Calculation of the precision parameters of the cosmic microwave background radiation in the Starobinsky inflation model.pdf Введение Инфляция - это космологическая парадигма о существовании короткого промежутка времени в ранней Вселенной, в течение которого имел место ускоренный рост масштабного фактора a(t) в метрике Фридмана - Леметра - Робертсона - Уокера (FLRW) до эпохи преобладания излучения [1, 2], . (1) Хотя идея инфляции еще не получила прямого доказательства, имеются косвенные факты в пользу ее существования. Прежде всего, это теоретические предсказания флуктуаций космического (реликтового) микроволнового излучения (CMB) и крупномасштабной структуры Вселенной, которые хорошо согласуются с наблюдениями WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) [3]. Инфляция может порождать флуктуации во Вселенной, которые могут привести к формированию ее структуры. Драйвером инфляции является скалярное поле (инфлатон). Основными дискриминаторами среди различных инфляционных моделей являются спектральные индексы, связанные с первичным спектром мощности возмущений кривизны [4]. Актуальная миссия в космосе коллаборации PLANCK измерила наблюдаемый спектральный индекс скалярных возмущений в CMB с точностью до 0.5% [5]. Хотя основные формулы для расчета спектральных индексов в терминах любого скалярного потенциала инфлатона хорошо известны [4], их зависимость от числа e-кратностей (продолжительности инфляции) может быть вычислена только при рассмотрении конкретной инфляционной модели. В связи с прогнозируемым улучшением точности измерений спектральных индексов в ближайшем будущем возникает необходимость фильтрации (дискриминации) имеющихся инфляционных моделей на предмет их соответствия с новейшими наблюдениями. В свою очередь, это предполагает необходимость учета высших поправок в формулах, описывающих зависимость спектральных индексов от числа е-кратностей. В актуальной литературе обычно учитываются только ведущие члены, поскольку длительность инфляции, измеряемая числом е-кратностей, точно не известна. Обычно предполагается, что число е-кратностей должно быть между 50 и 60. Первая модель инфляции была предложена А.А. Старобинским в 1980 г. [6]. Это простейшая версия теории модифицированной f(R)-гравитации [7, 8], дополнительный член которой, отличный от стандартного члена Эйнштейна - Гильберта, квадратичен по скалярной кривизне. Известно, что любая гравитационная модель f(R)-гравитации математически эквивалентна скалярно-тензорной гравитации Эйнштейна. Данная эквивалентность достигается преобразованием Лежандра - Вейля [9-12]. Эта процедура рассматривается ниже. Стоит отметить, что в современной литературе иногда ([7, 8] и ссылки в них) эквивалентность f(R)-гравитации скалярному полю ставится под сомнение. Однако, как известно в теории поля, математически эквивалентные теории поля должны быть также эквивалентны и физически [13]. Спектральные индексы в модели Старобинского были рассчитаны в первом приближении по 1/Ne в работах Муханова и Чибисова [14, 15]. Основной задачей данных работ является вычисление следующих (subleading) поправок к формуле Муханова - Чибисова для спектрального индекса скалярных возмущений. 1. Инфляционная модель Старобинского A priori нет причин ограничивать гравитационный лагранжиан стандартной функцией Эйнштейна - Гильберта, линейной по скалярной кривизне, если это не противоречит эксперименту. Первая попытка модифицировать лагранжиан была предпринята Вейлем в 1921 г. В настоящее время нет никаких сомнений в том, что дополнительные члены высшего порядка по скалярной кривизне должны появляться в гравитационном действии любой квантовой теории гравитации. Например, они действительно появляются в теория струн [16]. Как известно, существуют лишь три независимых квадратичных инварианта кривизны: , и . Однако две комбинации инвариантов: , (2) (3) не вносят вклад в уравнения движения для FLRW-метрики. Следовательно, общий вид действия с членом второго порядка по кривизне, которое может являться инфляционной моделью, выглядит следующим образом: , (4) где для отсутствия гостов (см. [13] для более полной информации о модели Старобинского). 2. Результаты и обсуждение 2.1. Гравитация f(R) и инфляция Модель (4) является частным случаем теории с действием (5) с некоторой функцией f(R) от скалярной кривизны. Гравитационные уравнения движения, полученные из действия (5), имеют вид . (6) Эти уравнения движения являются дифференциальными уравнениями 4-го порядка относительно метрики . Взяв след уравнения движения (6), получим . (7) Следовательно, в отличие от общей теории относительности, имеющей f'(R) = const, в нашем же случае поле A = f'(R) является динамическим. В терминах ( , A) уравнения движения имеют 2-й порядок по производным поля f'(R). Как уже отмечалось ранее, имеет место классическая эквивалентность между гравитацией f(R) и скалярным полем инфлатона. Ее можно достичь преобразованием Лежандра - Вейля: , (8) где скаляр связан со скалярной кривизной R преобразованием Лежандра: и . (9) Преобразование Вейля имеет вид , (10) где - скалярное поле инфлатона. Для конформных преобразований , при размерности пространства-времени, равной 4, получаем , , , , , где . Соответственно получаем . (11) Следовательно, выбрав , преобразованное действие гравитационного поля принимает вид . (12) Следуя теореме Гаусса, можно отбросить член , поскольку на бесконечно удаленной поверхности в пространстве полей нет, так что данный член не вносит вклада в уравнения движения. Поэтому в конечном итоге получаем действие: , (13) или . (14) Первый интеграл является линейным по скалярной кривизне действием Эйнштейна - Гильберта. Второй же интеграл является действием канонического скалярного поля инфлатона, потенциал которого задается последним слагаемым: . (15) Выразим в явном виде : , , , . Подставим решение данного уравнения в уравнение (15) и получим потенциал скалярного поля инфлатона : , . (16) Знак минус в аргументе экспоненциальной функции можно опустить, так как при замене поведение графика потенциала не изменится. Обозначим потенциальную энергию, с которой начиналась инфляция (скатывание инфлатона), как космологическую постоянную . (17) Безразмерный потенциал определим следующим образом: . (18) Тогда график функции представлен на рис. 1. Рис. 1. График функции В дальнейшем удобно использовать безразмерный потенциал (18). Инфляционная модель Старобинского (R + αR2), описанная выше, известна как превосходная модель хаотической инфляции в ранней Вселенной, и ее спектральные индексы в ведущем приближении по числу е-кратностей также хорошо известны [13]. 2.2. Спектральные индексы Инфляция в режиме медленного скатывания задается параметрами медленного скатывания [4]: , (19) . (20) Условиями медленного скатывания инфлатона являются малость этих параметров [4]: и . (21) Как только значения параметров (19) и (20) приближаются к единице, инфляция заканчивается. Из условий медленного скатывания следует, что скорость и ускорение изменения потенциала по должны быть много меньше самого потенциала. Это означает, что первое условие гарантирует ускоренный рост масштабного фактора (1) (ускоренное расширение), а второе условие гарантирует, что инфляция продлится достаточно долго благодаря коэффициенту вязкого трения в уравнении движения инфлатона: . (22) Найдем параметры медленного скатывания в модели Старобинского: , . Инфляция заканчивается тогда, когда хотя бы один из параметров медленного скатывания приближается к единице: 1) : ; 2) : . Очевидно, что конец инфляции имеет место, когда принимает значение , что происходит раньше, чем при . Продолжительность инфляции измеряется числом е-кратностей: . (23) Здесь - значение скалярного поля, при котором инфляция заканчивается. Формула (23) принимает вид . (24) Соответственно, параметры скатывания принимают вид: , . Из формулы (24) выразим в терминах : , , . Слагаемые много меньше числа е-кратностей, поскольку может принимать значения . Поэтому получаем , (25) . (26) Подставим уравнение (25) в правую часть уравнения (26): . (27) Раскладывая выражение под логарифмом в уравнении (27) в ряд Тейлора в окрестности нуля, получим , . В итоге имеем . (28) Подставим формулу (28) в параметры медленного скатывания: , (29) . (30) Теперь мы готовы к расчету наблюдаемых CMB-параметров в инфляционной модели Старобинского, т.е. к конкретным физическим предсказаниям. В частности, наклон скалярного спектра мощности, связанный с возмущениями плотности, задается [4] . (31) Уравнения (29), (30) и (31) в совокупности принимают вид . (32) Формула (32) является одним из основных результатов данной работы, в которой третий и четвертый члены в правой части уравнения представляют высшие (subleading) поправки к формуле Муханова - Чибисова. Это аналитическая формула расчета наклона скалярного спектра мощности. Однако стоит отметить, что ее можно получить и численным методом. Для этого можно использовать специальную функцию Ламберта (W-функцию), которая позволяет выразить в терминах . Для любого комплексного или вещественного x W-функция определяется функциональным уравнением . Следствием данного уравнения является уравнение вида , (33) где a0, c и r - вещественные константы. Решением такого уравнения является: . (34) В нашем случае, исходя из формулы (24), формула (33) принимает вид , , (35) где , ; . Соответственно решением уравнения (35) является выражение . (36) Эта формула также является основным новым результатом работы. Подставляя выражение (36) в параметры медленного скатывания и пользуясь математическим пакетом Wolfram Mathematica, нетрудно посчитать наклон скалярного спектра мощности . Измерения космического микроволнового фонового излучения, выполненные спутником PLANCK [5], дают значения . С помощью тех же численных методов определяем число е-кратностей, совпадающее с наблюдаемыми данными спутника PLANCK, которое принимает значения в интервале . С другой стороны, пользуясь приближенной формулой (32), получаем число е-кратностей в интервале , т.е. сдвиг в среднем значении на 1.3. Заключение Основные результаты данной работы представлены в формулах (29), (30), (32) и (36). Полученные результаты согласуются с известными результатами [13-15]. Погрешность между вычислениями численного и аналитически приближенного метода составляет ~ 2.4%. Таким образом, простейшая инфляционная модель Старобинского (1980 г.) до сих пор согласуется с новейшими экспериментальными наблюдениями CMB коллаборацией PLANCK [5]. Однако при повышении точности измерений спектрального индекса , относительного индекса тензорных возмущений r и числа е-кратностей следует ожидать возможных расхождений между предсказаниями модели Старобинского и наблюдениями, где найденные в данной работе формулы могут оказаться полезными. Автор признателен профессору С.В. Кетову за постановку задачи.

Скачать электронную версию публикации