением Родрига , (6) где - нормирующая постоянная; - весовая функция, которая определяется из уравнения . (7) В то же время функция удовлетворяет условию . (8) 2. Решение Уравнения Шредингера для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы в связанном состоянии Уравнение Шредингера для частицы с массой в сферической системе координат имеет вид [2] . (9) С учетом этого уравнения полная волновая функция в сферической системе координат записывается таким образом: . (10) В данном исследовании наша главная цель - найти аналитическое решение уравнения (9) для суммы потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы в связанном состоянии, применяя метод Никифорова - Уварова. Потенциал Маннинга - Розена широко используется для описания непрерывных и связанных состояний в системе взаимодействия. Этот потенциал применяется в различных областях, таких как атомная физика и физика молекул, физика конденсированных сред и элементарных частиц, ядерная физика. Для частицы под этим потенциалом квантовые эффекты могут стать значительными, особенно при сильной связи. Потенциал Маннинга - Розена определяется в виде [11, 12] . (11) Здесь параметр характеризует диапазон потенциалов и имеет размерность длины; и - два безразмерных параметра. Этот потенциал также используется для описания колебаний двухатомной молекулы и создает подходящую модель для других физических событий. В выражении (1), применяя соотношение , получаем (12) где , . (13) Здесь - параметр экранирования. Второй наш потенциал - это потенциал Юкавы, который был предложен Юкавой [30] как эффективный нерелятивистский потенциал, хорошо описывающий сильные взаимодействия нуклонов. Потенциал класса Юкавы можно представить как . (14) Здесь , определяют глубину потенциала. Для линейной комбинации потенциала Маннинга - Розена с потенциалом класса Юкавы применим новые приближения потенциала класса Юкавы в виде [31] ; (15) . (16) Тогда сумму потенциалов Маннинга - Розена и класса Юкавы можно представить так: . (17) Здесь ; (18) ; (19) . (20) Линейную комбинацию этих двух потенциалов можно использовать для изучения взаимодействий деформированной пары ядра и спин-орбитальной связи для частицы в потенциальном поле. Другое важное свойство данного потенциала - это использование его при описании колебаний внутри адронной системы. Кроме того, этот потенциал может служить удобной моделью для других физических событий. Из рассмотрения уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциала, можно получить более глубокую и точную оценку физических свойств волновых функций и энергий в связанных, дискретных, а также непрерывных состояниях взаимодействующих систем. На основании исследований в этом направлении в настоящей работе мы представляем решение радиального уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциалов Маннинга - Розена и класс Юкавы. Таким образом, наша основная цель - изучить квантово-механические системы на больших расстояниях. В рамках таких комбинированных потенциалов возможно изучать рассматриваемую квантовую систему на значительных расстояниях. Подставляя потенциалы (17) и функцию (10) в уравнение (9), для радиального уравнения Шредингера получаем . (21) Из уравнения (21) видно, что в случае центростремительный потенциал расходится. Это уравнение точно решается в случае . При получении аналитического решения для случая для преодоления трудностей, возникающих в центробежной части потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, подставляем выражение (16) в (21) и получаем . (22) Из уравнения (22) мы можем определить эффективный потенциал для суммы Маннинга - Розена и класс Юкавы . (23) Для решения уравнения (22) методом НУ необходимо преобразовать его к определенному типу гипергеометрического уравнения, которое имеет вид [4] . (24) Чтобы привести уравнение (22) к гипергеометрическому уравнению, которое имеет вид (24), мы вводим новую переменную : , . (25) Замены (25) учитываем в (22) и в результате получаем . (26) В уравнение (26) мы вводим новые обозначения, чтобы переписать дифференциальное уравнение в более компактном виде: , , . (27) Учитывая выражения (27) в уравнении (26), получаем . (28) Теперь мы можем успешно применить метод Никифорова - Уварова для решения уравнения (28). Сравнивая уравнение (28) с уравнением (24), для , и получаем , , . (29) Используя формулы (4) и выражение (29), для функции получаем (30) Здесь , , . (31) Параметр может быть найден из выражения (30) следующим образом. Из условия, что дискриминант уравнения (30) под квадратным корнем равен нулю, получаем , , ; (32) . (33) Подставляя выражения (33) в (30), для функции получаем (34) Как видно из выражения (34), полином имеет четыре возможных значения по методу НУ, но мы выбираем то значение , для которого функция имеет отрицательную производную. Другие значения не являются физическими. Отсюда соответствующие функции и имеют вид , ; (35) ; (36) ; (37) ; (38) . (39) Если выражения (37) и (38) подставить в (39), то для получаем . (40) В то же время определяется так: . (41) В выражениях (40) и (41) левые части равны и поэтому, приравнивая правые стороны этих выражений, получаем . (42) Решая уравнения (42) по , для нахождения собственных значений энергии находим аналитическое выражение . (43) Здесь , . (44) Подставляя выражение (44) в (43), получаем . (45) Учитывая выражение (27) в (45), для спектра энергии получаем аналитическое выражение в виде (46) Для нахождения радиальной функции частицы, движущейся в потенциальном поле Маннинга - Розена плюс класс Юкавы, мы факторизуем радиальную функцию : . (47) Применяя метод НУ, функция находится из условия . (48) Теперь, решая уравнение (48), для функции находим: . (49) Функция находится из формулы Родрига в виде . (50) Здесь - нормирующая постоянная; является весовой функцией и находится из решения уравнения Пеарсона в виде . (51) Решая уравнение (51) по , получаем . (52) Подставляя весовую функцию в (50), для функции находим (53) Учитывая, что , (54) для функции находим . (55) Используя полученные выражения (49) и (55) и подставляя их в выражение (47) для радиальной волновой функции , получаем . (56) Также мы можем выразить радиальную волновую функцию с помощью гипергеометрической функции, используя свойства полиномов Якоби. Отсюда получаем ; (57) . (58) В нашем случае , , . Тогда для функции получаем следующее выражение в компактном виде: . (59) Здесь - нормирующая постоянная, которая находится из условия нормированности: . (60) Используя интегральные формулы, получаем (61) В нашем случае , , тогда ; (62) ; (63) ; (64) . (65) Частные случаи Если в выражениях (46) и (59) учесть условия и , то получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Маннинга - Розена в случае s-волны. В этом случае , , (66) тогда . (67) Энергетический спектр определяется в виде . (68) В формуле (68) учитывая, что , как было отмечено выше, для s-волны находим . (69) Собственные волновые функции определяются как , (70) где . (71) Как видно из выражений (69) и (70), наши результаты полностью совпадают с результатами, представленными в [19]. Подставляя в выражения (46) и (59), также получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Маннинга - Розена для случая : ; (72) ; (73) . (74) Результаты, представленные в формулах (72) и (73), полностью соответствуют результатам, полученным в работах [32]. С другой стороны в выражениях (46) и (59), подставляя и , получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Юкавы в случае . В этом случае и , тогда ; (75) . (76) Учитывая выражения (75) и (76), получаем ; (77) . (78) Здесь . (79) 4. Обсуждение результатов и заключение В данной работе, используя метод Никифорова - Уварова, мы решили модифицированное радиальное уравнение Шредингера для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы для частицы при произвольных значениях орбитального квантового числа. Аналитические выражения для собственных значений энергии и соответствующие собственные функции получены для произвольного значения орбитального и радиального квантовых чисел. Показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные функции чувствительны к радиальному и орбитальному квантовым числам. В ходе решения уравнения Шредингера в случае произвольных значений орбитального момента мы применяли особый подход к центростремительному потенциалу для преодоления проблемы, связанной с компонентой, которая пропорциональна . Численные результаты для собственных значений энергии получены с помощью пакетной программы MATHEMATICA. В табл. 1 и 2 представлены численные результаты для собственных значений энергии для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы в атомных единицах как функция параметра экранирования для различных состояний, полученных с помощью метода Никифорова - Уварова в рамках обычной квантовой механики. В табл. 1 использованы следующие значения параметров: , , и . Наши результаты сравниваем с результатами, вычисленными для потенциала Маннинга - Розена. Как видно из сравнения этих результатов, в нашем случае частица находится в более глубоком устойчивом состоянии. В табл. 2 для параметров взяты значения , , и . Также было проведено сравнение наших результатов с другими результатами, полученными при использовании традиционного метода для потенциала Маннинга - Розена. Как видно из сравнения этих результатов, в нашем случае частица также находится в более глубоком устойчивом состоянии. В компактном виде найдены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для произвольных значений орбитального квантового числа. Используя свойства полиномов Якоби, собственные функции выражены через гипергеометрические функции. Также были получены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для потенциала Маннинга - Розена и класс Юкавы. Таблица 1 Численные результаты для собственных значений энергии в зависимости от параметра экранирования для уровней 2p, 3p, 3d, 4p, 4d, 4f, 5p, 5d, 5f, 5g, 6p, 6d, 6f и 6g при потенциальных параметрах: , , и ( = 1/2b) Наш результат [33] [34, 35] [36] [ 37] 2p 0.025 -0.547719 -0.1205793 -0.1205793 -0.1205271 0.1205273 0.050 -0.303029 -0.1084228 -0.1084228 -0.1082151 0.1082145 0.075 -0.237443 -0.0969120 -0.0969120 -0.0964469 0.0964433 0.100 -0.207645 -0.0860740 3p 0.025 -0.218226 -0.0459296 -0.0459297 -0.0458779 0.0458776 0.050 -0.118151 -0.0352672 -0.0352672 -0.0350633 0.0350589 0.075 -0.091562 -0.0260109 -0.0260110 -0.0255654 0.0255422 0.100 -0.0795369 -0.0181609 3d 0.025 -0.208957 -0.0449299 -0.0449299 -0.0447743 0.0447737 0.050 -0.112957 -0.0343082 -0.0343082 -0.0336930 0.0336832 0.075 -0.0874666 -0.0251168 -0.0251168 -0.0237621 0.0237106 4p 0.025 -0.109483 -0.0208608 -0.0208608 -0.0208097 0.0208087 0.050 -0.0573123 -0.0119291 -0.0119292 -0.0117365 0.0117209 0.075 -0.0436417 -0.0054773 -0.0054773 -0.0050945 0.0050086 4d 0.025 -0.105703 -0.0204555 -0.0204555 -0.0203017 0.0202993 0.050 -0.0552047 -0.0115741 -0.0115742 -0.0109904 0.0109492 0.075 -0.041985 -0.0052047 -0.0052047 -0.0040331 0.0037985 4f 0.025 -0.104216 -0.0202886 -0.0202887 -0.0199797 0.0199762 0.050 -0.0543757 -0.0114283 -0.0114284 -0.0102393 0.0101784 0.075 -0.0413335 -0.0050935 -0.0050935 -0.0026443 0.0022810 5p 0.025 -0.0610113 -0.0098576 -0.0098576 -0.0098079 0.0098055 0.050 -0.0303902 5d 0.025 -0.0591336 -0.0096637 -0.0096637 -0.0095141 0.0095074 0.050 -0.02935546 5f 0.025 -0.0583905 -0.0095837 -0.0095837 -0.0092825 0.0092712 0.050 -0.0289451 5g 0.025 -0.0579888 -0.0095398 -0.0095398 -0.0090330 0.0090190 0.050 -0.0287237 6p 0.025 -0.0356142 -0.0044051 -0.0044051 -0.0043583 0.0043531 6d 0.025 -0.0345667 -0.0043061 -0.0043061 -0.0041650 0.0041499 6f 0.025 -0.0341507 -0.0042652 -0.0042652 -0.0039803 0.0039528 6g 0.025 0.0339254 -0.0042428 -0.0042428 -0.0037611 0.0037220 Таблица 2 Численные результаты для собственных значений энергии в зависимости от параметра экранирования для уровней 2p, 3p, 3d, 4p, 4d, 4f, 5p, 5d, 5f, 5g, 6p, 6d, 6f и 6g при потенциальных параметрах: , , и ( = 1/2b) Наш результат [33] [34, 35] [36] [37] 2p 0.025 -0.40163 -0.0900228 -0.0900229 -0.0899708 -0.0899708 0.050 -0.221901 -0.0802472 -0.0802472 -0.0800400 -0.0800389 0.075 -0.173754 -0.0710332 -0.0710332 -0.0705701 -0.0705645 0.100 -0.151885 -0.0577157 3p 0.025 -0.175679 -0.0369650 -0.0369651 -0.0369134 -0.0369130 0.050 -0.0946956 -0.0274719 -0.0274719 -0.0272696 -0.0272636 0.075 -0.0732181 -0.0193850 -0.0193850 -0.0189474 -0.0189163 0.100 -0.0635138 -0.0127043 3d 0.025 -0.184184 -0.0396344 -0.0396345 -0.0394789 -0.0394782 0.050 -0.0994764 -0.0300629 -0.0300629 -0.0294496 -0.0294379 0.075 -0.0769931 -0.0218120 -0.0218121 -0.0204663 -0.0204058 0.100 -0.06683 Окончание табл. 2 ( = 1/2b) Наш результат [33] [34, 35] [36] [37] 4p 0.025 -0.0918985 -0.0172249 -0.0172249 -0.0171740 -0.0171728 0.050 -0.0477117 -0.0091019 -0.0091019 -0.0089134 -0.0088935 0.075 -0.0361726 -0.0035478 -0.0035478 -0.0031884 -0.0030791 0.100 -0.0310011 4d 0.025 -0.0955808 -0.0183649 -0.0183649 -0.0182115 -0.0182087 0.050 -0.0497693 -0.0100947 -0.0100947 -0.0095167 -0.0094697 0.075 -0.0377913 -0.0042808 -0.0042808 -0.0031399 -0.0028746 4f 0.025 -0.0973226 -0.0189222 -0.0189223 -0.0186137 -0.0186098 0.050 -0.0507429 -0.0105852 -0.0105852 -0.0094015 -0.0093353 0.075 -0.0385574 -0.0046527 -0.0046527 -0.0022307 -0.0018402 5p 0.025 -0.052249 -0.0081308 -0.0081308 -0.0080816 -0.0080787 0.050 -0.0256764 5d 0.025 -0.0541426 -0.0086902 -0.0086902 -0.0085415 -0.0085340 0.050 -0.0267721 5f 0.025 -0.0550327 -0.0089622 -0.0089622 -0.0086619 -0.0086497 0.050 -0.0272124 5g 0.025 -0.0555451 -0.0091210 -0.0091210 -0.0086150 -0.0086002 0.050 -0.0274954 6p 0.025 -0.0307326 -0.0035334 -0.0035334 -0.0034876 -0.0034813 6d 0.025 -0.0318115 -0.0038209 -0.0038209 -0.0036813 -0.0036647 6f 0.025 -0.0323168 -0.0039606 -0.0039606 -0.0036774 -0.0036481 6g 0.025 -0.032607 -0.0040422 -0.0040422 -0.0035623 -0.0035214 Кроме того, было показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные волновые функции чувствительны к выбору радиальных и орбитальных квантовых чисел. Следовательно, исследование аналитического решения модифицированного уравнения Шредингера для потенциала Маннинга - Розена плюс класс Юкавы в рамках квантовой механики может способствовать получению важной информации о динамике в ядерной, атомной и молекулярной физике и дает возможность для более глубокого изучения данной задачи. Таким образом, мы можем сделать вывод, что полученные нами результаты будут интересны не только физику-теоретику, но и физику-экспериментатору, благодаря точным и более общим результатам. Автор выражают благодарность А.И. Ахмедову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации