On the physical nature of "anomalous" high energy electrons in vacuum diode.pdf Введение Одним из фундаментальных вопросов современной вакуумной электроники является проблема возникновения потоков так называемых «аномальных» электронов в вакуумных диодах. Такие частицы представляют собой определенную долю электронного потока, они оказываются ускоренными до кинетических энергий , значительно превосходящих максимальное приложенное напряжение на диоде Umax, умноженное на элементарный заряд q, т.е. > qUmax. Долгое время существование подобных энергетических групп частиц казалось невероятным. Однако по мере совершенствования измерительной техники физического эксперимента с начала 2000-х гг.стали появляться экспериментальные работы, например [1], где одним из результатов транспортировки электронных пучков наносекундных длительностей стала регистрация электронов с кинетическими энергиями, превышающими qUmax. Наиболее убедительно наличие фракции «аномальных» электронов в вакуумном диоде, на наш взгляд, продемонстрировано в работе [2]. В ней из аккуратных измерений параметров импульсного пучка за коллектором был рассчитан энергетический спектр потока электронов. Методика регуляризации по алгоритму Арсенина - Тихонова по данным кривых ослабления интенсивности пучка в тонких фольгах позволила восстановить его спектральный энергетический состав. Оказалось, что для импульса напряжения источника питания, имевшего трапециевидную форму с амплитудой 250 кВ, длительностью плато 2 нс и передним фронтом 0.5 нс, энергетический спектр электронов пучка содержал хорошо выделяемую группу частиц с энергиями вплоть до 320 кэВ. Сложность объяснения причин, приводящих к появлению электронов повышенных энергий > qUmax, в значительной степени была сопряжена с тем, что условия эксперимента представляли собой весьма нетривиальные схемотехнические и конструктивные конфигурации. Другими словами, было практически невозможно последовательно исключить влияние целого ряда факторов на появление «аномальных» электронов в вакуумном разряде. В дискуссиях высказывались предположения о том, что фактическое напряжение на промежутке могло в разы превышать заявленную амплитуду импульсного источника напряжения. Предполагалось также, что «аномальные» электроны являются следствием стохастического ускорения зарядов плазмы катодного факела, испытывающего ленгмюровскую турбулентность или другие формы неустойчивого токоотбора. В качестве ключевых факторов возникновения электронов повышенных энергий также назывались геометрические особенности поверхности катода. Совокупное влияние нескольких факторов на возникновение «аномальных» электронов в вакуумных диодах тоже допускалось. Надежное выяснение фундаментальной причины возникновения электронов повышенных энергий («аномальных» электронов) в вакуумных диодах было бы возможным, если бы удалось исключить целый ряд второстепенных факторов, которые могут оказывать влияние на формирование «аномального» спектра. Сделать это в эксперименте далеко не всегда представляется возможным, поэтому в подобных исследованиях становится актуальным теоретическое моделирование и численный эксперимент. Цель данной работы - построение минимальной нестационарной теоретической модели вакуумного диода, на основании которой выясняются необходимые и достаточные условия для формирования в электронном пучке диода фракций электронов повышенных энергий ( > qUmax). Минимальная кинетическая теоретическая модель планарного диода На основании анализа экспериментальных работ по оценке энергетических спектров электронных пучков в вакуумных диодах различных конструкций нами было сделано предположение, что фактор геометрической неоднородности поверхностей электродов диода имеет второстепенное значение для формирования «аномальных» электронов. Реализуя принцип «от простого к сложному», было принято решение исследовать для начала почти тривиальную геометрию разрядного промежутка - планарный одномерный вакуумный диод. Данная конфигурация является классической задачей Чайлда - Ленгмюра [3, 4], катод и анод в которой представляют собой неограниченные плоские поверхности, расположенные параллельно друг другу на расстоянии D. В кинетической модели мы полагаем, что электрическое поле в диоде является потенциальным, т.е. определяется лишь функцией электростатического потенциала задачи, а вектор магнитной индукции всюду равен нулю. Тем самым исключается влияние поперечных электродинамических эффектов, обусловленных плотностью тока смещения. Оставаясь в рамках пренебрежения магнитными полями, мы будем ограничены в своих расчетах не очень высокими плотностями тока электронов в диоде. И, как следствие, это позволит нам пренебречь парными столкновениями электронов между собой в процессе движения их через промежуток. Если данный диод подключен к идеальному импульсному источнику напряжения (электрический потенциал катода равен нулю, а на анод подается нарастающее от нуля напряжение U(t)), то напряженность электрического поля определяется выражением (1) которое представляет собой точное решение одномерного уравнения Пуассона в квадратурах. Здесь f (x, px, t) - функция распределения электронов на одномерном фазовом пространстве; (x, px) - координаты одномерного фазового пространства (пространственная координата и импульс); 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. В настоящее время формулы классической работы [4] для стационарных режимов обобщены для большого количества конфигураций диодов, механизмов эмиссии и рассматриваемых типов носителей зарядов. При этом наибольшую сложность представляет собой построение общей нестационарной теории вакуумного диода. Именно такую возможность предоставляет физическая кинетика как наиболее фундаментальная модель нестационарных процессов в вакуумном диоде. Предполагая, что носителями тока в наносекундном вакуумном диоде являются только электроны, динамика их функции распределения f (x, px, t) описывается бесстолкновительным кинетическим уравнением Власова , (2) где m - масса покоя электрона; - релятивистский гамма-фактор; с - скорость света. В рамках нашей «безмагнитной» модели релятивистский фактор будет не сильно отличаться от единицы, поэтому ниже для простоты мы иногда используем нерелятивистские формулы. Начальные и граничные условия для уравнения (2) выбирались аналогично тем, что были сформулированы в работе [5]. Предполагалось, что в начальный момент времени t = 0 межэлектродный промежуток был пустым f = 0. В такой постановке задачи ввод заряженных частиц в промежуток осуществляется за счет граничного условия на катоде , (3) представляющего максвелловское распределение электронов по импульсам, которое описывает непрерывную эмиссию электронного потока с катода (n0 - концентрация электронов вблизи катодной поверхности, kTe - температура инжектируемого электронного ансамбля). Такая формулировка начальных и граничных условий, наряду со своей простотой, достаточно реалистично моделирует вакуумный диод с термоэлектронной эмиссией. При типичной для расчетов средней температуре электронов kTe = 2-5 эВ нижний предел концентрации n0 выбирался таким, чтобы симулировать на катоде условие неограниченной эмиссионной способности, когда плотность тока эмиссии jem значительно превосходит плотность тока jCL на коллекторе (аноде). Последняя для плоского одномерного диода определяется стационарным значением закона Чайлда - Ленг¬мюра [4] . (4) Верхний предел значений n0 предполагалось поднимать до величины, характерной для концентрации взрывоэмиссионной плазмы, т.е. n0 ~ 1018 cм-3, а максимальные напряжения на диоде были ограничены 100 кВ. Кинетическое уравнение Власова (2) с заданным граничным (3) и нулевым начальным условием для f (x, px, 0) = 0, а также с выражением для напряженности электрического поля (1) однозначно определяет дальнейшую эволюцию функции распределения электронов f (x, px, t). Имея ее в своем распоряжении можно вычислять моменты функции распределения, которые представляют собой макроскопические наблюдаемые величины, например, плотность электронного тока через коллектор (анод) (5) и Эйлерову скорость электронного потока у анода . (6) Временная эволюция макроскопических величин (5) и (6) позволяет рассчитать энергетический спектр приходящего на коллектор электронного пучка в любой момент времени, однако полную информацию об электронном ансамбле представляет пространственно-временная эволюция функции распределения электронов f (x, px, t), динамика которой описывается уравнением Власова (2). Для получения численного решения уравнений Власова, как и в работе [5], использовался полулагранжевый численный метод решения кинетических уравнений (semi-Lagrangian method). В отличие от [5], в данной работе пространственно-временное разрешение было значительно увеличено за счет использования более совершенных вычислительных схем. Вместо широко применяемого в ряде работ так называемого расщепления Странга [6], реализующего второй порядок точности по временной переменной, здесь используются симплектические методы четвертого и шестого порядков [7], представляющие собой компактное обобщение метода Странга. Для верификации временного разрешения используемой численной схемы для каждого расчета последовательно использовалась схема второго, четвертого и шестого порядков. Пространственное разрешение представления функции распределения (в фазовом пространстве) обеспечивалось благодаря использованию метода PIC4 [8]. Эта схема расширяет возможности локальных консервативных полулагранжевых схем за счет использования интерполяционных полиномов четвертой степени. Она также реализует безосцилляторный ограничитель решения, который обеспечивает неотрицательность функции распределения. Концепция схемы PIC4 состоит в том, чтобы подавлять генерацию новых искусственных экстремумов решения, но при этом сохранять имеющиеся экстремумы. Совокупность численных схем решения уравнения Власова реализована в виде программы на языке Mathworks MATLAB, которая исполнялась на высокопроизводительном вычислителе NVidia GPU. Максимальная плотность тока вакуумного диода и энергетический спектр электронов Ранее в литературе [9, 10] вопрос о переходных режимах установления стационарного токопротекания изучался с использованием упрощенных теоретических моделей, основанных на бесстолкновительных уравнениях переноса концентрации электронов и средней скорости электронов. Такие модели могут быть получены путем усреднения кинетического уравнения Власова (2) для конечного числа наблюдаемых величин (аналогичных, например, (5) или (6)), которые принято называть моментами функции распределения. Динамика моментов функции распределения отражает динамику функции распределения частиц далеко не полно, так как последняя допускает бесконечное количество моментов. Тем не менее нестационарная модель [9], основанная на изучении переходных характеристик вакуумного диода в процессе установления токопереноса, позволила сделать важный вывод о том, как будет эволюционировать плотность тока на аноде (5) при «мгновенной» подаче анодного напряжения. Согласно выводам [10], в диоде с постоянной приложенной разностью потенциалов максимальная амплитуда плотности тока превосходит стационарное значение (4) более чем в 2 раза. В [9] также показано, что за первым сильным всплеском тока следуют затухающие релаксационные колебания с постепенным переходом к стационарному протеканию тока в диоде. Кинетическая теория позволяет сформировать более глубокое понимание механизма возбуждения релаксационных колебаний и возникновения предельной плотности тока коллектора в переходном режиме. На рис. 1 показан график электронного тока на анод (5), который получен в рамках вышеизложенной кинетической модели с параметрами: D = 1 см, импульс напряжения амплитудой Umax = 2 кВ и временем линейного нарастания trise = 0.1 нс, параметры электронной функции распределения (3) на катоде kTe = 3 эВ, n0 = 1013 см-3. Хотя максимальная плотность тока превосходит оценочное значение тока Чайлда - Ленгмюра (4), однако амплитуда первого импульса не столь велика, как ранее полагали авторы работы [10]. Данное обстоятельство связано с крайней простотой теоретической модели [10], в частности с тем, что начальный сгусток электронов у анода имел нулевую тепловую скорость. Удлинение фронта нарастания напряжения до времени trise > 1 нс в диоде с указанными параметрами приводит к монотонному нарастанию тока коллектора до значения ~ jCL без возникновения релаксационных колебаний. Влияние вариации фронта импульса диода исследовано более детально авторами в работе [11]. Наибольший интерес для понимания особенностей переходного режима представляет энергетический спектр приходящего на анод электронного пучка. Для стационарного режима рассчитанная функция распределения электронов показана на рис. 2: на фазовой плоскости эмитируемые электроны, имеющие небольшой тепловой разброс по энергии, движутся к аноду, где их средняя энергия в точности равна анодному потенциалу (умноженному на q). Такое распределение ожидаемо и обусловлено тем, что поступление зарядов в промежуток уравновешивается их уходом Рис. 1. Профиль плотности тока коллектора планарного вакуумного диода Рис. 2. Функция распределения электронов для установившегося режима токопротекания в планарном вакуумном диоде в коллектор, электростатический потенциал которого имеет стационарное значение. В кинетической модели плотность электронного тока на аноде уже не равна точно (4), а отвечает данному значению лишь по порядку величины. Такое несовпадение объясняется тем, что классическая формула (4) Чайлда - Ленгмюра получена в приближении [4], что все электроны с катода имеют нулевые скорости. В реальном диоде разброс электронов по скоростям у катода невелик (имеет максвелловскую полуширину kTe в районе единиц эВ), но, в силу существенной нелинейности кинетического уравнения (2), вклад нетривиального граничного условия оказывает существенное влияние на токопротекание в целом, в том числе на девиацию стационарного тока диода от значения jCL. Некоторые попытки упрощенного обобщения формулы (4) на случай ненулевых скоростей электронов с катода предприняты, например, в работе [12], однако обобщение носит также упрощенный характер, не позволяющий учесть кинетические особенности электронного потока. Для иллюстрации динамики электронного пучка в переходном режиме (рис. 1), где возникают релаксационные колебания объемного заряда, на рис. 3 приведены мгновенные фазовые портреты функции распределения электронов и распределения электрического потенциала. В начальный момент времени (t = 90 пс) избыточная эмиссия электронов с катода создает повышенную плотность отрицательного объемного заряда, что приводит к формированию «виртуального катода» - прикатодной области, в которой электростатический потенциал чуть ниже значения на катоде. При этом однородное электрическое поле в пустом промежутке практически не искажено, за исключением прикатодной окрестности, где провисание электрического потенциала имеет масштаб ~ kTe/q (рис. 3, а). В этот момент времени анодный потенциал почти достигает амплитудного значения, и электрическое поле ускоряет электронный пучок в направлении коллектора. В последующие моменты времени (например, t = 500 пс) по мере продвижения электронов происходит постепенное искажение электрического поля. Рис. 3, в иллюстрирует фазовый портрет функции распределения электронов и электрический потенциал в промежутке к моменту времени t = 758 пс, когда передний фронт электронного ансамбля достигает анода, и ток в диоде показывает максимальное значение (см. рис. 1). Фазовый портрет электронной функции распределения существенно отличается от стационарного (см. рис. 2). Так, максимальный ток коллектора формируется электронным пучком, имеющим повышенную («аномальную») энергию ~ 2.43 кэВ. Важно отметить, что в этот момент все прибывающие на коллектор электроны пучка имеют кинетические энергии > qUmax, что отражает особенность бесстолкновительного режима движения электронов в вакуумном диоде. Средняя энергия электронов пучка на 20% выше среднего значения энергии, реализующегося для стационарного состояния диода. Данный вывод подтверждает результат, полученный ранее в упрощенной модели [10]. Так, по мнению авторов работы [10], значение средней скорости, соответствующее амплитудному значению плотности тока, не превышает 1.12, что при переходе к шкале кинетических энергий составляет порядка 25%. В дальнейшие моменты времени, в том числе соответствующие первому минимуму (t = 1322 пс) и второму максимуму (t = 1648 пс), значения средней энергии прибывающих на анод электронов перемещаются в область, соответствующую ~ qUmax. На этапе релаксации происходят незначительные колебания объемного заряда в диоде, которые практически не сказываются на кривых мгновенного распределения электростатического потенциала. По мере сбалансирования потоков частиц с катода и ухода их на коллектор происходит затухание релаксационных колебаний и формирование стационарной функции распределения электронов в вакуумном диоде (рис. 2). «Экстремальный» пример виртуального катода в вакуумном диоде При избыточной эмиссии электронов (jem >> jCL) на всех этапах токопереноса в вакуумном диоде формируется «виртуальный катод», когда электрический потенциал слегка «провисает» вблизи катодной поверхности. Поэтому виртуальный катод способствует формированию потока электронов с повышенными («аномальными») энергиями на аноде. Возникновение «виртуального катода» вызвано тем, что в приповерхностной области эмитируемые электроны создают слой отрицательного объемного заряда. Отметим еще раз, что виртуальный катод возникает задолго до того, как электронный пучок достигает анода. В приведенных выше расчетах провисание потенциала не превышало пары десятков вольт (см. рис. 3). Логично было предположить, что повышение тока эмиссии должно привести к более значительному «провисанию» потенциала, а следовательно, и к повышению энергии пучка лидирующих электронов, приходящих на коллектор. Рис. 3. Функция распределения электронов (слева) и пространственное распределение электростатического потенциала (справа) в разные моменты времени Существует такой метод анализа сложной задачи с непонятным заранее ответом - придать какому-то параметру задачи экстремально возможное значение и посмотреть следствия. В нашей модели ток эмиссии можно регулировать вариацией параметра n0 в формуле (3). Следуя «методу крайностей», мы увеличили параметр n0 сразу в 1000 раз по сравнению с расчетами предыдущего раздела. Ниже приведены результаты расчета при следующих параметрах: D = 1 см, Umax = 2 кВ, trise = 0.1 нс, kTe = 3 эВ, n0 = 1016 см-3. На рис. 4 показан результат формального расчета мгновенной функции распределения электронов и распределения электрического потенциала в диоде в момент времени t = 475 пс, который соответствует амплитудному значению тока коллектора. Распределения на рис. 4 кардинально отличаются от рис. 3, в, на котором также изображен момент времени, соответствующий приходу электронов с амплитудным током jmax на анод. Значительный избыток электронного заряда у катода создает слой с глубоким отрицательным потенциалом Uvirt, модуль которого даже превышает анодное напряжение. Это приводит к тому, что любые электроны, просочившиеся через узкую область потенциального барьера между катодом и виртуальным катодом, попадают под действие ускоряющей разности потенциалов, существенно превышающей Umax, поэтому и степень «аномальности» энергии электронов пучка увеличивается. В отличие от предыдущего случая ~ 20%-го превышения средней энергии > qUmax для n0 = 1013 см-3 (рис. 3 в), при n0 = 1016 см-3 (рис. 4) превышение средней энергии пучка составляет около 300% (~ 6 кэВ). Рис. 4. Функция распределения электронов (а) и пространственное распределение электростатического потенциала (б) в момент времени t = 475 пс Мы понимаем, что смоделированную на рис. 4. ситуацию реализовать в экспериментальных условиях затруднительно. Например, токи термоэлектронной эмиссии реализуются при концентрации n0 ~ 1012 см-3; по-видимому можно получить сильные импульсные токи фотоэлектронной эмиссии под воздействием экстремальных потоков мягкого рентгеновского излучения с энергией квантов единицы кэВ. Тем не менее «метод крайностей» оказывается полезным для выяснения физических механизмов непонятного явления. Как в случае реалистичной эмиссии электронов с катода (например, характерной для термокатодов, где n0 = 1012 см-3), так и для гипотетических значений n0 ~ 1016 см-3 формируется отчетливая область «виртуального катода», оказывающая влияние на раскачивание релаксационных колебаний и формирование повышенных кинетических энергий первых электронов, приходящих на анод (коллектор). Обратим внимание на то, что на рис. 4 энергия электронов на коллекторе (~ 6 кэВ) выше не только приложенного напряжения на аноде (2 кВ), но и максимальной разности потенциалов внутри диода (~ 4.7 кВ). В этом различии как раз и сказывается механизм формирования «аномально» ускоренных электронов, выражающийся в сильном воздействии на энергию лидирующих электронов электрического поля следующего за ним плотного электронного облака. «Экстремальный» режим виртуального катода полностью корректен и непротиворечив с математической точки зрения. Просто начальное условие задачи принимается как данность безотносительно к физической возможности создания начального состояния прикатодного облака электронов. Обсуждение результатов и выводы Высокие концентрации электронов у катода реально получить в плазме катодного факела (взрывная эмиссия) либо в вакуумных разрядах с лазерным инициированием [13]. В обоих случаях речь идет о высокой концентрации катодной плазмы, а не изолированной электронной фракции. Однако заряд электронов в катодной плазме будет практически полностью нейтрализован. Можно также представить сечение минимального потенциала виртуального катода как эмиссионную поверхность плазмы, на внешней границе которой напряженность электрического поля равна нулю. Поэтому на начальных стадиях работы вакуумных диодов с взрывоэмиссионным катодом реализуется переходный режим установления токопереноса, аналогичный показанному на рис. 3. Этим подобием двух ситуаций объясняется экспериментальный факт наличия электронов, имеющих повышенные энергии ( > qUmax), в интегральных энергетических спектрах вакуумных диодов различных конструкций [2]. Ряд экспериментов, например [14], указывают на то, что вакуумные пинчевые разряды с лазерным инициированием могут производить пучки «аномально» ускоренных электронов с энергиями, на порядок и более превышающими амплитудное напряжение на разрядном промежутке. По-видимому, режим токопереноса с кратным превышением средних значений энергии электронов над qUmax (аналогичный представленному на рис. 4) может иметь место в ходе развития трехмерных неустойчивостей плазмы с образованием локальных сгустков электронного заряда. В рамках теоретических исследований, проведенных и обобщенных в данной работе, можно сформулировать следующие выводы. В планарном вакуумном диоде с эмитирующей катодной поверхностью, в котором анодное напряжение поднимается от нуля до Umax с коротким фронтом trise, длительность которого сравнима или меньше характерных времен пролета электронов в промежутке D: - на аноде (коллекторе) возникают релаксационные колебания плотности тока с амплитудой jmax, значительно превосходящей стационарное значение, близкое к jCL (4); - максимальное значение плотности тока коллектора jmax доставляется на анод электронами с кинетическими энергиями , значительно (более 20%) превышающими амплитуду анодного напряжения qUmax; - номинальное увеличение фиксированной плотности электронов у катода n0 может приводить к провисанию потенциала (образованию виртуального катода), превосходящему (по модулю) анодный потенциал, что порождает кратное превышение энергии «аномально» ускоренных электронов >> qUmax.

Скачать электронную версию публикации