Представлены результаты определения степени нелинейности задачи оценивания начальных орбитальных параметров астероидов с малыми перигелийными расстояниями. Для 53 астероидов, известных на сентябрь 2021 г., получены значения показателя нелинейности χ, который позволил оценить нелинейность как слабую, умеренную или сильную. Расчет параметра основан на вычислении и сравнении значений целевой функции задачи наименьших квадратов (НК) в вершинах доверительного эллипсоида. Исследование показало, что для большинства астероидов (46 объектов) нелинейность слабая, для шести - умеренная и для одного объекта нелинейность определяется как сильная. Если нелинейность умеренная или сильная, для получения наиболее адекватного прогноза движения астероидов рекомендуется использовать нелинейные методы построения начальной области. Для астероидов с разной степенью нелинейности построены начальные вероятностные области с помощью линейного метода и метода возмущенных наблюдений. Для четырех астероидов прослежена эволюция линейной и нелинейной начальных областей и проведен сравнительный анализ поведения их со временем.
About the nonlinearity of the problem of estimating the parameters of asteroids with small perihelion distances.pdf Введение Прогнозирование движения астероидов является неотъемлемым этапом решения важных задач по предупреждению астероидной опасности. Особенно актуально подобное исследование для астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния. По состоянию на сентябрь 2021 г. известно 53 таких астероида. Объекты этого класса имеют перигелийные расстояния, не превышающие 0.15 а.е., и довольно вытянутые орбиты. В силу таких особенностей астероиды способны подходить к Земле незамеченными со стороны Солнца, в то время как достоверный прогноз их движения может способствовать своевременному выявлению вероятной опасности для Земли, исходящей от этих объектов. В таких случаях обычно рассматривают вероятностную орбитальную эволюцию астероидов. Эта задача включает в себя два основных этапа: построение области вероятных значений начальных параметров и отображение полученной области во времени. Первый этап требует особого внимания, так как выбор способа построения начальной области при решении задачи оценивания зависит от степени ее нелинейности. Работа посвящена исследованию нелинейности задачи оценивания орбитальных параметров всех астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния. В ходе выполнения работы получены результаты оценки степени нелинейности задачи для рассматриваемых объектов, построены начальные вероятностные области линейным и нелинейным методами для астероидов с разной степенью нелинейности, а также прослежена эволюция этих областей. Проведенное исследование позволило сравнить поведение вероятностных областей и оценить, как сильно влияет способ выбора построения начальной области на прогнозирование движения исследуемых объектов. 1. Определение нелинейности задачи оценивания начальных орбитальных параметров астероидов с малыми перигелийными расстояниями При построении области вероятных значений начальных параметров астероидов встает вопрос выбора способа формирования этой области, так как он напрямую связан со степенью нелинейности задачи оценивания [1]. Как правило, проблема сильной нелинейности возникает, когда астероид имеет небольшое число наблюдений, распределенных на короткой орбитальной дуге. Классифицировать задачи на слабо или сильно нелинейные можно с помощью показателей нелинейности [1-4]. В настоящем исследовании для оценки нелинейности задачи использовался показатель χ, подробно описанный в работе [1]. Способ определения показателя χ основан на расчете и сравнении значений целевой функции Φ(q) в вершинах доверительного эллипсоида. В данном случае коэффициент вычисляется по формуле (1) где целевая функция Φ(q) задачи наименьших квадратов (НК) задается в виде (2) В соотношениях (1) и (2) приняты следующие обозначения: q - m-мерный вектор начальных параметров орбиты объекта (m = 6); W - весовая матрица; символ T означает операцию транспонирования; d(q) - расчетная N-мерная вектор-функция модельных представлений наблюдений (например, прямое восхождение α и склонение δ); d* - N-мерный вектор наблюдений (N > m); . Максимальное и минимальное значения целевой функции в вершинах эллипсоида qj представляются в виде (3) Показатель нелинейности определяется в процессе улучшения орбиты астероида методом НК по всем имеющимся наблюдениям. В соответствие с [1] полученные значения χ будем интерпретировать, опираясь на следующие критерии. При χ < 0.01 задача считается слабо нелинейной, для 0.01 ≤ χ < 0.1 - умеренно нелинейной, а при χ 0.1 имеет место сильная нелинейность. Описанная методика была применена для определения степени нелинейности задачи оценивания начальных параметров всех астероидов с малыми перигелийными расстояниями. Руковод¬ствуясь приведенным выше критерием показателя χ, задача оценивания начальных параметров астероидов была классифицирована следующим образом. Для 2015 KO120 задача является сильно нелинейной, для 6 объектов (2013 HK11, 2015 EV, 2020 HY2, 2019 VE3, 2011 BT59, 2020 HE) - умеренно и для остальных 46 - слабо нелинейной. В табл. 1 представлены результаты исследования для некоторых астероидов с разной степенью нелинейности. Здесь приведены: значения перигелийного расстояния q, данные о наблюдениях (число наблюдений N и интервал наблюдений Δt) и показатель нелинейности. Астероиды расположены в порядке убывания значения χ. Число, интервал наблюдений и перигелийное расстояние были взяты с сайта центра малых планет (The Minor Planet Center of the International Astronomical Union, https://minorplanetcenter.net/) по состоянию на октябрь 2021 г. Таблица 1 Показатель нелинейности и данные о наблюдениях некоторых астероидов с малыми перигелийными расстояниями Астероид q, а.е. N Δt, сут χ 1 2015 KO120 0.123 15 3 0.18322549 2 2013 HK11 0.138 22 6 0.05079238 3 2015 EV 0.081 52 4 0.03098756 4 2020 HY2 0.125 24 3 0.02448258 5 2019 VE3 0.117 20 3 0.02183001 6 2011 BT59 0.14 13 8 0.01125291 7 2020 HE 0.146 41 6 0.01120695 8 2005 HC4 0.071 53 12 0.00947709 9 2008 FF5 0.077 52 11 0.00871996 10 2015 HG 0.104 27 7 0.00870931 11 2021 PH27 0.133 46 1515 0.00812193 12 2020 VL4 0.142 38 24 0.00789167 13 2017 SK10 0.140 35 7 0.00648316 Анализируя данные, приведенные в табл. 1, следует отметить, что объекты с сильной и умеренной нелинейностью имеют небольшое количество наблюдений на довольно коротком мерном интервале (меньше 10 сут). Орбиты этих астероидов определены плохо, что отражается на степени нелинейности задачи оценивания. При построении начальной вероятностной области этих объектов рекомендуется применять нелинейные методы для получения более достоверных результатов. 2. Построение начальных вероятностных областей астероидов с разной степенью нелинейности с использованием линейного и нелинейного методов Как уже отмечалось во введении, задача построения области вероятных значений начальных параметров астероидов является одним из этапов процесса изучения вероятностной орбитальной эволюции объектов. В зависимости от степени нелинейности задачи оценивания производится выбор способа построения начальной области. Для слабо нелинейных задач можно уверенно применять линейные методы, в умеренно и сильно нелинейных случаях рекомендуется использовать нелинейные способы построения начальной вероятностной области. Удобство применения линейных методов заключается в том, что из-за своей алгоритмической простоты они позволяют получить значительное количество виртуальных решений достаточно быстро. В свою очередь, нелинейные методы являются более трудоемкими, и применение их для слабо нелинейных задач нецелесообразно. В линейном методе начальная вероятностная область строится в виде шестимерного эллипсоида классическим способом, основанным на вероятных ошибках орбитальных параметров, получаемых из наблюдений путем решения задачи НК [5]. Центром области являются НК-оценки начальных параметров, так называемая номинальная орбита. На основе полной ковариационной матрицы ошибок случайным образом формируется множество значений вероятных начальных параметров, распределенных по нормальному закону относительно выбранного центра. Начальная эпоха t0, на которую производится улучшение орбиты, определяется как среднее арифметическое моментов наблюдений, поскольку она близка к моменту наилучшей обусловленности задачи НК. В качестве нелинейного способа построения начальной области используется метод возмущенных наблюдений. Основная идея метода заключается во внесении гауссова шума с дисперсией ошибок наблюдений в наблюдения и последующем многократном решении задачи наименьших квадратов [2]. Из перечня всех астероидов с малыми перигелийными расстояниями было выбрано несколько объектов с разной степенью нелинейности для построения начальной вероятностной области линейным и нелинейным методами. В табл. 2 для шести астероидов приведены данные о наблюдениях и информация об улучшении орбит астероидов, а именно: число моментов наблюдений N и интервал наблюдений Δt, начальная эпоха t0, среднеквадратическая ошибка представления наблюдений σ, а также среднеквадратическая ошибка НК-оценок векторов положения σ(x0) и скорости σ(v0). Как и предыдущая, данная таблица отсортирована в порядке убывания коэффициента нелинейности. Следует отметить, что данные о наблюдениях астероида 2007 GT3 в табл. 2 отличаются от данных, приведенных в табл. 1. Дело в том, что исследование вероятностной эволюции этого объекта выполнялось до появления новой группы наблюдений в 2021 г. Показатель нелинейности был пересчитан в октябре 2021 г., но в обоих случаях степень нелинейности оценивается как слабая. Таблица 2 Данные о наблюдениях и результатах улучшения орбит астероидов с разной степенью нелинейности Астероид N Δt, сут t0 , σ(x0), а.е. σ(v0), а.е. 2015 KO120 15 3 24.05.2015 0.449 8.4 10-3 4.2 10-4 2013 HK11 22 6 19.04.2013 0.478 2. 4 10-3 2.1 10-4 2015 EV 52 4 12.03.2015 0.474 4.4 10-4 7.1 10-4 2015 HG 27 7 18.04.2015 0.252 8.8 10-4 6.3 10-4 2017 TC1 52 22 05.10.2017 0.244 7.5 10-5 4.6 10-6 2007 GT3 31 13 15.04.2007 0.548 2.3 10-3 1.5 10-4 Для астероида 2015 KO120 задача оценивания начальных параметров сильно нелинейная, для 2013 HK11 и 2015 EV - умеренно нелинейная, а для 2017 TC1, 2007 GT3 и 2015 HG - слабо нелинейная. Для каждого астероида из табл. 2 были построены начальные вероятностные области двумя способами: классическим линейным и методом возмущенных наблюдений. При этом начальная область представлялась 10000 виртуальных частиц. В силу специфики орбит астероидов в модели сил, помимо основных гравитационных возмущений от больших планет и Луны, учитывались сжатие Солнца и релятивистские эффекты от Солнца. Для астероидов 2013 HK11 и 2015 KO120 дополнительно учитывались возмущения от трех крупных астероидов, Цереры, Паллады и Весты, так как в данном случае их влиянием нельзя пренебречь. Движение исследуемых объектов рассматривалось в прямоугольной системе координат, отнесенной к экватору эпохи 2000.0. На рис. 1 - 3 в качестве примера приведены графики областей для трех кандидатов из табл. 2. Для каждого астероида области представлены в проекциях XY и XZ физического пространства координат (графики а1 и а2 соответственно) и в проекциях на плоскости собственных векторов wi (i = 1,…, 6) ковариационной матрицы ошибок задачи НК (графики б1 и б2). Области, ориентированные вдоль собственных векторов, рассматриваются относительно номинальной орбиты, помещенной в начало координат. Черным цветом отображена область, построенная линейным методом, серым - область, сформированная методом возмущенных наблюдений. Способ ориентации начальных вероятностных областей вдоль собственных векторов применяется для более детального анализа конфигурации возможных положений [2]. Кроме того, данные проекции позволяют визуально оценить, имеются ли различия в областях, построенных линейным и нелинейными методами. На рис. 1 изображены начальные вероятностные области для астероида 2007 GT3 со слабой степенью нелинейности задачи оценивания. Рис. 1. Проекции начальных вероятностных областей астероида 2007 GT3: (а1, а2) - на координатные плоскости XY и XZ соответственно; (б1, б2) - на плоскости собственных векторов wi (i = 1,…, 6) ковариационной матрицы ошибок с номинальной частицей в начале координат. Черным цветом изображена линейная область, серым - область, сформированная методом возмущенных наблюдений Астероид 2007 GT3 на момент исследования имел 31 наблюдение на небольшом мерном интервале в 13 сут, т.е. весь имеющийся наблюдательный материал был получен в одно появление объекта. Несмотря на короткий мерный интервал, задача оценивания начальных параметров определяется как слабо нелинейная (χ = 0.0031). Из графиков а1 и а2 видно, что области, построенные разными методами, в физическом пространстве принимают форму, вытянутую в линию. Такая форма объясняется малой наблюдательной базой. При ориентации начальных областей вдоль собственных векторов видно, что визуально они не отличаются друг от друга, что также подтверждает факт слабой нелинейности задачи для описываемого астероида. Аналогично рис. 1 на рис. 2 приведены начальные вероятностные области для астероида 2015 EV с умеренной степенью нелинейности задачи оценивания начальных параметров (χ = 0.0310). Объект имеет 52 наблюдения, но они охватывают очень короткий мерный интервал, всего 4 сут. Несмотря на то, что нелинейность неслабая, области, ориентированные вдоль собственных векторов, визуально не отличаются друг от друга (графики б1 и б2 рис. 2). Рис. 2. Проекции начальных вероятностных областей астероида 2015 EV: (а1, а2) - на координатные плоскости XY и XZ соответственно; (б1, б2) - на плоскости собственных векторов wi (i = 1, …, 6) ковариационной матрицы ошибок с номинальной частицей в начале координат. Черным цветом изображена линейная область, серым - область, сформированная методом возмущенных наблюдений В качестве примера сильной нелинейности задачи оценивания на рис. 3 представлены результаты построения начальных областей для астероида 2015 KO120. Среди исследуемых объектов из табл. 2 он имеет наименьшее число наблюдений, всего 15, на интервале 3 сут. Большое значение показателя нелинейности свидетельствует о том, что задача оценивания начальных параметров является сильно нелинейной (χ = 0.183). В силу того, что это значение близко к пороговой величине χ = 0.1, визуально сложно оценить отличие линейной и нелинейной областей (графики б1 и б2 рис. 3). Тем не менее нелинейность сильная, и использование линейного метода для построения начальной области недопустимо в таких случаях. Во избежание получения недостоверных результатов необходимо применение нелинейных методов. Рис. 3. Проекции начальных вероятностных областей астероида 2015 KO120: (а1, а2) - на координатные плоскости XY и XZ соответственно; (б1, б2) - на плоскости собственных векторов wi (i = 1,…, 6) ковариационной матрицы ошибок с номинальной частицей в начале координат. Черным цветом изображена линейная область, серым - область, сформированная методом возмущенных наблюдений 3. Эволюция начальных вероятностных областей некоторых астероидов, построенных линейным и нелинейным методами Вероятностная орбитальная эволюция астероидов строилась путем численного отображения во времени начальной вероятностной области и номинальной частицы. Уравнения движения номинальной и тестовых частиц численно интегрировались методом Эверхарта [6], порядок метода подбирался индивидуально. Интервал времени, на котором выполнялось исследование, определялся путем сравнения результатов прямого и обратного интегрирования и сохранения приемлемой точности в координатах 10-7 а.е. Исследование проводилось с помощью программного комплекса «ИДА» [7, 8]. Для астероидов 2015 KO120, 2015 HG, 2017 TC1 и 2007 GT3 из табл. 2 построена эволюция номинальной орбиты и начальных областей, сформированных линейным и нелинейным методами (области подробно описаны в предыдущем разделе). Для всех астероидов выявлены особенности их движения, а именно сближения с большими планетами, для 2017 TC1 и 2015 HG, помимо сближений, обнаружена соизмеримость средних движений астероидов и Юпитера (орбитальные резонансы). Для всех исследуемых объектов проведено сравнение поведения линейной и нелинейной областей со временем. Исследование показало, что эволюция начальных вероятностных областей, построенных линейным и нелинейным методами для астероидов со слабой нелинейностью (в данном исследовании 2015 HG, 2017 TC1 и 2007 GT3), визуально отличается незначительно. Следует отметить, что для исследуемых астероидов (2015 HG, 2017 TC1 и 2007 GT3) выявлено отличное поведение некоторых частиц из разных начальных областей. Особое внимание следует обратить на размер начальной области. Если орбита астероида определена плохо и начальная область оказывается достаточно большой (σ(x0) 10-5 а.е.), к таковым относятся все объекты из табл. 2, целесообразным будет построение начальной области нелинейным методом для проведения сравнительного анализа с частицами из линейной. Чаще всего для таких объектов в процессе эволюции вероятностная область, как линейная, так и нелинейная, быстро разрастается, что препятствует получению достоверного прогноза динамики астероидов. Единственный выход в данной ситуации - дождаться нового наблюдательного материала. Если орбита астероида определена хорошо, начальная область оказывается маленькой (σ(x0) 1 10-7 а.е.), то нет необходимости использовать трудоемкие нелинейные методы: достаточным будет применение классического линейного метода. Для астероидов с умеренной и сильной нелинейностью рекомендуется применять нелинейные методы построения начальной вероятностной области. В качестве примера на рис. 4 приведены графики эволюции начальных вероятностных областей (линейной слева и нелинейной справа) для астероида 2015 KO120. Рис. 4. Эволюция начальных вероятностных областей астероида 2015 KO120, сформированных линейным методом (а1-е1) и методом возмущенных наблюдений (а2-е2). На графиках представлена эволюция: перигелийного расстояния q (а1, а2), эксцентриситета е (б1, б2), наклонения плоскости орбиты астероида i к плоскости эклиптики (в1, в2), сближения с Землей (г1, г2), Марсом (д1, д2) и Юпитером (е1, е2). Эволюция номинальной орбиты отображена черным цветом, 10000 тестовых частиц - серым Уравнения движения номинальной орбиты астероида 2015 KO120 и 10000 тестовых частиц из начальных вероятностных областей, построенных разными методами, были проинтегрированы на интервале времени (0; 4000) лет. В ходе исследования были выявлены сближения астероида и тестовых частиц с Меркурием, Венерой, Землей и Марсом. Некоторые тестовые частицы, помимо сближений с планетами внутренней группы, сближаются с Юпитером, в то время как номинальная частица на всем интервале исследования не подходит к планете ближе 1 а.е. На рис. 4 приведены следующие графики: эволюция перигелийного расстояния q (а1, а2), эксцентриситета е (б1, б2), наклонения плоскости орбиты астероида к плоскости эклиптики i (в1, в2), сближения с Землей (г1, г2), Марсом (д1, д2) и Юпитером (е1, е2). Эволюция номинальной орбиты отображена черным цветом, тестовых частиц из начальной вероятностной области - серым. Наиболее тесные сближения астероид испытывает с Землей и Марсом. Минимальное расстояние номинальной частицы до планет на рассматриваемом интервале времени составляет 0.008 и 0.004 а.е. соответственно. Наиболее тесные сближения с планетами можно визуально отметить на графиках (г1, г2) и (д1, д2). Что касается поведения вероятностной области со временем, из рис. 4 видно, что, несмотря на разрастание области, визуально можно отметить различие между движением тестовых частиц из линейной и нелинейной областей. Использование в данном случае линейного метода для построения области вероятных значений начальных параметров астероида может привести к ложной оценке возможного поведения объекта как в будущем, так и в прошлом. Для наиболее адекватного прогноза движения астероида необходимым является использование нелинейного метода для формирования начальной вероятностной области. Заключение В ходе исследования были получены и проанализированы результаты определения нелинейности задачи оценивания начальных параметров астероидов, имеющих малые перигелийные расстояния. Для всех объектов данного класса нелинейность определялась с помощью показателя, основанного на вычислении и сравнении значений целевой функции задачи наименьших квадратов в вершинах доверительного эллипсоида. Использование показателя такого рода позволило классифицировать задачу как слабо, умеренно и сильно нелинейную. Исследование показало, что для большинства астероидов задача является слабо нелинейной (46 из 53 астероидов, известных на сентябрь 2021 г.). Умеренная нелинейность определяется для шести астероидов, и лишь для одного объекта задача оценивания начальных параметров является сильно нелинейной. Для шести астероидов с разной степенью нелинейности задачи (2015 KO120, 2013 HK11, 2015 EV, 2015 HG, 2017 TC1, 2007 GT3) были построены начальные вероятностные области классическим линейным методом и нелинейным методом возмущенных наблюдений. Для четырех из них (2015 KO120, 2015 HG, 2017 TC1, 2007 GT3) построена эволюция начальных вероятностных областей, сформированных линейным и нелинейным способами, путем численного интегрирования уравнений движения номинальной и 10000 тестовых частиц из начальной области. Сравнительный анализ поведения частиц из разных областей показал, что для астероидов со слабой нелинейностью (2015 HG, 2017 TC1 и 2007 GT3) вероятностные области сильно разрастаются со временем, что объясняется плохим определением их орбит и многократными и тесными сближениями с большими планетами. При этом эволюция некоторых частиц из разных начальных областей визуально отличается. Несмотря на то, что задача оценивания начальных параметров астероидов слабо нелинейная, для подобных объектов рекомендуется использовать разные способы построения начальной области для проведения сравнительного анализа. Эволюция начальных вероятностных областей для объекта с сильной нелинейностью (2015 KO120) визуально отличается для частиц из линейной и нелинейной областей. В данном случае для получения наиболее адекватного прогноза необходимо использовать нелинейный метод формирования начальной вероятностной области. Работа выполнена с использованием оборудования центра коллективного пользования «Терскольская обсерватория».
Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. // Астрон. вестник. - 2012. - Т. 46. - № 3. - С. 209-222.
Авдюшев В.А. Численное моделирование орбит небесных тел. - Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2015. - 336 c.
Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. // Изв. вузов. Физика. - 2013. - Т. 56. - № 6/3. - С. 232-234.
Черницов А.М., Батурин А.П., Тамаров В.А. // Астрон. вестник. - 1998. - Т. 32. - № 5. - С. 459-467.
Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных: справочное изд. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.
Everhart E. // Proc. 83rd IAU Colloq. / eds. A. Carusi and G.B. Valsecchi. - Dordrecht, 1985. - P. 185-202.
Galushina T., Bykova L., Letner O., Baturin A. // Astron.Comput. - 2019. - V. 29. - id. 100301.
Galushina T.Yu., Letner O.N. // Astronom. Astrophys. Trans. - 2021. - V. 32. - No. 4.