Gravitational and electromagnetic effects in the configuration of a rotating electrically charged ideal fluid.pdf Мы рассматриваем свойства цилиндрически-симметричного распределения электрически заряженной вращающейся идеальной жидкости с уравнением состояния в рамках теории гравитации Эйнштейна (ОТО). В такой системе вращающейся электрически заряженной сплошной среды возникают кольцевые электрические токи в азимутальном направлении, которые, в свою очередь, индуцируют появление продольного магнитного поля вдоль оси симметрии OZ. Кроме того, в цилиндрически-симметричной электрически заряженной сплошной среде возможно, в общем случае, существование радиального электрического поля. В результате для исследования свойств такой цилиндрически-симметричной конфигурации вращающейся электрически заряженной идеальной жидкости с продольным магнитным полем и радиальным электрическим полем нам необходимо будет решать систему уравнений Эйнштейна - Максвелла в пространстве-времени, описываемом цилиндрически-симметричной метрикой, приспособленной для описания вращения материальной системы. Цилиндрическая симметрия является одной из простейших пространственно-временных симметрий, позволяющая получать большое разнообразие точных решений в ОТО и ее обобщениях. Она хорошо подходит для описания линейно протяженных структур, таких как космические струны и наблюдаемые космические джеты. Большое количество статических цилиндрически-симметрич¬ных решений в рамках ОТО, включая вакуумные, электровакуумные случаи, а также с идеальной жидкостью, полученных ранее, приведены в обзорах [1, 2]. Важные аргументы в поддержку актуальности исследований цилиндрически-симметричных конфигураций дают космологические данные. Так, например, следует отметить сообщение Берча [3] о наблюдении глобальной анизотропии поляризации радиоизлучения внегалактических источников, причиной которой может быть слабое вращение Вселенной. Это дало толчок к построению большого количества космологических моделей с вращением, значительная часть которых имеет цилиндрическую симметрию [4-6]. Новый подробный анализ космического микроволнового излучения указывает на существование выделенного направления во Вселенной [7]. Существуют также аргументы в пользу включения в космологические модели крупномасштабных магнитных полей [8]. Важным преимуществом цилиндрической симметрии, в сравнении со сферической, является возможность включения в нее описания вращения материальных объектов простейшим способом. Стационарное пространство-время с цилиндрической симметрией, совместимое с самогравитирующей вращающейся идеальной жидкостью, может описываться метрикой . (1) Здесь метрические коэффициенты A, B, C, D, E являются функциями от радиальной координаты x ( , , , , ). В этом пространстве существует вихревое гравитационное поле, являющееся вихревой составляющей полного гравитационного поля. Здесь оно описывается с помощью недиагонального метрического коэффициента . В общем случае вихревое гравитационное поле определяется 4-мерным ротором поля тетрад [9, 10] . (2) Здесь - ортонормированные векторы касательной тетрады, латинские индексы i, k, l, m - мировые индексы, а индексы (a), (b), (c), … - локальные лоренцевы индексы. С кинематической точки зрения аксиальный вектор есть угловая скорость вращения тетрады. Она определяет плотность собственного момента импульса вихревого гравитационного поля : , . (3) Вихревое гравитационное поле характеризуется также своим тензором энергии-импульса , компоненты которого пропорциональны ω2. Он удовлетворяет локальному закону сохранения: , относительно соответствующей статической метрики (в данном случае, когда ). В рассматриваемом случае пространства с метрикой (1) , . (4) Он обладает очень экзотическими свойствами. Например, у него эффективная плотность энергии равна , т.е. отрицательная. В стационарном пространстве с метрикой (1) вычисления по формуле (2) для вектора угловой скорости дают выражение , ( ). (5) Модуль вектора угловой скорости тогда будет иметь вид . (6) Поскольку наша система является сопутствующей для вращающейся жидкости, то ее азимутальный поток , откуда в силу уравнений Эйнштейна и компонента . В результате получим для угловой скорости более простое выражение: . (7) Эффективное пространственное сечение рассматриваемого пространства-времени определяется 3-мерной метрикой: , . (8) Здесь - эффективный угловой метрический коэффициент. При выделении этой эффективной пространственной метрики метрика пространства-времени запишется в виде . (9) Далее будем пользоваться гармоничным координатным условием: . В этом случае формулы (5) - (7) для угловой скорости упростятся: , , . (10) Здесь мы имеем электрически заряженную вращающуюся идеальную жидкость с баротропным уравнением состояния: ( ), где - давление, а - плотность энергии идеальной жидкости. Из локального закона сохранения для жидкости в сопутствующей системе отсчета имеем уравнение . (11) Решение этого уравнения при уравнении состояния следующее: , . (12) Во вращающейся системе отсчета, сопутствующей электрически заряженной жидкости, 4-скорость , нормированная на единицу ( ), и плотность электрического тока определяются выражениями , . (13) Как было сказано выше, в стационарной конфигурации электрически заряженной вращающейся жидкости должно возникать стационарное продольное магнитное поле, и может присутствовать радиальное электрическое поле. В стационарном случае магнитное поле и электрическое поле не зависят друг от друга, и каждое из них описывается отдельно, поэтому таким полям соответствуют свои векторные потенциалы , с компонентами: , , (14) где - потенциал продольного магнитного поля, а - потенциал радиального электрического поля. Тензор напряженности магнитного и электрического полей вычисляется по формуле . (15) С учетом формул (14), (15) компоненты тензора определяются выражениями , , (16) где - напряженность продольного магнитного поля; - напряженность электрического поля. Остальные компоненты тензора равны нулю. Как известно, в стационарном случае магнитное поле и электрическое поле не зависят друг от друга, и система уравнений Максвелла распадается на две независимые подсистемы для магнитного и электрического полей. В данном случае в пространстве-времени с метрикой (1) с учетом формул (14) - (16), опуская промежуточные выкладки, эти уравнения приведем в окончательном виде (при выполнении координатного условия гармоничности). I. Уравнения для продольного магнитного поля: , , ( ). (17) II. Уравнения для радиального электрического поля: , . (18) Сначала будем находить решения уравнений Максвелла для продольного магнитного поля (17) и выводить следствия из найденных решений. Из первого уравнения системы (17) имеем 1-й интеграл: , . (19) При подстановке его во второе уравнение и при учете формул (10) для угловой скорости получаем ряд важных следствий: , , . (20) Но, с другой стороны, электрические заряды всегда имеют материальный носитель, в данном случае идеальную жидкость, и они, можно сказать, «вморожены» в материю с плотностью массы и с плотностью энергии . Поэтому отношение плотности электрического заряда к плотности энергии должно быть постоянным, т.е. , ( ), . (21) Сравнивая формулы (20) и (21), получаем выражение для плотности энергии: . (22) Сравнивая данное выражение для с его же выражением (12), получим соотношение между метрическими коэффициентами и : . (23) Теперь перейдем к нахождению решений системы уравнений (18) для радиального электрического поля и получению следствий из них. Эти решения и их следствия следующие: , , , , , , , . (24) Теперь, используя соотношения (19) и (24), вычисляем компоненты тензоров энергии-импульса магнитного и электрического полей по известной формуле . (25) Компоненты для магнитного поля: , . (26) Компоненты для радиального электрического поля: , . (27) Недиагональные компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля в формулах (26) и (27) не влияют на процесс получения решений уравнений Эйнштейна - Максвелла в данной задаче вследствие существования соотношения в пространстве-времени с метрикой (1): . (28) Тензор энергии-импульса идеальной жидкости в сигнатуре пространства-времени (+ + + - ) определяется по формуле , (29) так что смешанные компоненты этого тензора имеют диагональный вид . (30) Теперь можно выписать систему гравитационных уравнений Эйнштейна, используя полученные формулы и соотношения. При этом для удобства представим метрические коэффициенты в диагональном виде: , , , , (31) а уравнения Эйнштейна используем в форме . В рассматриваемой задаче эти уравнения будут иметь следующий вид: (32) При этом соотношение между метрическими коэффициентами (23) примет вид: , , . (33) Применяя последнее соотношение в (33) к уравнениям для и в системе уравнений (32), получим уравнение для функции : . (34) Здесь введено обозначение: . Видно, что получилось алгебраическое уравнение с постоянными коэффициентами для функции . Отсюда следует, что , а выбором масштаба времени можно сделать . Тогда получаем, что , , . Из соотношений (33) получается, что и , , . Таким образом мы имеем решение для функций и : , , , , , . (35) В результате из формул (10) и (12) для угловой скорости и плотности энергии с учетом решения (35) получается, что и постоянны: , . Подставляя далее решения (35) в систему уравнений (32), эту систему приведем к одному уравнению для функции и трем алгебраическим соотношениям для параметров , , , , : , (36) (37) Складывая второе и третье уравнения системы (37) и деля его на два, получим соотношение . (38) Теперь, вычитая из этого соотношения первое уравнение системы (37), получим важное следствие: . (39) Для выполнения этого равенства следует считать либо , либо . Но при обращается в нуль и угловая скорость , и напряженности обоих электрического и магнитного полей, и вклад в систему гравитационных уравнений (32) тензора энергии-импульса идеальной жидкости, т.е. исчезают все рассматриваемые здесь виды материи в данной задаче, а система уравнений (32) превращается в систему вакуумных уравнений Эйнштейна для стационарного пространства с метрикой (1), в котором a priory существует вихревое гравитационное поле. Такая задача была решена в работе [11], было, например, получено решение с геометрией пространства-времени «кротовой норы». Тем самым еще раз было показано, что вихревое гравитационное поле способствует образованию «кротовых нор». В свете сказанного выше, чтобы не выхолостить рассматриваемую задачу, следует принять, что , а . Это значит, что исчезает электрическое поле, но остается магнитное поле и вращающаяся электрически заряженная идеальная жидкость. Таким образом, следует вывод, что при условии цилиндрической симметрии при вращении электрически заряженной идеальной жидкости вокруг оси симметрии индуцируется только продольное магнитное поле. В отсутствие электрического поля, т.е. при , система алгебраических уравнений (37) для определения параметров системы примет вид: (40) где , , , . Из последнего соотношения в (40) видно, что при , т.е. в случае предельного уравнения состояния, когда , и параметр , определяющий напряженность магнитного поля (см. формулу (19)), обращается в нуль ( ), т.е. исчезает и магнитное поле. Таким образом, следует еще один важный вывод, что при стационарном вращении электрически заряженной жидкости с предельным уравнением состояния не индуцируется ни электрическое, ни магнитное поля, как и при вращении электрически нейтральной жидкости с тем же уравнением состояния . Соответствующая задача рассматривалась в работах [9, 12]. Были найдены интересные частные решения с наличием геометрии пространства-времени «кротовых нор». Общее решение такой задачи получено в работе [13], где также существовали решения с геометрией пространства-времени «кротовых нор». Учитывая вышеприведенный вывод, будем разрешать (40) при . Во-первых, из третьего соотношения в (40) для константы , определяющей напряженность магнитного поля, получаем выражение . (41) Учитывая, что , а , где - плотность массы жидкости, формулу (41) приведем к виду . (42) Видно, что с увеличением давления напряженность магнитного поля уменьшается и при ( ) напряженность магнитного поля стремится к нулю. Но поскольку это уменьшение , то этот эффект является релятивистским эффектом. Из формул (40) получаем еще одно важное соотношение , ( ). (43) Но из формул (26) видно, что есть плотность энергии магнитного поля , а - модуль плотности энергии вихревого гравитационного поля, или компонента давления этого поля (см. формулу (4)), а - просто угловая скорость вращения электрически заряженной жидкости. Поэтому формулу (43) можно записать в более физически явном виде . (44) Здесь - плотность массы жидкости; - плотность энергии магнитного поля; - давление вихревого гравитационного поля; - модуль плотности энергии вихревого гравитационного поля (напомним, что в соответствии с формулой (4) плотность энергии вихревого гравитационного поля отрицательна). Формулы (42), (44) можно представить еще в другом виде, используя уравнение состояния и формулу для определения скорости звука . Применяя последнюю формулу к уравнению состояния, получим . Подставив теперь это соотношение в формулы (42) и (44), приведем их к виду , (45) . (46) Из формулы (44) видно, что плотность энергии магнитного поля уменьшается при увеличении давления в жидкости и в предельном случае при обращается в нуль. Однако это уменьшение , т.е. это также является сугубо релятивистским эффектом, который на классическом уровне пренебрежимо мал, и им можно полностью пренебречь. Далее из первого и третьего соотношений в (40) получаем еще нужную формулу . (47) При ее использовании уравнение (36) для углового метрического коэффициента окончательно приведем к виду, удобному для физического осмысления и использования: , ( ). (48) Из (48) видно, что при также положительна, а это есть необходимое (но не достаточное) условие для образования «кротовой норы». Но при , т.е. для случаев пылевидной материи ( ) и отрицательного давления ( ), это необходимое условие ( ) для существования «кротовой норы» нарушается, т.е. в этих случаях «кротовых нор» образоваться не может. Нас здесь в основном интересует проблема образования «кротовых нор». Поэтому будем рассматривать лишь случай , а случаи рассматривать не будем, чтобы сильно не увеличивать объем статьи. Сначала сделаем преобразование коэффициентов (48): . При этом уравнение (48) будет иметь вид , . (49) Это уравнение типа уравнения Лиувилля. Первый интеграл этого уравнения следующий: . (50) Здесь - знаковая функция: при ; при ; при . При решение для этого интеграла следующее: , ( ). (51) При решение следующее: , ( ), . (52) При решение следующее: , . (53) Видно, что в интервале функция везде больше нуля и нигде не равна нулю, и при и , т.е. на концах интервала имеются две пространственные бесконечности. Все эти свойства решения (53) соответствуют наличию геометрии «кротовой норы», т.е. у нас получилось решение, описывающее геометрию «кротовой норы»: , , , . (54) Осталось найти последний метрический коэффициент . Его легко вычислить, используя формулы (6), (7) для угловой скорости с учетом решения (35): , , . (55) Чтобы представить найденные решения в более наглядном физическом виде, произведем преобразование радиальной координаты следующим образом: , , ( ). (56) В результате метрические коэффициенты , представятся в виде , , , (57) а метрика (9) стационарного пространства-времени с образовавшейся «кротовой норой» будет иметь вид , ( ). (58) Причем эта «кротовая нора» будет проходимой, так как в ней нет особенностей. Здесь первые три слагаемые определяют метрику эффективного пространственного сечения . (59) Геометрические свойства пространства-времени, описываемые полученной метрикой (58), можно яснее выявить, если раскрыть круглые скобки и привести подобные слагаемые. Тогда эту метрику можно представить в виде , (60) где ; ; . При рассмотрении множителя в квадратных скобках в метрическом коэффициенте при dφ2 выявляются три возможных вида пространства-времени, описываемых метрикой (60), в зависимости от значений коэффициента баротропности w, который в результате выступает как определяющий параметр. I. . Тогда метрический коэффициент при dφ2 во всем интервале ( ) строго положителен, а на обоих концах интервала стремится к бесконечности, что соответствует наличию двух пространственных бесконечностей, т.е. получается геометрия пространства «кротовой норы», причем проходимой. II. . Тогда метрика (60) примет вид . (61) Здесь метрический коэффициент при dφ2 - постоянная величина, т.е. получилось замкнутое по радиальной координате цилиндрическое пространство с конечным радиусом, изолированное от внешнего пространства. III. . Тогда метрический коэффициент при dφ2 в области, где , становится отрицательным, так что в этой области изменяется сама сигнатура пространства-времени: (+ + + - ) (+ - + - ), в результате координата φ становится временной координатой и причем замкнутой, так как ( ). Ниже мы приведем результаты компьютерных расчетов, представленные здесь графически (рис. 1 - 3), по нахождению времениподобных геодезических, представляющих движение пробной частицы в пространстве-времени «кротовой норы» с метрикой (60). Такая геометрия получается, как сказано выше, при значениях коэффициента w в интервале ( ). Здесь принято . Графические построения на рис. 1 - 3 сделаны для трех различных начальных положений: 1) ; 2) ; 3) . На рис. 1 точка - координата горловины «кротовой норы». Видно, что после прохождения через горловину радиальная скорость частицы неограниченно увеличивается. Рис. 1. Изменение радиальной координаты r(t) свободно движущейся частицы в пространстве «кротовой норы» Чем ближе начальное положение частицы к горловине, тем траектория частицы все ближе примыкает к линии радиальной координаты, а кривизна ее траектории уменьшается (рис. 2). Рис. 2. Траектория частицы в плоскости XY (Z = 0) На рис. 3 видно, что после определенного значения τ, зависящего от начального положения частицы, дальнейшее движение частицы при увеличении τ происходит практически при неизменяемом времени t в соответствии с чертежом на рис. 1. Рис. 3. Зависимость времени движения частицы t от скалярного параметра τ геодезической, пропорционального длине дуги геодезической Таким образом, мы исследовали возможные гравитационные и электромагнитные эффекты в стационарной конфигурации вращающейся самогравитирующей электрически заряженной идеальной жидкости с баротропным уравнением состояния с учетом возможного индуцирования в ней продольного магнитного и радиального электрического полей. Мы показали, что в такой конфигурации существует только продольное магнитное поле, которое тоже исчезает в предельном случае, когда (при ). Показано также, что при такая конфигурация может индуцировать образование «кротовой норы», и получено соответствующее точное решение. Такая образующаяся «кротовая нора» будет проходимой, а при определенных значениях коэффициента баротропности w эта цилиндрическая конфигурация может стать замкнутой по радиальной координате, и даже с измененной сигнатурой со вторым замкнутым временем. Кроме того, в получившейся «кротовой норе», как показали компьютерные исследования свойств времениподобных геодезических, скорость свободно движущейся пробной частицы неограниченно возрастает, а время ее движения остается конечной малой величиной независимо от пройденного пути в «кротовой норе» (см. рис. 1 - 3).

Скачать электронную версию публикации