The state of helium inside the fullerene.pdf Введение Одна из самых интересных и полезных особенностей фуллеренов состоит в том, что их структура, похожая на углеродную клетку, способна накапливать внутри атомы и даже маленькие молекулы аналогично нанокапсулам [1-3]. Разработаны различные методы создания фуллеренов (endohedral fullerenes and endofullerenes), содержащих внутри компоненты газов, например, гелия [4-8]. Таким образом, молекулы фуллерена могут быть использованы в медицине и фармацевтике для контроля связывания лекарств с белками (drug binding), подавления активности вирусов (inhibit the activity of the virus), транспортировки больших биомолекул, а также транспортировки и хранения редких газов [9]. Следовательно, необходимо исследовать поведение и свойства атомов и молекул внутри фуллерена. Так, в работах [10-12] детально исследовано вращение молекулы водорода внутри C60. В [13] получены данные о вращении молекулы воды, заключенной внутри фуллереновой клетки C60. Авторы работы [14] исследовали центральные столкновения и обнаружили, что при определенной энергии (incident energy) внедренный в фуллерен атом гелия может повысить стабильность образовывающейся димерной структуры. В [15] было изучено поведение и характеристики различных комплексов, помещенных внутрь фуллереновых и фуллереноподобных структур. Взяв за основу конструкцию фуллерена, была построена такая же структура, но из атомов гелия, для изучения электронов [16]. Изучение вращения фуллерена в кристаллах фуллерита приведено в [17]. Кроме того, ранее получены результаты распределения гелия и водорода в области мембраны, состоящей из двух моноатомных углеродных слоев [18-21]. В данной работе описана математическая технология нахождения квантовых чисел в задаче о ротаторе. Из уравнения Шредингера найдена вероятность нахождения атомов гелия в состоянии, характеризующемся тремя числами n, m и kn. Визуализированы их области локализации внутри поверхностного кристалла фуллерена C60. Уравнение для волновой функции Обычно под задачей о квантовом ротаторе понимают описание движения волн в сферическом слое. Известно также, что у фуллерена C60 средние положения атомов углерода находятся на сфере радиуса 0.357 нм. С уменьшением температуры тепловые колебания атомов становятся все меньше и их мгновенные положения - все ближе к средним позициям. В этом отношении вполне допустимой является сферическая форма молекулы C60. Однако из-за определенного расположения атомов на молекулярной сфере потенциальное поле взаимодействия с пробной частицей (волной) будет обладать икосаэдрической симметрией. Первым приближением такого поля будет как раз сферический слой энергии взаимодействия. Задача о вращательном движении частиц внутри шаровой полости сводится к нахождению волновой функции из дифференциального уравнения Шредингера (1) Это общий вид волнового уравнения Шредингера [22], в котором - постоянная Планка; - масса частицы; - заданный потенциал силового поля. Если считать, что силовая функция не зависит от времени, а функция является периодической функцией времени, колеблющейся с частотой , то для функции получается дифференциальное уравнение следующего вида: (2) Уравнение (2) можно также переписать в форме (3) Искомыми величинами в задаче (3) являются собственные частоты и соответствующие им формы колебаний. Свойства оператора момента импульса Операторы импульсов удовлетворяют правилам: (4) Так как правая часть формул (4) отлична от нуля, то операторы в левой части не являются коммутаторами. Из этих формул следует, что не существует состояний, когда импульс и сопряженная с ним координата имеют одновременно определенные значения. Под моментом импульса (моментом количества движения), как и в классической механике, будем понимать векторное произведение . Операторы компонент момента импульса некоммутативны. В состоянии, в котором одна из компонент имеет определенное значение, другие две остаются неопределенными. Также любая из величин и величина M2 могут измеряться одновременно. Решение дифференциального уравнения Шредингера При рассмотрении трехмерного уравнения Шредингера в случае сферически-симметричной задачи перепишем уравнение (3) в соответствующей системе координат: (5) где (6) Будем решать уравнение (5) методом разделения переменных, т.е. полагаем (7) Подставим (7) в дифференциальное уравнение (5), разделим последнее на произведение и умножим на величину . Тогда получим (8) Общее значение правой и левой частей в формуле (8) должно равняться некоторой постоянной величине, скажем . Отсюда найдем дифференциальное уравнение для определения функции : (9) Здесь играет роль параметра, который определяется из требования ограниченности и непрерывности решения в области изменения переменных . Однако известно [23-25], что ограниченные решения уравнения (9) существуют не при всех значениях параметра , а лишь при целых положительных значениях вида Далее, с учетом вида оператора из уравнения (9) следует операторное равенство , которое означает, что собственные числа оператора квадрата момента импульса равны , и только такие дискретные значения может принимать величина . Что касается собственных функций оператора, то они определяются из решения дифференциального уравнения (9). Это уравнение можно также решать методом разделения переменных, полагая . При разделении переменных появится еще одна новая константа , которая, очевидно, должна быть целым числом. Тогда дифференциальное уравнение, определяющее функцию , будет иметь вид (10) Для произвольных значений параметров и решения дифференциального уравнения (10) являются неограниченными в отдельных особых точках. Однако, если величины и являются целыми числами, то в этом случае ограниченное решение уравнения (10) выражается через присоединенные функции Лежандра . Ограниченное решение уравнения (9) имеет, таким образом, следующий вид: (11) Присоединенные функции Лежандра с целым верхним и нижним индексом представляются формулой (12) Здесь - многочлен Лежандра -го порядка. Нахождение радиальной функции Вернемся к уравнению (8) и рассмотрим радиальную часть решения . В силу того, что , дифференциальное уравнение (8) для функции запишется в виде (13) Пусть , будем искать решение уравнения (13) в виде . Тогда для функции получится дифференциальное уравнение (14) Отсюда следует, что функция удовлетворяет тому же уравнению, что и функция Бесселя с полуцелым индексом, т.е. . Таким образом, радиальная часть решения уравнения Шредингера равна (15) Если на поверхности шара с радиусом наложить однородное граничное условие [24], то параметр здесь будет определяться как один из многочисленных корней трансцендентного уравнения . Следовательно, и связанные с ним частоты колебаний не могут быть произвольными величинами, так как они принимают ряд дискретных значений с соответствующими им собственными функциями. В случае, когда величина зависит от потенциала силового поля , решение (15) следует рассматривать как приближенное. Тогда (16) При таком подходе сохраняется структура формулы (15) для радиальной составляющей решения , при этом учитывается влияние потенциала . Тогда параметр в формуле (16) является одним из корней функции Бесселя , которые, при известном значении , вычисляются численными методами, например, методом Ньютона: (17) К уравнению (13) можно применять и более строгие способы решения, такие как метод возмущений (или численные методы), однако в таком случае решения для радиальной функции будут иметь более громоздкие аналитические выражения. Представление решения и вероятность локализации частицы Таким образом, функция , рассматриваемая как решение дифференциального уравнения Шредингера (1), равна (18) Вероятность нахождения частицы в состоянии, определяемом числами является квадратом модуля функции : (19) Идеализация фуллереновой молекулы Рассмотрим молекулу фуллерена C60 (рис. 1, a). В рамках континуального описания принимается, что энергия межмолекулярного взаимодействия не локализована в узлах кристаллической решетки, а распределена равномерно по всей сферической поверхности фуллерена. Поверхность фуллереновой частицы моделируется сферой с однородно распределенными на ней поверхностными источниками энергии (рис. 1, б), и пусть r - расстояние от центра масс фуллерена до рассматриваемой точки. Тогда потенциальная энергия гладкой сферы, рассчитанная на основе LJ потенциала, имеет вид [26] (20) где , - радиус фуллерена. В случае взаимодействия фуллерена с внутренним атомом гелия рассчитанная с учетом (20) потенциальная энергия имеет вид, представленный на рис. 1, в. Рис. 1. Модель фуллерена С60 (a); модель континуального подхода к представлению энергии фуллереновой частицы (б); потенциальная энергия взаимодействия атома гелия с фуллереном С60 (в) Результаты Задаются три целых числа: главное квантовое число , число m и номер корня функции Бесселя . Эти три числа и характеризуют состояние квантовой системы, определенное различным начальным уровнем полной энергии. Верхний и нижний индексы у функции Лежандра связаны между собой неравенством , из которого видно, что , если . Таким образом, учитывая равенство , вариант расчета с параметрами имеет только радиальное решение для функции . Оно колеблется и содержит на промежутке число нулей, равное номеру корня соответствующей функции Бесселя ( ). Если , число состояний квантовой системы равно . Все реализующиеся состояния в рассматриваемой системе фуллерен - гелий определяются начальной кинетической энергией атома гелия либо его начальным отклонением от центра масс фуллерена, т.е. его полной начальной энергией. На рис. 2 показаны примеры расчетов волновой динамики инкапсулированной частицы, отвечающие последовательности возбужденных состояний рассматриваемой системы. Эта последовательность определяется соответствующими квантовыми числами, представленными на рисунках. При этом величина , или номер корня функции Бесселя , была равна единице. Вероятности локализации атомов гелия, характеризующиеся соответствующими числами, приведены на рис. 2. Рис. 2. Поверхности и объемные изображения плотности вероятности локализазии атома гелия, находящегося в состояниях (см. также с. 162) Рис. 2. Окончание Траектории движения атома гелия внутри поверхностного кристалла фуллерена лежат в областях, отмеченных на графике повышением интенсивности плотности изображения. О симметриях зон локализации частиц гелия можно сделать вывод по правым изображениям рис. 2, a-е. Так, область, представленная на рис. 2, a имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Области, показанные на рис. 2, б-г, е содержат по две плоскости симметрии, перпендикулярные каждому из сечений . Рис. 2, д представляет случай, когда распределение функции имеет четыре плоскости симметрии, сопряженные с указанными сечениями. Заключение В задаче о сферическом ротаторе квантовые числа появляются, прежде всего, из представления , полученного при разделении переменных, и условия ограниченности решения. Дальнейшее разделение переменных в искомом решении приводит к появлению квантового числа : . Таким образом, первоначально мы находим фундаментальные распределения по отдельным координатам. Из этих распределений с помощью метода суперпозиции строятся решения во многих конкретных задачах. В то же время в рассматриваемой задаче из-за высокой степени симметрии идеализированного фуллерена и волны, порожденные минимальными квантовыми числами, уже являются решениями. Очевидно, что такие волны должны быть целыми. Однако, в сущности, это есть требование непрерывности решения. Третье квантовое число возникает из совпадения уравнения для радиальной части задачи с уравнением для функции Бесселя с полуцелым индексом. Поэтому kn является одним из многочисленных корней уравнения . Таким образом, все квантовые числа порождаются двумя требованиями ограниченности и непрерывности решения.

Скачать электронную версию публикации