Hamiltonian formalism for the collective fermionic waves in a quark-gluon plasma.pdf Введение В нашей работе [1] был построен классический гамильтонов формализм для описания нелинейных процессов взаимодействия коллективных бозонных возбуждений в горячей кварк-глюонной плазме (КГП). Нами был рассмотрен простейший случай взаимодействия, а именно взаимодействие коллективных продольно-поляризованных бесцветных глюонных возбуждений (плазмонов) в чисто глюонной плазме. В рамках общего гамильтонова подхода к построению волновой теории в нелинейных средах с дисперсией [2-8] был определен явный вид специального канонического преобразования с точностью до кубических членов по степеням квазичастичных бозе-операторов рождения и уничтожения плазмонов и , подчиняющихся обычным коммутационным соотношениям Данное каноническое преобразование позволяет упростить исходный гамильтониан взаимодействия мягких глюонных возбуждений и получить новый эффективный гамильтониан и кинетическое уравнение больцмановского типа, описывающее процесс упругого рассеяния плазмонов друг на друге. В данной статье мы распространили анализ, выполненный в [1], на фермионный сектор мягких плазменных волн. Как известно [9-12], в горячей кварк-глюонной плазме, включающей безмассовые кварки (и антикварки), существуют два типа физических фермионных мягких полей: нормальные возбуждения с соотношением между киральностью и спиральностью, как это имеет место в обычной квантовой теории поля, т.е. в системе при нулевой температуре, и чисто коллективные возбуждения, с абнормальным соотношением между киральностью и спиральностью. Для простоты ограничим свое рассмотрение только процессами с участием коллективных фермионных плазменных возбуждений, которые получили название плазмино [13]. Эти возбуждения являются истинно коллективным эффектом среды, не имеющим аналогов в обычной квантовой теории поля. В последующих рассуждениях будем обозначать абнормальную моду ферми-возбуждений символом (-) (символ (+) обычно используют для обозначения нормальной моды ферми-возбуждений). 1. Гамильтониан взаимодействия бесцветных плазмонов и плазминов Рассмотрим декомпозицию коллективной части волновой функции кварк-антикваркового поля на плоские волны где спинорный индекс , а спиноры и представляют собой решения свободного безмассового уравнения Дирака со спиральностью и Индексы обозначают цветовую степень свободы ферми-возбуждений и пробегают значения от до Фактор является вычетом эффективного кваркового пропагатора в полюсе абнормальной моды. Наконец, представляет собой дисперсионное соотношение для данной моды, удовлетворяющее следующему уравнению [10, 11]: (1) где - квадрат плазменной частоты кваркового сектора плазменных возбуждений. Коэффициенты и будем рассматривать как квазичастичные операторы уничтожения и рождения плазминов и соответственно коэффициенты и - как квазичастичные операторы уничтожения и рождения антиплазминов, подчиняющиеся коммутационным соотношениям ферми-операторов , аналогичные соотношения справедливы для d-операторов. Здесь и в дальнейшем для простоты записи мы опустили обозначение (-) у операторов. Кроме того, мы не будем выписывать явно зависимость операторов от спиральности всегда подразумевая, что суммированию по цветным индексам в фундаментальном представлении соответствует также суммирование по состояниям с определенной спиральностью. Наконец, ограничим свое внимание обсуждением процессов с участием только плазминов. Рассмотрение антиплазминной моды колебаний будет предметом отдельного исследования. Многоплазминные состояния получаются многократным действием оператора на вакуумное состояние , которое подчиняется следующему условию: Таким образом, под вакуумом понимается основное, невозбужденное состояние системы, т.е. состояние, не имеющее элементарных коллективных возбуждений. Запишем квантово-механический аналог уравнения Гамильтона, а именно уравнение Гейзенберга на оператор : Здесь оператор представляет собой гамильтониан системы плазминов: где - гамильтониан свободного фермионного поля, а - гамильтониан взаимодействия. В приближении малых амплитуд гамильтониан взаимодействия можно представить в виде формального интегро-степенного ряда по паре бозонных операторов и и паре фермионных операторов и : где в правой части гамильтонианы взаимодействия третьего и четвертого порядков имеют следующую структуру: (2) (3) Под символами «*» и « « понимается комплексное и эрмитово сопряжение соответственно. В выражении (3) мы оставили только «существенные», по терминологии В.Е. Захарова [3], четырех-плазминные и плазмин-плазмонные резонансные вклады. Как следствие правил квантования ферми-полей, коэффициенты , и обладают определенной симметрией: , , и определяются конкретными свойствами среды, в данном случае - высокотемпературной кварк-глюонной плазмы. 2. Канонические преобразования, включающие бозонную и фермионную степени свободы Рассмотрим преобразование исходных бозонных и фермионных операторов и к новым операторам и : ; (4) . (5) Условия каноничности данных преобразований определяются двумя системами интегральных соотношений. Первая система имеет следующий вид: (6) и соответственно вторая система - (7) По повторяющимся цветным индексам (и соответственно спиральностям) подразумевается суммирование. Эти соотношения* налагают определенные ограничения на функциональную зависимость (4) и (5). Представим правую часть (4) и (5) в виде интегро-степенного ряда по операторам и и их сопряженным. Наиболее общая зависимость для связи (4), вплоть до кубичных членов, имеет следующий вид: (8) Аналогично наиболее общая зависимость для преобразования (5) задается выражением (9) Отметим, что коэффициентные функции и обладают определенной «естественной» симметрией и т.п. Эти соотношения симметрии являются тривиальным следствием правил квантования в бозонном и фермионном случаях. Далее, подставляя (8) и (9) в систему уравнений (6) и (7), находим условия, связывающие различные коэффициентные функции между собой. Здесь мы приводим только алгебраические соотношения на коэффициентные функции второго порядка: , , , 3. Эффективный гамильтониан четвертого порядка В силу специфики дисперсионных уравнений для бозонных и фермионных возбуждений в горячей кварк-глюонной плазме резонансные условия для трехволновых процессов с участием плазмонов и плазминов не имеют решений. Тогда канонические преобразования (8) и (9) позволяют исключить «несущественный» гамильтониан , уравнение (2), полагая Данная процедура исключения приводит нас к следующей структуре эффективного гамильтониана четвертого порядка в терминах новых операторов и и их сопряженных: (10) где эффективные амплитуды упругого рассеяния плазмина на плазмине и плазмина на плазмоне имеют соответственно следующий вид: (11) + 4 (12) Найденные эффективные амплитуды имеют простую диаграммную интерпретацию. На рис. 1 представлена диаграммная интерпретация процесса упругого рассеяния плазмина на плазмине. Рис. 1. Процессы упругого рассеяния (типа Мёллера) плазмина на плазмине. Прямые линии обозначают коллективные фермионные возбуждения Как будет показано в дальнейшем, в рамках классического описания рассматриваемой системы в выражении (11) отсутствует четырехплазминная амплитуда . По этой причине на данной диаграмме нет вклада, определяющего прямое взаимодействие четырех плазминов. Остальные члены связаны с взаимодействием двух плазминов с плазмоном, порождаемым эффективными вершинами , и с промежуточными «виртуальными» колебаниями. На рис. 2 представлена диаграммная интерпретация эффективной амплитуды . Рис. 2. Матричный элемент для процесса упругого рассеяния плазмина на плазмоне Первый график на рис. 2 представляет собой прямое взаимодействие плазмина с плазмоном, наведенное амплитудой в общем выражении (12). Оставшиеся члены, представляющие вклады s- и t-каналов, связаны с эффективными вершинами взаимодействия двух плазминов с плазмоном и трех плазмонов между собой с промежуточными «виртуальными» колебаниями. Эффективная амплитуда также включает в себя вклад от u-канала, не представленного на рис. 2. Явный вид трехплазмонных вершинных функций и, в частности, функции в (12) приведен в [1]. Оставшиеся трехточечные эффективные вершины будут определены в разд. 6. 4. Корреляционные функции четвертого и шестого порядков Как уже говорилось выше, гамильтониан (10) описывает процессы упругого рассеяния плазминов друг на друге и плазминов на плазмонах, т.е. процессы 2 → 2. Уравнения движения для фермионных и бозонных операторов определяются здесь соответствующими уравнениями Гейзенберга. Рассмотрим для конкретности в гамильтониане (10) первый вклад, который связан с процессом упругого рассеяния плазминов друг на друге. В этом случае имеем (13) и соответствующее уравнение на сопряженный ферми-оператор . Данные точные уравнения, в отсутствие внешнего цветного поля в системе, позволяют определить кинетическое уравнение на плотность числа бесцветных плазминов . Если совокупность ферми-возбуждений при малом уровне нелинейности имеет случайные фазы, то эту совокупность можно описывать статистически, вводя в дополнение к бозонной корреляционной функции [1] фермионную корреляционную функцию: (14) Здесь в явном виде выписана зависимость от спиральности. Как и в бозонном случае, необходимо подчеркнуть, что введение функции распределения квазичастиц (плазминов) , зависящей как от импульса плазмина, так и от координат и времени , имеет смысл только в том случае, когда число плазминов медленно меняется в пространстве и времени. Это значит, что изменение данной функции на расстояниях порядка длины волны и в течение промежутков времени порядка периода колебаний должно быть значительно меньше самой функции . Исходя из уравнений Гейзенберга (13), нетрудно определить уравнение, определяющее изменение плотности числа плазминов : (15) где - четырехточечная корреляционная функция. Дифференцируя далее по , с учетом (13) мы получаем уравнение, правая часть которого будет содержать четыре различные корреляционные функции шестого порядка по операторам и и т.д. Замкнем цепочку уравнений тем, что корреляционные функции шестого порядка выразим в терминах парных корреляционных функций (14). Так, например, для первой шеститочечной корреляционной функции имеем , где многоточие обозначает вклад еще четырех аналогичных членов. Их явный вид здесь не выписан, так как они не дают вклада в искомое кинетическое уравнение. В итоге получаем следующее уравнение на четырехточечную корреляционную функцию: (16) 5. Кинетическое уравнение для коллективных кварковых возбуждений Рассмотрим вывод кинетического уравнения, описывающего процесс упругого рассеяния плазминов друг на друге. Мы будем следовать рассуждениям, которые использовали для чисто бозонного случая [1]. В уравнении (16) пренебрегаем членом с производной по времени в сравнении с членом, содержащим разность собственных частот волновых пакетов. Вместо (16) тогда будем иметь (17) где В выражении (17) первый член в правой части, соответствующий полностью некоррелированным волнам (чисто гауссовым флуктуациям), является решением однородного уравнения для корреляционной функции четвертого порядка . Второй член определяет отклонение четырехточечного коррелятора от гауссова приближения при малом уровне нелинейности взаимодействующих волн. Подставим приближенное решение (17) в правую часть уравнения на (15). После ряда алгебраических преобразований с учетом формулы Сохоцкого находим искомое кинетическое уравнение для бесцветных абнормальных коллективных кварк-антикварковых возбуждений где - групповая скорость фермионных абнормальных мод колебаний; - декремент нелинейного затухания Ландау коллективных ферми-возбуждений, представляющий собой линейный функционал плотности числа плазминов , а обобщенные скорости распада и регенерации являются нелинейными функционалами плотности числа плазминов: и Здесь (18) - вероятность рассеяния для процесса упругого столкновения двух бесцветных плазминов, а мера интегрирования определена следующим образом: 6. Явный вид вершинных функций и Перейдем теперь к нахождению явного вида вершинных функций и , которые входят в эффективную амплитуду (11). Определим эти функции в так называемом приближении жестких температурных петель (HTL) [16-18]. В работе [19] в рамках данного приближения была получена вероятность плазмин-плазминного рассеяния (19) Здесь матричный элемент упругого плазмин-плазминного рассеяния имеет следующую структуру: , (20) и, в свою очередь, эффективная амплитуда определяется как (21) Явный вид кварк-глюонной вершинной функции и глюонного пропагатора приведен в Приложении в рамках приближения жестких температурных петель (П.1), (П.2) и (П.3) - (П.6) соответственно. Сравнивая выражения (18) и (19) для вероятности плазмин-плазминного рассеяния, мы видим, что эффективная амплитуда , определяемая выражением (11), должна быть отождествлена с точностью до численного фактора с матричным элементом (более точно, с его комплексным сопряжением), вычисленным в рамках высокотемпературной квантовой хромодинамики, т.е. (22) Из выражений для эффективных амплитуд (11) и (20), (21) получаем т.е. амплитуда, определяющая прямое взаимодействие четырех плазминов в приближении жестких температурных петель, равна нулю. Найдем явный вид вершинных функций и , которые входят в подынтегральное выражение исходного гамильтониана взаимодействия третьего порядка (2). В отличие от предыдущего случая, здесь мы имеем более нетривиальную ситуацию. Первым шагом в эффективных пропагаторах в (21) оставляем только члены с продольным проектором , тем самым выделяя только продольно-поляризованные глюонные возбуждения. Например, для первого пропагатора делаем подстановку: где затем скалярный пропагатор аппроксимируем вблизи полюса, как это было сделано нами в работе [1]. Аналогичные операции выполняются для второго пропагатора Далее, учитывая данные аппроксимации глюонных пропагаторов, определения (11), (20) и (21), находим из выражения (22) = 0 и где (23) Здесь использовали свойство перестановки внешних кварковых импульсов (П.3) для вершинной функции . Вершинная функция (23) удовлетворяет условию Заключение В данной работе был сделан дальнейший шаг к построению классического гамильтонова формализма для описания процессов нелинейного взаимодействия мягких глюонных и кварковых возбуждений в высокотемпературной плазме с неабелевым типом взаимодействия. В явной форме были найдены канонические преобразования (8) и (9), которые позволили исключить гамильтониан взаимодействия третьего порядка , уравнение (2). Это, в свою очередь, дало возможность определить новый эффективный гамильтониан , (10), с калибровочно-ковариантными амплитудами рассеяния и , (11) и (12). Данный эффективный гамильтониан взаимодействия описывает два физических процесса: упругое рассеяние плазмина на плазмине и упругое рассеяние плазмина на плазмоне. Построение кинетических уравнений для мягких плазменных мод, учитывающих одновременно бозонную и фермионную степени свободы, является прямым обобщением чисто бозонного случая [1] на концептуальном уровне, но несколько громоздким и запутанным в практическом плане. Поэтому здесь мы ограничились детальным рассмотрением только наиболее простых процессов нелинейного взаимодействия мягких коллективных возбуждений кварк-глюонной плазмы без участия антиплазминной моды колебаний КГП и тем самым исключили из рассмотрения другие важные процессы взаимодействия, а именно: упругое рассеяние плазмина на антиплазмине (рассеяние типа Баба), процесс аннигиляции плазмина с антиплазмином в два плазмона и обратный процесс слияния двух плазмонов с образованием плазмин-антиплазминной пары. Построение кинетических уравнений, соответствующих этим процессам, будет предметом дальнейшего изучения. ПРИЛОЖЕНИЕ А Температурно-наведенные кварк-глюонная вершина и глюонный пропагатор Здесь мы приводим явный вид эффективных кварк-глюонной вершинной функции и глюонного пропагатора в высокотемпературном приближении жестких температурных петель. Эффективная (т.е. HTL-ресуммированная) вершина между кварковой парой и глюоном [20-22] (П.1) представляет собой сумму голой вершины (матрицы Дирака) и соответствующей HTL-поправки (П.2) где и . Вершинная функция обладает свойствами: (П.3) Выражение (П.4) представляет собой модифицированный эффектами среды глюонный (запаздывающий) пропагатор в - калибровке. Здесь «скалярные» поперечный и продольный пропагаторы имеют вид (П.5) где Поляризационный тензор в приближении жестких температурных петель задан выражением а продольный и поперечный проекторы определяются соответственно следующими равенствами: (П.6) где и ; представляет собой глобальную 4-скорость среды.

Скачать электронную версию публикации