Analytical solution of the Klein-Fock-Gordon equation for modified potential Klingberg plus ring shaped potential.pdf Введение Квантовая механика за продолжительный период времени переросла из передовой теории в отдельную область физики. В ней до сих пор очень важно изучение точно решаемых задач для физических потенциалов [1-3]. Потенциальные модели в рамках релятивистской и нерелятивистской квантовой механики всегда играли и будут играть важную, может быть и основную, роль в исследованиях в области физики ядра и элементарных частиц, а также физики атомов и молекул. В потенциальных моделях физические свойства микрообъектов описываются и интерпретируются с помощью различных волновых уравнений, например, уравнения Шредингера, уравнения Дирака, уравнения Клейна - Фока - Гордона (КФГ), релятивистского конечно-разностного уравнения [1-4]. При этом используются точные или феноменологически введенные потенциалы взаимодействия. Таких потенциалов немало. Самыми известными потенциалами, широко применяемыми как в релятивистской, так и нерелятивистской областях, являются кулоновский потенциал и потенциал гармонического осциллятора, а также их разновидности. К другим видам потенциалов взаимодействия относятся, например, потенциалы: Кратцера [5], Морса [6], Эскарта [7], Maннинга - Розена [8], Пёшль - Теллера [9], Хюльтена [10], Вудса - Саксона [11], Макарова [12], Хартмана [13] и др. Важность потенциальной модели в первую очередь, определяется тем, на сколько она хорошо описывает те или иные свойства рассматриваемой физической системы. Другой стороной модели является ее точная решаемость. Исследование точно решаемых задач играет важную роль как в нерелятивистской, так и в релятивистской квантовой механике. Точно решаемые задачи, в частности, являются базой для развития различных приближенных методов исследования. Точное аналитическое решение волновых уравнений, релятивистской и нерелятивистской известно лишь для очень ограниченного класса потенциальных полей . Нахождение точных решений волновых уравнений всегда было и остается важной и актуальной задачей. Релятивистские волновые уравнении КФГ и Дирака для заряда во внешнем электромагнитном поле являются основой квантовой электродинамики [1]. Особо важную роль в квантовой механике играет класс нецентральных потенциалов, которые можно определить в виде . (1) Нецентральные потенциалы необходимы для получения лучших результатов, они отличаются от центральных по динамическим свойствам молекулярных структур и взаимодействий. Потенциалы ринг-шапеда можно использовать в квантовой химии для описания органических молекул, таких как бензол, и в ядерной физике для исследования взаимодействия между деформированной парой ядра и спин-орбитальной связью для движения частицы в потенциальных полях. Этот потенциал также используется в качестве математической модели в описании двухатомных молекулярных колебаний и составляет удобную модель для других физических ситуаций. Другие важные нецентральные потенциалы вида (1) были рассмотрены Хаутотом [14] в рамках нерелятивистской квантовой механики для изучения проблемы движения заряженной частицы. Он рассмотрел двух- и трехмерные потенциалы гармонического осциллятора и кулоновский потенциал, к которым были добавлены члены этого типа , и нашел такие функции , которые позволили ему точно решить соответствующие уравнения Шредингера. Потенциал Хартмана [6] - это частный случай одного из потенциалов Хаутота. В недавней работе [4] рассмотрели трехмерную задачу о движении заряженной релятивистской квантовой частицы в нецентральном кулоновском плюс кольцевом потенциале. Это исследование основано на конечно-разностной версии релятивистской квантовой механики и является обобщением результатов работы Хаутота на релятивистский случай. Подчеркнем, что потенциал Кулона и плюс ринг-шапеда подобный потенциал имеют широкое применение в различных областях микрофизики: в ядерной физике и физике элементарных частиц, в атомной и молекулярной физике, в конденсированной среде и в химической физике как в нерелятивистской, так и в релятивистской областях. В работе [15] изучено уравнение КФГ для описания движения релятивистской бесспиновой заряженной частицы в нецентральном поле. Найдено точное решение уравнения КФГ для равных скалярных и векторных кулоновских плюс кольцевых потенциалов с помощью обычного метода разделения переменных. Получено точное энергетическое уравнение. Нормированные радиальные волновые функции выражаются через конфлюэнтные гипергеометрические функции. В случае дискретного энергетического спектра они (эти волновые функции) записываются в терминах полиномов Лагерра. Но нормированные волновые функции, зависящие от угла, выражаются в терминах полиномов Якоби. Волновое уравнение КФГ весьма эффективно описывает бесспиновые скалярные и псевдоскалярные частицы, составные частицы, такие как пи-мезон, бозон Хиггса и т.д. В научной литературе с использованием различных методов решения уравнения КФГ с физическими потенциалами существует ряд интересных работ ([15] и ссылки в ней). В этих работах данное уравнение с векторным потенциалом типа Хюльтена было исследовано традиционным методом. Эта же задача исследована как с векторным, так и со скалярным потенциалами типа Хюльтена. Уравнение КФГ с этим же потенциалом было использовано для задачи рассеяния случаев регулярных и нерегулярных граничных условий волновой функции. Методом интегрирования по траекториям также успешно определили функцию Грина для оператора КФГ. В исследованиях радиальной и азимутальной части волновых уравнений для при различных потенциалах эффективно применялись разные методы, например, SUSY-методы, метод факторизации, подход с преобразованием Лапласа, метод интегрирования по траекториям, метод смещенного расширения . Часто применялся метод Никифорова - Уварова (НУ) [16] для аналитического решения волновых уравнений. В работах [17-26] уравнение КФГ и Дирака подробно было изучено для различных потенциалов. Решение уравнения Шредингера для суммы потенциала Клингберга и ринг-шапеда представлено в работе [27]. Потенциал Киллингберга состоит из суммы потенциала осциллятора и потенциала Корнелла и имеет вид [28] . (2) Как известно, модифицированный потенциал Клингберга определяется в виде [29] . (3) Здесь D - энергия диссоциации на единицу площади длины; a - ширина тонкой линзы, представляющая общую площадь контакта двух атомов, составляющих молекулу. Комбинированный потенциал, рассматриваемый в этом исследовании, получен как линейная комбинация потенциала Клингберга с потенциалом ринг-шапеда: . (4) Здесь и - строго положительные постоянные. В настоящей работе уравнения КФГ для комбинированного потенциала Клингберга и ринг-шапеда при произвольном значении орбитального квантового числа ( ) аналитически решаются с помощью метода Никифорова - Уварова. Таким образом, основной целью нашего исследования является аналитическое решение модифицированного уравнения КФГ для линейной комбинации потенциала Клингберга и ринг-шапеда в рамках обычной квантовой механики с использованием метода НУ. Применяя развитую аппроксимацию для преодоления проблемы, возникающей в случае в центробежной части потенциала, найдены собственные значения энергии и соответствующие радиальные волновые функции для любого значения орбитального углового момента . Потенциал Клингберга играет важную роль в атомной, молекулярной и химической физике, поскольку он может быть использован для описания молекулярных колебаний и для получения энергетических спектров линейных и нелинейных систем. Он также является одним из потенциальных кандидатов, используемых при описании собственных функций и энергетических спектров удержания кварков в адроне в квантовой хромодинамике. 1. Метод Никифоров - Уварова Метод НУ используется для решения дифференциального уравнения второго порядка, которое должно быть в следующем виде [16]: . (5) Здесь и - полиномы не выше второй степени; - полином не выше первой степени. Тогда, если взять следующую факторизацию для функции : , (6) уравнение (1) сводится к уравнению гипергеометрического типа вида , (7) где и удовлетворяют условию , функция определяется в виде . (8) Здесь k - параметр и его определение является существенным моментом при расчете . Данный параметр просто определяется из выражения (4) приравниванием дискриминанта квадратного корня к нулю. Отсюда можно получить общее квадратное уравнение для . Значения можно использовать для вычисления собственного значения энергии с помощью формулы . (9) Полиномиальные решения задаются соотношением Родрига: , (10) где - нормирующая постоянная; - весовая функция, которая определяется из уравнения . (11) С другой стороны, функция удовлетворяет условию . (12) 2. Решение Уравнения Клейна - Фока - Гордона для потенциала Клингберга в связанном состоянии Для скалярного и векторного потенциалов уравнение КФГ в атомных единицах в сферической системе координат определяется в виде [1] , (13) где - масса покоя скалярной частицы; - энергия релятивистской частицы. Для простоты в дальнейшем будем считать, что в уравнении (13) скалярный потенциал равен векторному потенциалу: , . (14) Подстановка (14) в (13) дает , (15) где, как известно, , . (16) Перепишем уравнение (15) в виде . (17) Это уравнение в сферической системе координат допускает разделение переменных. Поэтому волновую функцию можно записать как . (18) Сразу отметим, что, поскольку оператор коммутирует с гамильтонианом уравнения (17), то функция будет иметь стандартный вид (19) Подставляя функцию (18) в уравнение (17), мы получим следующую систему дифференциальных уравнений второго порядка: , (20) , (21) где величины и являются постоянными разделения. 3. Решение радиального уравнения движения В уравнение (20) введем новые обозначения, чтобы переписать дифференциальное уравнение (20) в более компактном виде: , , . (22) Тогда получим . (23) Для решения уравнения (23) по методу НУ мы введем новую переменную , (24) в результате уравнение (23) принимает следующий вид: . (25) Здесь , . (26) Сравнивая уравнение (25) с уравнением (5) для , и , будем иметь . (27) Согласно (6), решение уравнения (25) запишем так: , . (28) Функцию находим из формулы (8) (29) Поскольку является полиномом по , то дискриминант подкоренного выражения в (29) должен быть равен нулю. Из этого условия находим параметр : . (30) Подставляем теперь выражение (30) в (29) и получаем для следующую формулу: (31) Найдем теперь функцию по формуле (28). Она равна . (32) Из условия конечности волновой функции в точках и (т.е. в точках и ) следует, что должно быть и . Это дает и поэтому . Следовательно, для функции находим выражение . (33) Теперь параметр принимает вид . Зная , , можем найти и : . (34) С другой стороны, согласно (5), имеем . (35) Формулы (34) и (35) дают нам энергетический спектр рассматриваемой системы или (36) Найдем теперь волновую функцию полинома левой части волновой функции (28) по формуле (11). Она равна . (37) Следовательно, полиномы будут определяться соотношением Родрига (10) . (38) Сравним соотношение (38) с соотношением Родрига для полиномов Лагерра [30] . (39) Из этого сравнения получаем (40) Теперь с учетом (28), (33) и (40) можем написать радиальную волновую функцию в виде (41) или, подставляя сюда (24), (42) В (42) постоянную нормировку определяем из условия ортонормированности радиальной волновой функции . (43) Для вычисления интеграла (43) воспользуемся условием ортогональности полиномов Лагерра [30] . (44) В результате для получаем следующее выражение: . (45) 4. Решение азимутальной угол-зависимой части уравнения Клейна - Фока - Гордона В уравнении (21) с использованием метода НУ мы также можем получить собственные значения и собственные векторы зависимой от азимутального угла части уравнения КФГ. Для этого вводим новые переменные и и, подставляя их в уравнение (21), получаем . (46) После сравнения уравнения (46) с уравнением (5) имеем , , . (47) Применяя метод НУ, функция вычисляется для зависимой от угла части как . Постоянный параметр может быть определен в виде , (48) где . Соответствующая функция и параметр являются , (49) . (50) Из условия применимости метода НУ известно, что параметр должен выполнить условие . Поэтому становится: . (51) Мы можем также определить параметры в виде . (52) Для нахождения параметра мы должны решить уравнение (52) относительно по . Тогда получаем . (53) Здесь (54) и . Отсюда для находим . (55) Подставляя выражения (55) в уравнение (36), получаем желаемый спектр энергии в терминах квантовых чисел и . Аналогично волновая функция, зависимая от угловой части уравнения КФГ, может быть формально получена из вывода радиальной части уравнения КФГ. Сначала факторизуем функцию в виде . (56) Затем, используя формулу (3), получаем , (57) , . (58) С другой стороны, чтобы найти решение для , мы должны сначала найти весовую функцию . Из уравнения Пиaрсона мы находим весовую функцию . (59) Подстановка уравнения (59) в формулу (10) позволяет получить многочлен Якоби в следующей форме [30]: . (60) Из определения полиномов Якоби мы можем записать [30] . (61) Подставляя выражения (60), (61) и (55) в (54), для функции находим , (62) - нормирующая постоянная, которая находится из условия нормированности и имеет вид . (63) Таким образом, подсталяя уравнение (55) в уравнение (36), мы непосредственно получим спектр энергии для объединенного потенциала Клингберга плюс ринг-шапеда в форме . (64) Обсуждение численных результатов и заключение В этой работе мы получили собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для произвольных состояний путем решения модифицированного уравнения Клейна - Фока - Гордона для суммы потенциала Клингберга и ринг-шапеда с использованием метода Никифорова - Уварова. Для решения уравнения Клейна - Фока - Гордона при произвольных значениях орбитального момента мы применяли особый подход к центростремительному (центробежному) потенциалу для преодоления проблемы со связанной компонентой, которая пропорциональна . Собственные значения энергии и соответствующие собственные функции получены для произвольного значения орбитального и радиального квантовых чисел. В компактном виде найдены аналитическое выражение для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для произвольных значений орбитального квантового числа. Кроме того, было также показано, что собственные значения энергии и соответствующие собственные волновые функции чувствительны к выбору радиальных и орбитальных квантовых чисел. Следовательно, исследование аналитического решения модифицированного уравнения КФГ для линейной комбинации потенциала Клингберга и ринг-шапеда в рамках квантовой механики может способствовать получению ценной информации о динамике в ядерной, атомной и молекулярной физике и откроет новое окно для более глубоких исследований. Таким образом, можем сделать вывод, что наши результаты интересны не только физику-теоретику, но и физику-экспериментатору благодаря точным и более общим результатам.

Скачать электронную версию публикации