Group of information differences in the extended parastatistics of quantum non-extensive systems.pdf Введение К настоящему времени сформировалась новая область - неэкстенсивная статистическая меха-ника и термодинамика. Подробный обзор теоретических и экспериментальных результатов приве-ден в [1-4]. Основой являются статистические модели с параметрическими энтропиями и инфор-мациями различия. Анализ различных мер и их свойств представлен в работах [1, 5]. Энтропия и информация различия (или относительная информация) при переходе между со-стояниями системы определяют соответственно статистические меры разупорядоченности и упо-рядоченности микросостояний системы, что является фундаментом для исследования процессов самораспада и самоорганизации. В работе [6] на основе метода квантовых состояний Бозе [7, 8] рассматривают различные аспекты парастатистики и ее расширение, при котором число частиц в i состоянии находится в произвольном диапазоне изменений. Изучены также свойства абелевых групп энтропий. Однако группа информаций различия не рассматривалась, что и является целью настоящей работы. 1. Квантовая информация различия и полунорма Используем метод квантовых состояний Бозе [7] и рассмотрим совокупность частиц с состояниями , где - число состояний. Система описывается статисти-кой состояний с и , означающей, что в i состоянии находятся частиц, ко-личество которых ограничено снизу и сверху. Для неэкстенсивных систем справедливы следую-щие равенства [6]: (1) c числом состояний и числом частиц . (2) Среднее число частиц в i состоянии имеет значение . (3) Усреднение ненормированным распределением для каждого i состояния с весом позволяет находить общее значение произвольной физической величины в виде взвешенного среднего . (4) Квантовая энтропия и информация различия представляются в виде средних значений ; (5) (6) неэкстенсивных микроскопических величин ; (7) , (8) для которых выпишем некоторые равенства (9) Информация различия (6) характеризует переход между состояниями и с соответствующи-ми равенствами , (10) где относится к состоянию . Меры (5) и (6) являются квантовыми аналогами энтропии Хаврда - Чарват - Дароши [9, 10] и информации различия Ратье - Каннапана [11] , впервые полученные в теории информации. При из (5) - (8) вытекают квантовые аддитивные логарифмические энтропии Больцмана и информации различия Кульбака ; (11) (12) с известными микроскопическими величинами и , а также выражения в методе Бозе для расширенной парастатистики [6] ; (13) . (14) Рассматривая равновесное состояние аддитивных систем, получим известное нормированное распределение , (15) которое вытекает из экстремума энтропии (11) при вариации с условиями сохранения общих значений энергии, числа частиц и числа состояний . (16) Здесь - температура; - химический потенциал. В итоге имеет место следующее сред-нее число частиц в i состоянии [6]: . (17) При , т.е. , из (17) вытекает выражение , (18) где второе слагаемое соответствует статистике Ферми - Дирака, что и следовало ожидать, по-скольку имеет два значения. Этот случай требует отдельного рассмотрения. При из (17) находим известное значение для традиционной парастатистики [8] . (19) В случае неэкстенсивных систем имеет место следующее равновесное распределение: , (20) которое вытекает из экстремума энтропии (5) со следующим условием сохранения . (21) Для энтропии получим экстремальное значение (22) c термодинамическим потенциалом и дифференциалом (23) При спонтанном переходе от произвольного состояния с к равновесному с получим информацию различия и ее дифференциал (24) со средними значениями неэкстенсивных величин . (25) Рассмотрим значения полунорм распределения и отношения распределений: ; (26) . (27) Для независимых систем полунормы отношений распределений запишем в виде (28) с , , . Для полунормы справедливо свойство мультипликатив-ности , выполняется свойство ассоциативности . Единичным элементом абелевой группы полунорм является , обратным элементом - . Тогда энтропия (5) и информация различия (6) с представятся в следующем виде ; (29) , (30) а для квантовых аналогов энтропии и информации различия Реньи [12] имеем выражения (31) 2. Группа информаций различия Введем среднее взвешенное значение информации различия (32) и, используя (28), получим закон композиции с квадратичной нелинейностью в общем виде , (33) где имеет произвольное значение. В случае меры (30) имеем . Закон композиции (33) обладает свойством коммутативности , ассоциативности , имеется единичный элемент и обратный элемент . Единичному элементу абелевой группы соответствует значение , а обратный элемент обозна-чается как . Из свойства вытекает выражение для обратного элемента . (34) Запишем некоторые равенства для элементов группы (35) Определение n-й степени элемента позволяет получить квадрат элемента . (36) Решая уравнение (36), получим «квадратный корень» элемента : . (37) Взаимосвязь этих элементов определяется соотношением . (38) Значение не является элементом группы, так как обратный элемент становится неопреде-ленным. Однако выполняется формальное соотношение . (39) Далее рассмотрим общий случай зависимости информации различия от полунормы отноше-ния распределений. Воспользуемся мультипликативностью полунорм для независимых систем и законом композиции (33). Тогда получим следующее уравнение: , (40) справедливое для исходных систем. Решением уравнения является функция . (41) Таким образом, имеем семейство мер информаций различия, зависящих от значений и . Степенная функция полунормы в (41) изучалась в работе [5]. При и из (41) вытекает информация различия (30). Отметим также еще две меры, обобщающие известные функ-ционалы. Полагая и , имеем двухпараметрическую информацию различия , (42) являющейся квантовым аналогом меры Шарма - Миттала [13]. Значение соответствует мере Реньи (31). Если , то получим однопараметрическую информацию различия (30). Квантовый аналог Кульбака (12) вытекает при и . При и следует мера , (43) которая представляет собой квантовый аналог информации различия Вайда [14] . Наконец, при из (41) вытекает уравнение (44) для семейства аддитивных мер с . Решением уравнения (44) является мера , (45) которая при равняется квантовому аналогу информации различия Реньи (31). Заключение Приводятся выражения параметрических информаций различия при нелинейном законе ком-позиции в абелевой группе информаций различия на случай квантовых неэкстенсивных систем в расширенной парастатистике. Рассматривается вывод семейства параметрических информаций различия, из которого вытекают известные и новые меры.

Скачать электронную версию публикации