The dependence of the propagation speed of the equilibrium radiation on temperature.pdf Введение Классические уравнения Максвелла в вакууме линейны и содержат фундаментальную посто-янную размерности скорости, которая имеет смысл скорости распространения электромагнитных волн. Однако в рамках квантовой электродинамики взаимодействие электромагнитного поля с ва-куумом электрон-позитронного поля приводит к взаимодействию фотонов друг с другом [1]. Вследствие этого уравнения электромагнитного поля становятся нелинейными. Хотя эта нелиней-ность и эффекты рассеяния света на свете, как правило, ничтожно малы, они могут приводить к качественно новым явлениям, в частности, к зависимости скорости света равновесного излучения от температуры. Зависимость скорости распространения света в материальной среде от темпера-туры является естественным эффектом, поскольку диэлектрическая проницаемость среды зависит от термодинамических переменных и, в частности, от температуры. В случае, рассматриваемом в данной работе, речь идет о зависимости скорости света от температуры в вакууме, в чем проявля-ется сложная природа физического вакуума. Температурная поправка к скорости света ранее рас-сматривалась в работе [2]. Влияние модификации вакуума, вызванное различными внешними ус-ловиями, на скорость распространения света при конечной температуре исследовалось в [3-7]. В данной работе влияние взаимодействия фотонов на скорость их распространения рассмот-рено в рамках теории самосогласованного поля, что позволяет учесть эффект среднего поля, соз-даваемого фононами, величина которого существенно зависит от плотности числа фотонов. Для описания равновесного электромагнитного излучения использована модель самосогласованного поля в том варианте, который для нерелятивистских ферми- и бозе-систем был развит в работах [8-10]. К релятивистским полевым моделям этот подход был применен в [11, 12]. Влияние нели-нейных эффектов на распространение фононов в рамках указанного подхода исследовалось в ра-ботах [13, 14]. В них теория Дебая была обобщена с учетом взаимодействия фононов и было пока-зано, что скорость распространения фононов возрастает с температурой. Здесь аналогичный под-ход использован для описания системы взаимодействующих фотонов, взаимодействие между ко-торыми учитывается с помощью гамильтониана Эйлера - Гейзенберга [1]. Показано, что при низ-ких частотах, таких что , где - частота фотона, m - масса электрона, c - скорость све-та, поправка к скорости света положительна и пропорциональна . В этом пределе рассматри-ваемый эффект очень мал. Представляет интерес рассмотреть данный эффект в противоположном высокочастотном пределе , что отвечает очень высоким температурам. Хотя, строго го-воря, в этом пределе мы выходим за рамки применимости описания с помощью гамильтониана Эйлера - Гейзенберга, тем не менее данная модельная задача представляет заметный интерес и приводит к разумным результатам. В частности, в этом высокотемпературном пределе оказывают-ся выполненными все термодинамические соотношения, что указывает на непротиворечивость использованного подхода. Температуры, отвечающие этому пределу, по-видимому, не могут быть реализованы в совре-менных условиях. Однако условие должно было реализовываться в первые мгновения эволюции Вселенной после Большого взрыва, когда температуры были аномально велики в срав-нении с температурами современной эпохи. На этом раннем этапе эволюции скорость света долж-на была на много порядков превосходить современную. В работе рассчитаны термодинамические характеристики равновесного излучения с учетом зависимости скорости света от температуры. 1. Самосогласованное описание нелинейного электромагнитного поля Обычно гамильтониан многочастичной системы может быть представлен в виде суммы га-мильтониана невзаимодействующих частиц и оператора их взаимодействий. При использовании теории возмущений в качестве главного приближения чаще всего выбирают гамильтониан не-взаимодействующих частиц, а оператор их взаимодействия рассматривается в качестве возмуще-ния. Однако эффективность использования теории возмущений существенно зависит от удачного выбора главного приближения. Выбор гамильтониана свободных частиц в качестве такого при-ближения оказывается, как правило, неудачным, и для получения физически корректных резуль-татов возникает необходимость суммировать бесконечное число слагаемых [15]. С понижением температуры вклад кинетической энергии в полную энергию системы уменьшается и на первый план выходит энергия взаимодействия частиц, которую уже нельзя рассматривать как малую по-правку к кинетической энергии. Кроме того, пренебрежение взаимодействием в главном приближе-нии не позволяет эффективно изучать фазовые переходы. Можно, однако, переформулировать теорию возмущений, учитывая приближенно взаимодействие уже в главном приближении мето-дом самосогласованного поля [8-12]. Учет таким методом взаимодействия фононов в твердом те-ле в континуальной модели Дебая [13, 14] приводит к перенормировке скорости звука и появле-нию ее зависимости от температуры. В данной работе аналогичный подход применен к анализу влияния взаимодействия фотонов на распространение света в вакууме. Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена в виде суммы двух сла-гаемых , (1) где первое слагаемое, квадратичное по напряженностям электрического и магнитного полей , (2) определяет энергию невзаимодействующего электромагнитного поля, а второе (3) описывает взаимодействие фотонов вследствие рождения виртуальных электрон-позитронных пар [1]. Постоянная в (3) может быть рассчитана методами квантовой электродинамики [1] и в гауссовых единицах , где безразмерный коэффициент ; - постоянная тонкой структуры; - масса электрона. В приведенные коэффи-циенты входит постоянная , имеющая размерность скорости, которую мы назовем «затравоч-ной» скоростью света. Для оценки коэффициентов величину этой скорости мы взяли равной на-блюдаемой скорости света, хотя, как будет показано, она несколько отличается от наблюдаемой скорости света при нулевой температуре. Коэффициент в формуле (3) удобно записать через ком-птоновскую длину волны электрона в виде . Представляет интерес оценить величину отношения энергий . Эта величина равна отношению энергии поля, заключенного в объеме , к энергии покоя электрона. К тому же это отношение должно быть еще умножено на малый безразмерный коэффициент . При напряженности магнитного поля порядка получаем , так что вклад взаимодействия в полную энергию поля действительно крайне мал. Перейдем к описанию электромагнитного поля в терминах фурье-компонент полей, используя разложение полей по плоским волнам . (4) Тогда полный гамильтониан поля в объеме , в соответствии с (1), является суммой свободного гамильтониана и гамильтониана взаимодействия , (5) где ; (6) (7) Здесь , если , и , если . В (6) и (7) можем перейти к операторам рождения и уничтожения фотонов, используя представления операторов фурье-компонент полей: (8) где , а для векторов поляризаций справедливы условия ортонормируемости и пол-ноты: , (9) а также условия . (10) Свободный гамильтониан поля (6) приводится к сумме гамильтонианов гармонических осцилля-торов . (11) Электромагнитное поле с учетом нелинейных эффектов характеризуется полным гамильто-нианом (5). Для учета взаимодействия в многочастичной системе в качестве главного приближе-ния, как правило, выбирается гамильтониан невзаимодействующих частиц, в нашем случае это (11), а в качестве возмущения рассматривается гамильтониан взаимодействия (7). Такой вы-бор, как было отмечено выше, не является наилучшим, поскольку в главном приближении полно-стью игнорируются эффекты, обусловленные взаимодействием, которое в рассматриваем случае хотя и мало, но может, как увидим, приводить к качественно новым эффектам. Из самосогласо-ванного подхода к описанию многочастичных систем известно, что учет в главном приближении эффектов взаимодействия приводит к изменению закона дисперсии исходных частиц, и поэтому мы переходим от представления свободных частиц на язык коллективных возбуждений - квазича-стиц. Естественно считать, что и в рассматриваемом здесь случае эффекты взаимодействия приве-дут к перенормировке «затравочной» скорости света , входящей в свободный гамильтониан. С учетом этого разобьем полный гамильтониан (5) на главную часть и возмущение иначе, а именно , (12) где самосогласованный (или аппроксимирующий) гамильтониан выберем в виде, аналогичном свободному гамильтониану (11), но с перенормированной за счет фотон-фотонного взаимодейст-вия скоростью света : . (13) Здесь . Корреляционный гамильтониан, описывающий взаимодействие перенормирован-ных или «одетых» фотонов выбран так, чтобы полный гамильтониан остался неизменным: . (14) Этот гамильтониан описывает взаимодействие фотонов, распространяющихся с перенормирован-ной скоростью света, которое учитывать не будем. В формулы (13), (14) входит слагаемое , не содержащее операторов, учет которого оказывается важным для корректной формулировки модели самосогласованного поля. Выберем его из тех соображений, чтобы аппроксимирующий гамильтониан (13) был максимально близок к точному гамильтониану. Для этого необходимо, чтобы величина была минимальной, т.е. равной нулю. Отсюда получаем естественные для тео-рии самосогласованного поля условия: . (15) Усреднение производится с помощью статистического оператора , (16) где - свободная энергия; - обратная температура. Условие (15) позволяет определить неоператорную часть гамильтониана (13): , (17) где функция распределения перенормированных фотонов имеет планковский вид (18) и не зависит от индекса поляризации. Из условия нормировки статистического оператора (16) следует выражение для свободной энергии излучения . (19) В пренебрежении фотон-фотонным взаимодействием и нулевыми флуктуациями из формулы (19), разумеется, следуют обычные формулы термодинамики черного излучения [16]. Естественно по-требовать, чтобы в используемом приближении с гамильтонианом (13) и свободной энергией (19), как и в случае газа невзаимодействующих фотонов, выполнялись соотношения термодинамики. Поскольку сама введенная перенормированная скорость , в принципе, может зависеть от термо-динамических переменных, то для выполнения соотношений термодинамики должно выполняться условие . (20) Из этого условия и формулы (19) следует соотношение, определяющее перенормированную ско-рость: . (21) Поскольку в (21) входит зависящая от температуры функция распределения (18), то, естественно, и скорость света является функцией температуры. Таким образом, следует рассчитать среднее от гамильтониана взаимодействия . При этом, как и в теории фононов в твердом теле [13, 14], возникают расходящиеся интегралы. При описании фононов в рамках континуальной мо-дели обрезание таких интегралов естественно производить на волновом числе, равном обратному среднему расстоянию между частицами, или, при интегрировании по частоте, на частоте Дебая. В случае фотонов расходящиеся интегралы будем обрезать на волновом числе , выбор которого обсудим ниже. С учетом этого расчет среднего от гамильтониана взаимодействия (7) дает , (22) где , - дзета-функция. Пусть - отношение завися-щей от температуры скорости света к «затравочной» скорости света. Учитывая, что из (21) находим уравнение для : . (23) Отсюда следует, что отношение скорости света при нулевой температуре к «затравочной» ско-рости света определяется формулой . (24) Непосредственно измеримой скоростью является скорость света при нулевой температуре. Как следует из (24), эта скорость не совпадает с «затравочной» скоростью света, что связано с учетом взаимодействия фотонов. В силу слабости этого взаимодействия и должны отличаться очень мало, и в главном приближении их можно было бы считать равными, что не сказалось бы на по-следующих выводах. Тем не менее представляет определенный интерес более детально выяснить связь и , которая, как видно из (24), существенно определяется выбором волнового числа , на котором проводится обрезание расходящихся интегралов. Это волновое число найдем из усло-вия , так что равно обратной комптоновской длине волны электрона . Данное условие означает, что реальный электрон не может родиться из энергии нулевых флуктуаций. Аналогичный способ обрезания расходящихся интегралов использовался, например, Бете при нерелятивистском расчете лэмбовского сдвига [17]. При таком способе обре-зания из (24) следует , (25) где , и - постоянная тонкой структуры, записанная через на-блюдаемую скорость света. Формула (25) определяет отношение через наблюдаемую постоянную тонкой структуры. С ее помощью ненаблюдаемая «затравочная» скорость может быть исключена из уравнения (23). В итоге приходим к уравнению для безразмерной величины , которая равна отношению наблюдаемых скоростей света при конечной и нулевой температурах: . (26) Здесь ; - безразмерная температура; - характерная температура, определяемая энергией покоя электрона , (27) так что . Таким образом, из формулы (26) следует, что скорость света возрастает с увеличением температуры. В отличие от «затравочных» фотонов с законом дисперсии , фотоны, чья скорость определяется уравнением самосогласования (26) и зависит от температуры, ес-тественно называть «самосогласованными» фотонами, которые имеют закон дисперсии . При имеем . Поскольку коэффициент очень мал, то температурная зави-симость скорости света может проявляться только при очень высоких температурах. Для наблю-даемого реликтового излучения с температурой К имеем , так что скорость света практически совпадает со скоростью света при нулевой температуре. Внутри звезд темпера-тура может достигать десятков миллионов градусов. Например, при температуре внутри Солнца, равной 15 миллионов градусов, имеем . Это означает, что скорость света внутри Солнца отличается от скорости света при нулевой температуре на величину . Для того чтобы скорость света равновесного излучения при конечной температуре отличалась от скорости света при нулевой температуре на один процент , необходима температура . Отметим, что полученная выше температурная поправка к скорости света пропорциональна , как и в работе [2], но имеет противоположный (положительный) знак. Это, возможно, связано с тем, что в данном подходе учитывается влияние среднего поля, создаваемого всеми фотонами. Хотя, как отмечалось, гамильтониан (3) справедлив при низких частотах и, следовательно, при низких температурах, тем не менее, рассматривая этот гамильтониан как модельный, представляет интерес рассмотреть и случай высоких температур. Как оказывается, в этом пределе также полу-чаем непротиворечивые результаты, в частности, оказываются выполненными все термодинами-ческие соотношения. Поэтому есть основания надеяться, что полученные результаты будут, хотя бы качественно, правильно описывать влияние взаимодействия фотонов на скорость света в этом высокотемпературном пределе. В пределе очень высоких температур имеем . (28) В современную эпоху такое условие, по-видимому, не реализуется. Однако учет зависимости ско-рости света от температуры должен иметь принципиальное значение на самой ранней стадии эво-люции Вселенной, когда могла быть справедливой зависимость (28). В модели горячей Вселенной [18] в первые мгновения после Большого взрыва температура Вселенной была аномально высока в сравнении с современными температурами. Как следует из полученных выше соотношений, в эту эпоху была большой, в сравнении с современной, также и скорость света. По мере расширения Вселенной и ее остывания скорость света уменьшалась и в нашу эпоху достигла своего значения, практически равного скорости света при нулевой температуре. При планковской температуре скорость света на много порядков должна была бы превосходить современную: . Пример того, как менялась скорость света по мере остывания Все-ленной в первые мгновения после Большого взрыва, дан в таблице. Величина скорости света при различных температурах в первые мгновения после Большого взрыва 5.410-44 1.21019 1.421032 4.91022 1.31047 0.81017 10-39 1016 1029 3.51019 1.61045 2.31014 10-11 100 1015 3.5105 6.51036 1.5103 10-5 0.2 21012 6.9102 1.41035 10 10-2 10-2 21011 69 2.51034 1.9 1.5 0.710-3 0.81010 2.8 4.91030 1.00003 Причиной большого эффекта на малых временах при слабом фотон-фотонном взаимодействии, как видно из предпоследнего столбца таблицы, является чрезвычайно большая плотность фотонов при таких температурах. 2. Термодинамика равновесного излучения самосогласованных фотонов Приведем общие формулы для термодинамических функций газа самосогласованных фото-нов. Свободная энергия (19), выраженная через наблюдаемую скорость света, может быть записа-на в виде , (29) где - энергия нулевых колебаний. Нетрудно убедится, что уравнение (26) следу-ет из условия . Это условие позволяет из выражения для свободной энергии (29) най-ти по обычным формулам давление и энтропию , причем зависящий от температуры параметр , в силу выполнения приведенного условия, дифференцировать не нужно. С учетом (26) формулы для давления и энтропии могут быть записаны в виде ; (30) . (31) Полная энергия есть . (32) В пренебрежении взаимодействием фотонов, когда , и без учета вакуумных флуктуаций формулы (29) - (32) переходят в классические формулы теории черного излучения [16]. Для пере-хода к этому пределу удобно воспользоваться формулой . Однако даже в пренебрежении взаимодействием фотонов учет вакуумных флуктуаций приводит к появлению в полной энергии черного излучения дополнительной энергии , а в выражении для давления (30) появляется отрицательный вклад от вакуумных флуктуаций. Это приводит к тому, что вместо обычной связи энергии и давления [16] при учете флуктуаций получим . При температурах полное давление оказывается отрицательным и меняет знак, становясь положительным, при . Учет взаимодействия фононов приводит к небольшо-му смещению температуры, при которой давление меняет знак. Эта температура может быть найдена из уравнений (26) и (30), что дает . Отметим, что в энтальпию , (33) как и в энтропию (31), вакуумные флуктуации вклада не вносят. При вычислении теплоемкости газа фотонов уже необходимо учесть зависимость скорости света от температу-ры, воспользовавшись формулой (26), так что получим . (34) Приведем также формулу для числа фотонов . (35) В низкотемпературном пределе формулы (33) - (35), разумеется, переходят в известные формулы теории черного излучения [16]. 3. Функция распределения фотонов и термодинамика равновесного излучения при высоких температурах Несмотря на то, что для описания взаимодействия фотонов использовался гамильтониан Эй-лера - Гейзенберга (3), который, строго говоря, справедлив для достаточно низких частот, тем не менее и в пределе высоких температур общие формулы, полученные с его помощью, приводят к правильным и непротиворечивым термодинамическим соотношениям. В области высоких темпе-ратур , функции распределения числа фотонов и энергии по волновому числу имеют при всех температурах планковский вид , (36) где , так что полные плотности числа фотонов и энергии есть соответственно и . Однако входящий в (36) параметр по-разному зависит от температуры в низкотемпературном и высокотемпературном пределах. При низких температурах , а при высоких температурах , где . В частности, в случае низких температур, как известно, максимумы распределений (36) смещаются в сторону больших энергий пропорционально температуре соответственно как и (закон смещения Вина) [10]. В пределе высоких температур происходит также смещение максимумов распределений (36) с ростом температуры в сторону больших энер-гий, но гораздо медленнее, как и соответственно. При переходе к функциям распределения по частоте в (36) , и максимумы распределений по частоте с температурой смещаются одинаково при всех температурах как - по числу фотонов и - по энергии. В высокотемпературном пределе зависимость термодинамических функций равновесного из-лучения от температуры определятся следующими формулами: (37) Здесь давление и энергия связаны соотношением . Как видим, термодинамические вели-чины увеличиваются с температурой гораздо медленнее, чем при низких температурах. Отметим, что расчет плотности фотонов в таблице при высоких температурах был проведен с помощью формулы (37), тогда как расчет по стандартной формуле теории черного излучения дает еще более высокую плотность фотонов. Заключение Рассмотренный эффект зависимости скорости света в вакууме от температуры излучения имеет фундаментальное значение для понимания окружающего мира и эволюции Вселенной на начальной стадии. В специальной и общей теории относительности скорость света в вакууме счи-тается мировой постоянной. Уравнения общей теории относительности Эйнштейна обычно запи-сываются в такой форме, что левая их часть выражается через тензор кривизны пространства-времени и имеет чисто геометрическую природу, а в правой части стоит тензор энергии-импульса вещества и полей различной природы. Таким разделением геометрии и материи в уравнениях, как известно, был неудовлетворен сам Эйнштейн. Учет зависимости скорости света от условий, в ко-торых происходит его распространение, приводит к тому, что уже сам метрический тензор через входящую в него скорость света оказывается непосредственно зависящим от состояния материи и, таким образом, связь между материей и геометрией становится более тесной. Доказательством возможности зависимости скорости света от внешних условий весьма инте-ресовался Эйнштейн. По воспоминаниям П.Л. Капицы [19], когда он, работая в 30-е годы прошло-го века в Кавендишской лаборатории у Резерфорда, получил магнитные поля в 10 раз сильнее, чем получали до него, ряд ученых советовали ему провести опыты по исследованию влияния сильного магнитного поля на скорость света. Настойчивее всех это предлагал сделать Эйнштейн. Он гово-рил П.Л. Капице: «Я не верю, что бог создал вселенную такой, что в ней скорость света ни от чего не зависит». И все же П.Л. Капица отказался от предлагаемого опыта на том основании, что опыт обещал быть исключительно сложным, а эффект, если бы он был обнаружен, был бы наверняка на грани точности эксперимента, и доверия к этим результатам не было бы. Приведенные выше расчеты зависимости скорости света от температуры позволяют опреде-ленно утверждать, что, как и предполагал Эйнштейн, магнитное поле, также как и температура, будет влиять на скорость распространения света. Оценить порядок полей, при которых скорость света существенно изменится, можно приравнивая энергии (2) и (3) . Оценка дает . Поэтому прав был и П.Л. Капица, отказавшись от проведения трудоемкого экспери-мента, поскольку поля, необходимые для наблюдения подобного эффекта, должны быть столь ве-лики, что вряд ли могут быть реализованы в современных условиях. Проделанные расчеты основаны на гамильтониане (3), использование которого законно при достаточно низких частотах и температурах. Тем не менее полученные формулы приводят к ра-зумным соотношениям и при высоких температурах, так что можно надеяться, что они, по край-ней мере, качественно правильно отражают реальную ситуацию. Для более последовательного и строгого расчета следовало бы переформулировать квантовую электродинамику, выбирая в каче-стве главного приближения не свободные электрон-позитронное и фотонное поля, а гамильтониан в модели самосогласованного поля, аналогично тому, как это, например, сделано для скалярного и дираковского полей в [11, 12]. Это, разумеется, является весьма сложной задачей. Поскольку, согласно приведенным оценкам, в первые мгновения существования Вселенной скорость света на много порядков превосходила современное значение, это должно существенно повлиять на имеющиеся сценарии эволюции Вселенной на ее ранней стадии.

Скачать электронную версию публикации