Nonlinear spinor field in a cosmological model without the singularity and without the beginning of time.pdf В работе рассматривается возможность построения космологических моделей без начальной сингулярности и эволюционирующих из бесконечного прошлого, т.е. моделей Вселенной, существовавшей всегда. Сначала мы в очень краткой форме изложим сложившуюся в современной космологической науке концепцию о происхождении Вселенной и основных этапах ее эволюции с целью более конкретно обсуждать эту концепцию, обращаясь к некоторым ключевым ее пунктам. В настоящее время в космологической науке в проблеме о происхождении и эволюции Вселенной утвердилась так называемая теория «Большого взрыва» о взрывном характере рождения Вселенной около 14 млрд лет тому назад из сингулярности (или же иногда уточняют - из пространственно-временной пены, представляющей собой квантовые флуктуации геометрии пространства-времени) за невообразимо короткое время около 10-43 с [1]. Это был период рождения классического пространства-времени. Через 10-42 с после рождения классического пространства-времени Вселенная вступила в стадию инфляции, происходившую в период времени 10-42-10-36 с от Начала, в конце которой образовалась горячая плазма, состоящая из элементарных частиц с температурой около 1029 К, т.е. образовалась обычная материя. Здесь следует добавить, что за время инфляции объем Вселенной увеличивается на много порядков (в некоторых космологических моделях, например, в раз). Из-за действия сил отталкивания в период инфляции, возникающих вследствие присутствия инфлатонного скалярного поля, Вселенная разгоняется и приобретает большую кинетическую энергию, которая в дальнейшем наблюдается в виде расширения по инерции. После рождения в конце инфляции вещества Вселенная в процессе расширения и падения температуры прошла фазу избытка материи над антиматерией, фазу электрослабого перехода и разделения слабого и электромагнитного взаимодействий к моменту времени ~10-10 с от Начала, в результате чего вещество перешло в состояние кварк-глюонной плазмы. При дальнейшем расширении и понижении температуры до 1011 К наступает конфайнмент кварков, образуются протоны и нейтроны, и наступает эпоха нуклеосинтеза в интервале времени от 1 до 200 с, т.е. примерно 3 мин от Начала [2]. В этот период образуются ядра легких элементов: водорода, дейтерия, гелия и др. с атомным весом A < 5. Затем через несколько сотен лет при температуре 4500-3000 К наступает эпоха рекомбинации, когда электроны объединяются с ядрами водорода, дейтерия, гелия, и образуются легкие элементы: водород, дейтерий, гелий. В конце этой эпохи, длившейся несколько сотен тысяч лет, вещество становится прозрачным для фотонов, электромагнитное излучение высвобождается из вещества и в современную эпоху наблюдается в виде реликтового излучения. Через несколько десятков миллионов лет начались процессы образования звезд, галактик и формирования крупномасштабной структуры Вселенной. В конце 1998 г. в астрономии было сделано новое открытие - обнаружено ускоренное расширение Вселенной, т.е. расстояния между космологическими объектами увеличиваются с положительным ускорением (вторая инфляция). Различают два типа инфляции - экспоненциальную и степенную. При экспоненциальной инфляции расстояние между космологическими объектами экспоненциально растет: , где - постоянная Хаббла, а при степенной инфляции: , где . Для описания процесса эволюции Вселенной удобно ввести безразмерную функцию времени , характеризующую изменение расстояния между космологическими объектами - галактиками, квазарами и др., называемую масштабным фактором. Эта функция связана с расстоянием между космологическими объектами соотношением , (1) где - расстояние в некоторый фиксированный момент времени, принимаемый за эталонный. Таким образом, выше мы в очень сжатом виде представили процессы рождения и этапы развития Вселенной в соответствии с установившейся концепцией в современной космологической науке, ссылаясь на отдельные ее разделы, вызывающие вопросы. Сразу скажем, что вышеописанная картина развития Вселенной и сама теория Большого взрыва вызывает некоторые вопросы к ней и ставит проблемы. Во-первых, существует вопрос о времени Большого взрыва, произошедшего около 14 млрд лет тому назад, - не совсем ясно, как точно установить именно этот момент как момент рождения Вселенной. На эту проблему впервые указал Спиноза, когда ставил вопрос: «где те часы, по которым бог выбрал момент времени сотворения Мира?». Другой вопрос в теории Большого взрыва вызывает сама концепция рождения Вселенной из Ничего. Именно это утверждал один из создателей теории «Большого взрыва» Алан Гус, когда писал о том, что Вселенная при своем рождении совершила туннельный переход из Ничего во Время [3]. Здесь естественно возникает вопрос: «А что Было, когда Ничего не было?» В этом вопросе и вскрывается то противоречие, которое содержится в концепции рождения Вселенной из Ничего. Как видно, современная теория происхождения и эволюции Вселенной - теория Большого взрыва - имеет свои трудности и ставит новые проблемы. Некоторые современные ведущие ученые, например, В.Л. Гинзбург и Ю.С. Владимиров, видя указанные выше проблемы в современной теории Большого взрыва, полагают, что Вселенная существовала всегда и не было никакого Начала. Все указанные выше вопросы, проблемы и соображения побуждают к разработке новых космологических моделей и теорий, свободных от противоречий и не противоречащих наблюдаемым астрономическим данным. Одна из космологических моделей была построена нами ранее [4]. В настоящей работе предлагается космологическая модель вечной Вселенной, бесконечной во времени как в прошлом, так и в будущем. В качестве основной компоненты материи в выбранной космологической модели является нелинейное спинорное поле, определяемое лагранжианом . (2) Здесь - 4-компонентная спинорная функция; - дираковский сопряженный спинор; - ковариантная производная спинорной функции; - нелинейный член самодействия спинорного поля; - константа взаимодействия; - рациональное число ( ); ; - комптоновская длина волны частицы; - матрицы Дирака риманова пространства-времени, удовлетворяющие условию фундаментальной связи пространства и спина . (3) На классическом уровне спинорное поле может описывать сплошную среду с внутренними степенями свободы. Так, например, нами показано [5], что при спинорное поле описывает идеальную жидкость с уравнением состояния ( ), где - давление; - плотность энергии; . Современные астрономические данные свидетельствуют о том, что в больших масштабах ( ) Вселенная однородна, и чем ближе к Началу, тем масштаб неоднородностей быстрее уменьшается. Поэтому строятся, в основном, однородные и изотропные космологические модели, как и в данной работе. Кроме того, те же астрономические данные свидетельствуют о том, что 3-мерное пространство Вселенной плоское, т.е. евклидово. Поэтому с учетом вышеуказанных данных метрика однородной изотропной космологической модели с плоским (евклидовым) 3-мерным пространством есть метрика Фридмана - Робертсона - Уокера (ФРУ), которая в сферических координатах имеет вид (в сигнатуре +++-) . (4) Здесь - масштабный фактор, который является метрическим коэффициентом и определяется из решения совместной системы уравнений гравитационного и спинорного (типа (2)) полей в пространстве-времени с метрикой (4): . (5) Здесь - тензор энергии-импульса спинорного поля (2), он определяется формулой [5] . (6) По формуле (3) определяем теперь матрицы Дирака в пространстве-времени с метрикой (4): , , , , (7) где - матрицы Дирака пространства Минковского. С использованием формул (7) получаем уравнение для нелинейного спинорного поля (2) . (8) Из этого уравнения находим необходимое для дальнейшего решение для спинорного инварианта , являющегося уже скаляром: , . (9) Здесь константа равна значению функции в момент времени, когда масштабный фактор , т.е. с учетом формулы (1), когда расстояния между объектами равны эталонному . За эталонное расстояние естественно принять комптоновскую длину спинорных частиц . Сама же функция на макроскопическом уровне определяет число частиц в единице объема и имеет размерность , где - масштаб длины, за который естественно взять . Поэтому , но в объеме может пребывать только количество частиц числом ( ). Поэтому , . Теперь по формуле (6) с использованием уравнения спинорного поля (8) находим компоненты тензора энергии-импульса : ; , . (10) После нахождения динамических величин (9) и (10) спинорного поля можно уже выписать гравитационные уравнения Эйнштейна для рассматриваемой космологической модели с нелинейным спинорным полем, определяющим масштабный фактор , как функцию от времени, и тем самым и саму эволюцию Вселенной, определяемую этим спинорным полем. Этих уравнений будет два: (11) Здесь , - комптоновская длина волны спинорных частиц, а константа взаимодействия . Из второго уравнения этой системы следует, что . (12) Если , то масштабный фактор никогда не обращается в нуль, а в момент времени, когда , функция имеет минимум, т.е. рассматриваемая космологическая модель не имеет сингулярности, и минимальное значение масштабного фактора следующее: . (13) Как видно из системы уравнений (11), константа взаимодействия имеет размерность , где за масштаб длины можно также взять комптоновскую длину волны , так что можно считать, что , где - безразмерный коэффициент пропорциональности, который можно рассматривать как обезразмеренную константу взаимодействия. Причем поскольку константа должна быть достаточно мала, то и константа должна быть очень малой ( ). В результате формула (13) для минимального значения масштабного фактора примет вид , , , , . (14) Таким образом, получается, что безразмерная константа взаимодействия спинорного поля является управляющим параметром космологической модели, причем, фактически, единственным. Кроме того, 2-е уравнение системы (11) распадается на два независимых уравнения: , . (15) То есть имеются две симметричных ветви решения, которые соединяются в точке минимума . Можно считать, что это есть момент времени , и вправо при идет ветвь решения, где , с возрастающей функцией , а влево при пойдет симметричная ветвь, где . Следует еще добавить, что при и , т.е. функция как кривая в плоскости ( ) везде вогнута, не пересекает и не касается оси Ot, симметрична относительно точки , стремится к бесконечности при и при . Таким образом, при значениях параметров космологической модели и получается модель вечной во времени Вселенной, которая эволюционирует, сжимаясь из бесконечного прошлого, доходит до минимума при и вновь расширяется при , т.е. в нашем космологическом мировом времени симметричным образом относительно прошлого, когда . Конкретное уравнение для масштабного фактора как функции от времени находится путем решения дифференциального уравнения (15) - уравнения первого порядка. Это решение сводится к интегралу , , . (16) Здесь время имеет размерность дины ( ). Данный интеграл можно привести к безразмерному виду с одним управляющим параметром : , , . (17) Здесь - безразмерное космологическое время: ; - планковская длина. Этот интеграл в явном виде берется только в трех специальных случаях соотношений между тремя показателями степеней при переменной . Решение уравнения (15) можно получить также в виде, выраженном через гипергеометрическую функцию , (18) где - гипергеометрическая функция Гаусса. Здесь мы приведем некоторые явные выражения для масштабного фактора и соответствующие графики, иллюстрирующие изменение масштабного фактора с течением времени при различных значениях параметра ( ): 1) ; , , , . (19) Здесь при , при . 2) ; , , , . (20) Здесь при , при . 3) ; , , . (21) Здесь при , . Мы видим, что в примере 1) при n = 1/2 и в примере 3) при n = 1/3 имеет место степенная инфляция при . В далеком прошлом при бывший инфляционный режим перешел в режим сжатия, и при рассматриваемая космологическая модель, минуя сингулярность, далее от минимального не равного нулю значения масштабного фактора при вошла в режим расширения. Поведение масштабного фактора (пропорционального размеру Вселенной) со временем приведено на рис. 1. Как видно, сингулярностей в данной модели не обнаруживается. Рис. 1. Масштабный фактор (размер Вселенной) при различной нелинейности (а - 1/3, б - 1/2, в - 3/4) и разной безразмерной константе взаимодействия Таким образом, мы показали, что и общий анализ космологических уравнений (11), и конкретные решения этих уравнений приводят к выводу, что космологическая модель с нелинейным спинорным полем типа (2) есть пример космологической модели вечной Вселенной, которая эволюционирует из бесконечного прошлого, сжимаясь и минуя сингулярность при , снова расширяется при и когда переходит в стадию степенной инфляции и существует во всем бесконечном интервале времени . Ее эволюция определяется двумя параметрами: показателем при степени нелинейности и безразмерной константой взаимодействия , через которую определяется минимальное значение масштабного фактора , . Подбором величины параметра мы можем получить значение , соответствующее любой фазе развития космологической модели, от фазы кварк-глюонной плазмы до фазы нуклеосинтеза и рекомбинации.

Скачать электронную версию публикации