Изучается энергия двумерного электронного кристалла в пределе низких плотностей. Показано, что первая поправка к электростатической энергии кристалла задается выражением 1.62733 rs-3/2 Ry. Ответ получен с помощью метода численного интегрирования.
Vacuum energy of two-dimensional electron crystal.pdf Введение Тот факт, что система взаимодействующих электронов на однородном компенсирующем фоне кристаллизуется при достаточно низких плотностях, считается сейчас общепринятым. Эта идея принадлежит Вигнеру [1], а соответствующая кристаллическая структура называется вигнеров-ским кристаллом. Так, например, конечной эволюцией белых карликов, по-видимому, является трехмерный вигнеровский кристалл. Двумерный электронный кристалл может быть создан, на-пример, над поверхностью жидкого гелия приложением сильного электрического поля в направ-лении, перпендикулярном поверхности [2]. Энергия основного состояния -электронного кристалла выглядит следующим образом: (1) где есть радиус сферы, совпадающей по объему с объемом, приходящимся на один электрон и измеренный в радиусах Бора. Первый член в (1) соответствует классической электростатической энергии, второй представляет собой энергию вакуумных колебаний фононов, третий и последую-щие описывают ангармонические эффекты. Ясно, что в пределе очень низких плотностей ( ) тип решетки определяется первым членом разложения. В трехмерном случае минимальную элек-тростатическую энергию имеет ОЦК-решетка, в двумерном - это гексагональная (треугольная) решетка. Разумно ожидать, что при увеличении плотности электронов возможен фазовый переход к другому типу решетки. Так, в работах [3, 4] обнаружены серии фазовых переходов в приближении Хартри - Фока. Аналогичные вычисления в рамках фононной теории отсутствуют. Здесь важно отметить, что энергии конкурирующих типов решеток чрезвычайно близки. В связи с этим задача о поиске возможных фазовых переходов сводится к задаче о прецизионном определении коэффи-циентов в формуле (1) для различных типов решеток. Значения коэффициентов и для трех-мерной ОЦК-решетки известны с высокой степенью точности [5]. В двумерном случае с высокой степенью точности известен только первый член [6], в качестве ответа для ваку-умного вклада приводится [7, 8] величина , что, по-видимому, соответствует результату, полученному квантовым методом Монте-Карло, а не вычислениям в рамках теории фононов, пер-вая ангармоническая поправка также не известна. Настоящая работа посвящена получению преци-зионного выражения для вакуумной энергии двумерного вигнеровского кристалла в пределе низ-ких плотностей. 1. Гармонический кристалл Модель желе представляет собой совокупность взаимодействующих электронов с плотностью числа частиц , движущихся на однородном нединамическом фоне противоположного заряда, единственная цель которого - обеспечить электронейтральность системы. Гамильтониан модели желе имеет следующий вид: (2) Здесь первый член есть кинетическая энергия электронов, второй член представляет собой куло-новскую энергию взаимодействия электронов между собой, третий соответствует взаимодействию электронов с положительным фоном и последний - фону с самим собой. В пределе низких плотностей электроны образуют кристаллическую структуру. Пусть тогда , где характеризуют положения узлов кристаллической решетки, а есть неболь-шие отклонения электронов от узлов. Если подставить выражение для в (2) и разложить его в ряд по малому параметру , то гамильтониан естественным образом распадется на сумму двух частей (3) Величина (4) не зависит от и описывает энергию статической решетки. Каждый член в является расходя-щимся, однако их сумма конечна. Анализ статической энергии решетки [9] показывает, что мини-мальное значение доставляется гексагональной, или треугольной, решеткой (связь параметра с плотностью числа частиц см. в разд. 2). Гамильтониан, описывающий динамику решетки, имеет вид (5) Матрица жесткости , очевидно, представляет собой матрицу вторых производных потен-циала взаимодействия электронов, вычисленную в положениях равновесия: (6) Гармоническое приближение соответствует случаю, когда все члены выше второго порядка по отброшены из гамильтониана (5). Энергия основного состояния для кристалла в гармониче-ском приближении, как известно, задается выражением (7) Здесь сумма по идет по первой зоне Бриллюэна, нумерует ветви дисперсионных кривых, а частоты представляют собой решение задачи на собственные значения для динамической матрицы: (8) Связь динамической матрицы с матрицей жесткости, а также детали ее вычисления приведены в разд. 3. 2. Геометрия гексагональной решетки Базисными векторами для гексагональной (треугольной) решетки являются векторы и , задающие общий вектор решетки (9) где - длина стороны треугольника. Объем, приходящийся на один электрон, традиционно представляется в виде объема d-мерной сферы: (10) Здесь есть радиус Вигнера - Зейтца, измеренный в радиусах Бора, . Так как гекса-гональная решетка содержит один электрон в элементарной ячейке, то , где объем эле-ментарной ячейки . Эти соображения позволяют связать длину стороны треуголь-ной решетки с радиусом Вигнера - Зейтца (плотностью электронов): (11) Базисными векторами решетки в обратном пространстве являются векторы и . Общий вектор обратной решетки тогда имеет вид (12) Несложно видеть, что решетка в обратном пространстве также является треугольной. Первая зона Бриллюэна (FBZ) представляет собой правильный шестиугольник со стороной , а неприводимая зона Бриллюэна (IBZ) задается следующими соотношениями: (рис. 1). Рис. 1. Первая зона Бриллюэна и ее гексагональное замощение, сгенерированное разбиением . Затемненный треугольник соответствует неприводи-мой зоне Бриллюэна 3. Динамическая матрица Динамическая матрица есть Фурье-образ матрицы жесткости: (13) Вычисляя матрицу жесткости (6) и учитывая ее симметрии, несложно получить для динами-ческой матрицы выражение (14) Здесь сумма идет по всей решетке в прямом пространстве за исключением начала координат. В формуле (14) мы также перешли к безразмерным длинам, , где новый (см. формулу (9)). Отметим, что аргумент динамической матрицы те-перь удобно считать принадлежащим первой зоне Бриллюэна, раздутой в раз (см. последний абзац разд. 2). Форма (14) малопригодна для вычислений, так как является медленно сходящимся рядом, од-нако его можно преобразовать в ряд, сходящийся быстро: (15) В последней формуле фигурирует так называемая функция Мизры, . Подробно-сти вычисления могут быть найдены, например, в [7]. Отметим, что динамическая матрица (15) написана без учета размерного множителя . 4. Вакуумная энергия Мы уже упоминали, что первая поправка в энергию основного состояния электронного кри-сталла задается энергией нулевых колебаний (16) где сумма по идет по всем точкам первой зоны Бриллюэна, определяемым периодическими гранусловиями. Выделяя из частот размерный множитель (см. формулы (14) и (11)) и выражая энергию в ридбергах, , получаем (17) В термодинамическом пределе количество разрешенных векторов плотно заполняет первую зону, и от суммирования можно перейти к интегрированию (18) Тот факт, что величины одинаковы для эквивалентных f-векторов, т.е. векторов, свя-занных операциями точечной группы симметрии обратной решетки, позволяет ограничить область интегрирования в f-пространстве неприводимым элементом первой зоны: (19) В силу того, что аналитическая зависимость собственной частоты от вектора неизвестна, разумно считать интеграл численно, по точкам некоторого разбиения. Обычно выбирают набор точек, имеющий геометрию, аналогичную геометрии обратной решетки, но на масштабе в раз меньше, т.е. разбиение, задаваемое с помощью вектора . Такое разбиение задает гекса-гональное замощение плоскости (см. рис. 1). Тогда (20) где - площадь «плиточки», а - так называемые весовые коэффициенты. Они учитывают тот факт, что не все «плиточки» целиком лежат внутри неприводимого элемента первой зоны. Так, для точек разбиения, попадающих в вершину треугольника, , для левого и правого углов треугольника и соответственно; точки, попавшие на ребра треугольников (но не в вершины) имеют , все внутренние точки берутся с единичным коэффициентом. Пло-щадь «плиточки» легко найти из уравнения (21) Собирая все вместе, имеем (22) Отметим, что в последней формуле отсутствует множитель . Задача на собственные значения была решена нами на компьютере для вышеприведенного разбиения при ; такое разбиение привело к ответу . Кроме того, были рассмотрены разбиения с другой геометрией, а также вышеупомянутое разбиение с большим зна-чением . Самый точный результат соответствует гексагональному разбиению с точками в IBZ: (23) Корректность полученных формул и программного кода была проверена на примере вычисления вакуумной энергии трехмерного вигнеровского кристалла. Результаты проверки отлично согласу-ются с ответом, приведенным в [5].
| Калиниченко Игорь Степанович | Национальный исследовательский Томский государственный университет | к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. лаборатории теоретической и математической физики, доцент кафедры квантовой теории поля НИ ТГУ | probustom@gmail.com |
Wigner E. // Phys. Rev. - 1934. - V. 46. - P. 1002-1011.
Crandall R. // Phys. Rev. A. - 1973. - V. 8. - No. 4. - P. 2136-2142.
Baguet et al. // Phys. Rev. Lett. - 2013. - V. 111. - P. 166402(1-5).
Baguet et al. // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 115115(1-7).
Albers R.C., Gubernatis J.E. // Phys. Rev. B. - 1986. - V. 33. - No. 8. - P. 5180-5185.
Borwein D. et al. // J. Phys. A: Math. Gen. - 1988. - V. 21. - P. 1519-1531.
Giuliani G., Vignale G. Quantum Theory of the Electron Liquid. - N.Y.: CUP, 2005. - 777 p.
Loos P.-F., Gill P.M.W. // Comput. Mol. Sci. - 2016. - V. 6. - P. 410-429.
Bonsall L., Maradudin A.A. // Phys. Rev. B. - 1977. - V. 15. - No. 4. - P. 1959-1973.
Вы можете добавить статью