Polarizabilities of microparticles in relativistic field theory.pdf Введение Одним из эффективных теоретических методов исследования электродинамических процессов является использование лагранжианов, полученных в рамках релятивистски-полевых подходов и согласующихся с низкоэнергетическими теоремами [1]. Построение эффективных релятивистски-инвариантных лагранжианов позволяет установить не только физическую интерпретацию электромагнитных характеристик микрочастиц, но и получить информацию о механизмах взаимодействия электромагнитного поля с этими частицами. Наиболее важными электромагнитными характеристиками микрочастиц являются их поляризуемости, величина которых обусловлена как структурными, так и квантовыми свойствами этих микрочастиц [2]. В последнее время используются многие электродинамические процессы, на основе которых реализуется получение данных о поляризуемостях таких микрочастиц, как адроны, ядра и др. В связи с этим возникает задача: как последовательно ковариантным образом учитывать вклад поляризуемостей в амплитуды и сечения электродинамических процессов на микрочастицах. Подобную проблему можно решить, построив полевой релятивистский формализм взаимодействия электромагнитного поля с микрочастицами с учетом их поляризуемостей. В работе [3] построен эффективный релятивистский лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля с микрочастицами, обладающими электрическими и магнитными дипольными моментами. В данной работе, используя методы работ [3-5], получен релятивистский лагранжиан с учетом электрической и магнитной поляризуемостей на основе наведенных дипольных моментов и установлены некоторые следствия из этого лагранжиана. Основная часть Рассмотрим поляризуемости микрочастиц в релятивисткой теории поля. По определению тензор электромагнитного поля выражается через четырехмерный потенциал электромагнитного поля следующим образом: (1) где . Явный вид тензора (1) представляется в виде матрицы , (2) где - компоненты вектора напряженности электрического поля; - компоненты вектора магнитной индукции. Используя определение метрического тензора , (3) получим следующее определение тензора электромагнитного поля который в виде матрицы имеет вид . (4) С помощью тензора Леви - Чивиты (в данной работе используем условие ) определим дуальные электромагнитные тензоры: (5) а также (6) Из определений (2) - (6) следует выражение для лагранжиана электромагнитного поля а также соотношение где На основании матричного представления электромагнитных тензоров (2) - (6) и четырехмерного вектора частицы (используется система единиц ) где v - скорость частицы; , определим следующие четырехмерные векторы [6]: (7) Эти векторы выражаются через векторы и скорость частицы следующим образом: , (8) , (9) , (10) . (11) В свою очередь, тензоры электромагнитного поля (2) - (6) можно определить с помощью векторов (7) - (10) и вектора . Так, например, (12) Перейдем теперь к релятивистскому полевому описанию взаимодействия электромагнитного поля с частицами, у которых электрическая и магнитная поляризуемости отличны от нуля. В нерелятивистской электродинамике электрическая и магнитная поляризуемости являются величинами, с помощью которых устанавливается пропорциональность между приложенными электрическим и магнитным полями и наведенными дипольными моментами [7]: (13) . (14) Следовательно, поляризуемости обладают фундаментальным свойством и связанными со структурой микрочастиц и механизмом взаимодействия электромагнитного поля с этими микросистемами. Энергия взаимодействия приложенного электромагнитного поля с микрочастицей имеет вид (15) Если микросистема состоит из N частиц в единице объема, то диэлектрические проницаемости связаны с поляризуемостями соотношениями [7] (16) Из этих соотношений видно, что поляризуемости и имеют размерность см2. В свою очередь, электрическая и магнитная поляризации макросистемы определяются через поляризуемости следующим образом: (17) Чтобы перейти к релятивистскому представлению соотношения (17), воспользуемся уравнениями Максвелла с учетом поляризации среды [8]: (18) (19) (20) (21) В уравнениях (18) и (19) и - плотности свободных зарядов и токов, и - плотности зарядов и токов, которые обусловлены поляризацией. Величины и выражаются через и M следующим образом: (22) (23) Соотношения (22), (23) можно представить в ковариантной форме (24) где - принимает значения 0, 1, 2, 3. В определении четырехмерного тока, обусловленного поляризацией, тензор имеет вид (25) Если перейдем к трехмерной записи соотношения (24) с помощью (25), то получим Используя метрический тензор и тензор Леви - Чивиты, можно определить матричное представление тензоров , , . Результат вычислений представляется соотношениями: (26) На основании тензоров , , и определим четырехмерные векторы (27) Аналогично определению тензора электромагнитного поля с помощью векторов и (12) тензор можно представить как (28) Из соотношений (25) и (26) следует, что (29) (30) Если воспользоваться соотношениями (29) - (30) в представлении (29), то получим матричные элементы матрицы (25). Определим лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля со средой, обладающей поляризациями, следующим образом: (31) Подставим матричные представления (25) и (4) в определение (31). В результате получим (32) Из соотношения (32) следует, что является инвариантом относительно преобразований Лоренца. Лагранжиан, состоящий из суммы лагранжианов электромагнитного поля и взаимодействия этого поля с поляризационной средой, имеет вид (33) где ; D - вектор электрической индукции; H - напряженность; B - вектор магнитной индукции. Гамильтониан взаимодействия определим через ток поляризации и потенциал электромагнитного поля (34) Воспользовавшись соотношением и асимптотическим условием, получим (35) Если воспользоваться соотношениями (12) и (28), то лагранжиан (32) примет вид (36) Установим теперь связь и с векторами и с помощью поляризуемостей и . Для этого воспользуемся релятивистским обобщением материальных уравнений и [6, 8]. Если учесть определения (22) и (23), то уравнения Максвелла (18) и (19) в релятивистском представлении имеют вид (37) где Четырехмерное обобщение соотношения определяется уравнением [8] (38) С помощью векторов и уравнение (38) можно представить так: (39) Если воспользоваться определением , то из (39) следует (40) Когда скорость частицы равна нулю, то из соотношений (7), (29) и (40) следует Релятивистское обобщение соотношения представляется уравнением [6, 8] (41) где - дуальный тензор тензора и выражается через дуальные тензоры и : (42) Подставляя (42) в (41) и используя соотношение , (43) получим (44) Согласно уравнениям (10) и (30) при скорости микрочастицы, равной нулю, из (44) следует, что магнитный дипольный момент равен Представим теперь лагранжиан взаимодействия (31), используя определение векторов (40) и (44), тогда лагранжиан взаимодействия (36) с учетом (40) и (44) принимает вид (45) Если воспользоваться определением векторов и через тензоры электромагнитного поля (7), то нетрудно убедиться, что (46) В свою очередь, поскольку из (7) следует, что (47) (48) то лагранжиан (45) выражается через поляризуемости следующим образом: (49) Из уравнения (49) следует, что в нулевом порядке по скорости а в разложении (49) до первого порядка по скорости получим (50) Это соотношение согласуется с , приведенным в работе [3], если учесть поляризуемости микрочастицы. Заключение Таким образом, на основе уравнений Максвелла и определения плотности заряда и тока поляризации структурной микрочастицы определен релятивистский тензор второго ранга, компонентами которого являются векторы электрической P и магнитной поляризации M среды. С помощью этого тензора и тензора электромагнитного поля получен релятивистский лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля со структурной микрочастицей с учетом поляризации ее структурных элементов. С помощью материальных уравнений в релятивистской форме получен лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля со структурной микрочастицей с учетом ее электрической и магнитной поляризуемостей и приведены следствия из этого лагранжиана.

Скачать электронную версию публикации