Analysis of the deformed state in elastic bodies AT THE interface under the conditions of ideal contact and sliping.pdf Введение Научные исследования по созданию новых конструкционных материалов ведутся постоянно на протяжении многих лет. Большинство перспективных материалов представляют собой композиты, которые обладают значительными преимуществами по сравнению с однородными материалами [1-3]. В числе преимуществ композиционных материалов отмечают высокую прочность и жесткость, усталостную долговечность. В процессе изготовления композитов могут быть также улучшены износостойкость, теплопроводность, термоизоляция и другие механические свойства. Отличительной особенностью композитов является структурная неоднородность, определяемая элементами армирования, и наличие большого числа внутренних границ раздела. Внутренние границы раздела являются важной функциональной подсистемой в деформируемом твердом теле и существенно влияют на физические и эксплуатационные свойства композиционных материалов [4-6]. Цель данной работы - изучение деформированного состояния в контактирующих упругих телах при граничных условиях идеального контакта и скольжения. Граничные условия идеального контакта предполагают непрерывность компонент вектора смещений и тензора напряжений на границе. При условии идеального скольжения на границе раздела непрерывны нормальные компоненты вектора смещения и тензора напряжения, компоненты касательных напряжений равны нулю [7]. Оба граничных условия реализуются в действительности и используются при описании границ раздела матрицы и армирующего элемента композиционного материала [2]. Поскольку напряженно-деформированное состояние является результатом распространения, взаимодействия и затухания упругих и упруго-пластических волн, рассмотрим задачу прохождения волны через плоскую границу раздела двух упругих полупространств с целью исследования деформаций в контактирующих телах на границе. Плоская граница раздела соответствует структуре слоистых твердотельных композитов и в локальном приближении может описывать границы раздела композитов, армированных дисперсными частицами и волокнами [8-9]. Классическая задача, целью которой являются закономерности распространения волн через границу раздела, рассматривается во многих работах [10-11]. При решении этой задачи находятся коэффициенты Френеля и потоки энергии первичной и вторичных волн. Коэффициенты отражения и преломления позволяют определить компоненты деформаций на границе [11-13]. Поведение волн и напряженно-деформированное состояние на границе раздела упругих тел при условии идеального контакта подробно рассмотрено в [12], результаты анализа деформаций на границе при условии скольжения контактирующих тел представлены в [13]. Деформированное состояние на границе в каждом из контактирующих тел в работах [12, 13] не исследовалось. Амплитуды деформаций в контактирующих телах на границе при условиях идеального контакта и скольжения изучаются в данной работе. 1. Постановка задачи и аналитические решения 1.1. Постановка задачи Предположим, что на границу двух однородных изотропных упругих полупространств, определенную нормалью n║z, в точке z = 0 падает монохроматическая волна. Направление распространения волны образует некоторый угол с осью z в плоскости yz декартовой системы координат. Упругое тело 1, расположенное при z < 0, характеризуется коэффициентами Ламе λ-, µ- и материальной плотностью ρ-, тело 2 при z > 0 задается параметрами λ+, µ+, ρ+. Граничные условия на поверхности раздела в случае идеального контакта и в случае скольжения запишутся в виде , (1) . (2) Сформулированная задача позволяет рассмотреть две независимые подзадачи для горизонтально и вертикально поляризованной волны. В первом случае горизонтально поляризованной SH-волны отличной от нуля является Ux-компонента вектора смещений, перпендикулярная плоскости падения волны zy. Во втором случае рассматриваются Uz-, Uy-компоненты вектора смещений, определяющие деформацию в плоскости падения продольной P- или поперечной SV-волны. 1.2. Решение задачи для горизонтально поляризованной волны В общем случае при падении волны на границу раздела существуют три волны [10-13], две из которых, падающая и отраженная, распространяются в теле 1, преломленная или прошедшая возбуждается в теле 2. В случае падающей SH-волны отличные от нуля компоненты Ux запишутся в виде для каждой из трех волн: , (3) где Ax0, Ax± - амплитуды падающих, отраженных и преломленных волн; kt0 = kt-, k+- волновые числа; θt0, θt±- углы падения, отражения и преломления; rt0 = z cos θt0 + y sin θt0, rt± = ±z cos θt± + y sin θt± - радиус-векторы. При записи (3), как и в дальнейшем, множитель -iωt опущен, где ω - частота, t - время. Дифференцируя (3) по пространственным координатам, получим выражения для компонент тензора упругой дисторсии, которые позволяют найти компоненты деформаций и поворота для каждой из волн [11-13]. Граничные условия (1), (2) в случае падающей SH-волны при условии идеального контакта и при скольжении запишутся в виде , (4) . (5) На основе (4), (5), используя закон Гука для определения напряжений, можно получить системы уравнений для неизвестных амплитуд вторичных волн и определить коэффициенты отражения и преломления в случае идеального контакта и скольжения , (6) при выполнении законов отражения и преломления . (7) В формулах (6) Rxid, Rxsl - коэффициенты отражения; Txid, Txsl - коэффициенты преломления; Z± = Сt±ρ± cos θt± - упругие импедансы; Сt± - скорости поперечных волн. Амплитуды деформаций на границе раздела Eiт, задающие деформации εiт = Eiтb с точностью до безразмерного множителя b = ikt0At0 exp(ikt0y sin θt0), будут равны при идеальном контакте и при скольжении (8) Деформированное состояние на границе раздела (8) определяется разностью деформаций в контактирующих телах. При идеальном контакте амплитуды деформаций в упругом теле при z ≤ 0 определяются коэффициентами отражения, при z ≥ 0 - коэффициентами преломления . (9) В случае скольжения деформации на границе раздела (8) совпадают с деформациями в контактирующих упругих телах при z ≤ 0 и при z ≥ 0. 1.3. Решение задачи для вертикально поляризованной волны При падении на границу продольной вертикально поляризованной волны вектор смещений имеет не равные нулю Uz0-, Uy0-компоненты , (10) которые для падающей поперечной волны определяются выражениями . (11) Здесь Al0, At0 - амплитуды падающих P- и SV-волн; θl0, θt0 - углы падения; kl0 = ω/Cl0, kt0 = ω/Ct0 - волновые числа; Cl0, Ct0 - скорости упругих волн; rl(t)0 = z cos θl(t)0 + y sin θl(t)0. Нижний индекс l соответствует величинам продольной волны, t обозначает величины поперечной волны. Компоненты смещений отраженной волны для любого типа падающей вертикально поляризованной волны имеют вид (12) где Al-, At- - амплитуды отраженных волн; θl-, θt- - углы отражения; kl(t)- = kl(t)0 - волновые числа; rl(t)- = -z cos θl(t)- + y sin θl(t)-. Компоненты смещений преломленной волны определяются выражениями (13) где Al+, At+ - амплитуды преломленных волн; θl+, θt+ - углы преломления; rl(t)+ = z cos θl(t)+ + y sin θl(t)+. Волновые числа kl(t)+ = ω/Cl(t)+ определяются скоростями упругих волн Cl(t)+ в теле 2. Для падающей P-волны на границе раздела компоненты суммарных смещений (10), (12), (13) при идеальном контакте (1) удовлетворяют равенствам (14) и выполняются законы отражения и преломления . (15) При условии скольжения для смещений будет выполняться лишь первое равенство (14). Граничные условия для напряжений в случае вертикально поляризованных волн при идеальном контакте запишутся в виде (16) где ε0ij, ε-ij, ε+ij - компоненты деформаций падающей, отраженной и преломленной волн, L± = λ± + 2μ±. Равенство для нормальных напряжений (16) выполняется и при граничном условии скольжения, для касательных напряжений условия (2) примут вид . (17) На основе (14), (16) получим систему уравнений для коэффициентов Френеля продольных Rll = Al-/Al0, Tll = Al+/Al0 и поперечных волн Rtl = At-/Al0, Ttl = At+/Al0 в случае падающей P-волны на границу раздела при идеальном контакте: (18) , где Dim - матрица коэффициентов уравнений; Xm, bi - векторы-столбцы неизвестных коэффициентов Френеля и свободных членов уравнений; верхний индекс Т обозначает транспонирование; Zl(t)± = Сl(t)±ρ± - упругие импедансы; α± = (Сt±/Сl±)2. В принятых обозначениях коэффициентов отражения и преломления первый нижний индекс соответствует типу отраженной волны, второй - указывает на тип падающей волны. При условии скольжения матрица коэффициентов Dim и вектор-столбец свободных членов bi в (18) изменятся следующим образом: . (19) В случае падающей SV-волны компоненты суммарных смещений (11) - (13) имеют вид (20) и выполняются законы отражения и преломления . (21) Подставляя соответствующие выражения для деформаций в граничные условия для напряжений (16) и полагая Uz = Uy = 0 в (20), получим систему уравнений (18), в которой матрица коэффициентов Dim останется прежней, а неизвестные коэффициенты Френеля и свободные члены запишутся в виде (22) Для падающей на границу раздела волны сдвига при условии скольжения контактирующих тел система уравнений (18), полученная на основе (17), σzz = 0 и Uz = 0 (20), определяет неизвестные коэффициенты Френеля (22) при матрице коэффициентов уравнений (19) и свободных членах . (23) 2. Численные результаты и их обсуждение 2.1. Амплитуды деформаций в контактирующих упругих телах на границе раздела при падении P-волны Смещения на границе в контактирующем теле 1, расположенном при z ≤ 0, обусловленные падающей продольной (10) и отраженной волной (12) Ui1 = Ui0+Ui-, позволяют получить выражения для компонент тензора упругой дисторсии βim1 = ∂iUm1 = Вim1А и найти компоненты деформаций и поворотов, где Вim - амплитуды дисторсий, А = Аl = ikl0Al0 exp(ikl0y sin θl0) - безразмерный множитель. Для упругого тела 2 на основе (13) тензор дисторсии βim2 = ∂iUm+ = Вim2А, и амплитуды компонент деформаций и поворота в контактирующих телах при z = 0 примут вид (24) Формулы для деформаций (24), как и для смещений (10), (12), (13), полученных на основе геометрических рассмотрений, справедливы при любых граничных условиях. Довольно громоздкие аналитические решения систем (18), (19) позволяют рассчитать и построить зависимости коэффициентов Френеля и деформационных мод (24) от угла падения P-волны при граничных условиях идеального контакта и скольжения. В качестве примера были рассмотрены границы раздела между алюминием и медью, титаном и никелем, которые в рамках модели упругой среды можно характеризовать безразмерными отношениями скоростей Vl = Cl+/Cl-, Vt = Ct+/Ct-, Vtl = Ct-/Cl- и плотностей ρ = ρ+/ρ-. Амплитуды деформаций от угла падения P-волны на границе упругого тела, расположенного при z ≤ 0, показаны на рис. 1. Аналогичные зависимости для контактирующего тела 2 при z ≥ 0 представлены на рис. 2. Как следует из результатов расчета, деформированное состояние в обоих телах на границе определяется ненулевыми компонентами при условии идеального контакта и компонентами при скольжении: , (25) (26) Амплитуды деформаций, приведенные на рис. 1, 2, существенно зависят от направления распространения падающей волны или последовательности расположения сред. В обоих контактирующих телах на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, для которых отношения упругих скоростей удовлетворяют условию Vl(t) < 1, амплитуды Ezz, Eyy, Ezy, Wzy при идеальном контакте и амплитуды Ezz, Eyy, Wzy при скольжении изменяются непрерывно с увеличением угла падения волны (рис. 1, а, 2, а). На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti, для которых Vl(t) > 1, зависимости амплитуд деформаций от угла падения Р-волны имеют особые точки при углах θl*0 = arcsin(1/Vl). Эти критические углы соответствуют полному внутреннему отражению продольной волны и одинаковы в случаях идеального контакта и скольжения контактирующих тел (рис. 1, б, 2, б). Как показывает анализ элементов матрицы коэффициентов Dim (18), (19), в случае падающей Р-волны угол θl0 = θl*10 = = arcsin(Сl-/Сt+) также является критическим, при котором D24 = D44 = 0 и происходит трансформация преломленной волны сдвига в отраженную продольную волну. Условия для угла θl*10 на рассматриваемых границах раздела Cu/Al, Ni/Ti не выполняются. В обоих контактирующих телах характер амплитудных зависимостей качественно подобен при различных упругих свойствах контактирующих тел как на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, так и на границах Cu/Al, Ni/Ti, соответствующие кривые обозначены цифрами 1, 2 и I, II (рис. 1, 2). Максимальные значения деформационных мод на границах раздела Al/Cu, Ti/Ni, для которых Vl(t) < 1, в теле 1 больше, чем в теле 2. На границах Cu/Al, Ni/Ti при Vl(t) > 1 максимальные значения деформаций в теле 1 меньше, чем в теле 2. Исключением являются повороты Wzy при граничном условии скольжения и удлинения Eyy при идеальном контакте, которые одинаковы в обоих контактирующих телах. При идеальном контакте качественно подобны зависимости Ezy1(θl0), Ezy2(θl0) и Wzy1(θl0), Wzy2(θl0). Рис. 1. Амплитуды деформаций Ezz (сплошные кривые), Eyy (пунктирные), Ezy (короткий пунктир), Wzy (пунктир с точкой) в упругом теле при z ≤ 0 на границах Al/Cu (1, I), Ti/Ni (2, II) (а) и на границах Cu/Al (1, I), Ni/Ti (2, II) (б) в случае падающей Р-волны. Зависимости обозначены арабскими цифрами при идеальном контакте и римскими при скольжении Рис. 2. Амплитуды деформаций Ezz (сплошные кривые), Eyy (пунктирные), Ezy (короткий пунктир), Wzy (пунктир с точкой) в упругом теле при z ≥ 0 на границах Al/Cu (1, I), Ti/Ni (2, II) (а) и на границах Cu/Al (1, I), Ni/Ti (2, II) (б) в случае падающей Р-волны. Зависимости обозначены арабскими цифрами при идеальном контакте и римскими при скольжении 2.2. Амплитуды деформаций в контактирующих упругих телах при падении SV-волны Формулы для смещений (11) - (13) в случае падающей на границу раздела поперечной волны позволяют получить выражения для амплитуд деформаций в контактирующих упругих телах: (27) которые определяют компоненты тензора деформаций с точностью до безразмерного множителя А = Аt = ikt0At0 exp(ikt0y sin θt0). Рассчитанные зависимости амплитуд деформаций от угла падения SV-волны на границу при условиях идеального контакта и скольжения приведены на рис. 3 для контактирующего тела 1 и на рис. 4 для тела 2. Как и в случае падающей Р-волны, деформированное состояние на границах контактирующих тел характеризуется тензорами (25), (26). Рис. 3. Амплитуды деформаций Ezz (сплошные кривые), Eyy (пунктирные), Ezy (короткий пунктир), Wzy (пунктир с точкой) в упругом теле при z ≤ 0 на границах Al/Cu (1, I), Ti/Ni (2, II) (а) и на границах Cu/Al (1, I), Ni/Ti (2, II) (б) при падении SV-волны. Арабскими цифрами обозначены зависимости при идеальном контакте, римскими при скольжении Рис. 4. Амплитуды деформаций Ezz (сплошные кривые), Eyy (пунктирные), Ezy (короткий пунктир), Wzy (пунктир с точкой) в упругом теле при z ≥ 0 на границах Al/Cu (1, I), Ti/Ni (2, II) (а) и на границах Cu/Al (1, I), Ni/Ti (2, II) (б) при падении SV-волны. Арабскими цифрами обозначены зависимости при идеальном контакте и римскими при скольжении На границах Al/Cu, Ti/Ni рассматриваемые зависимости имеют две особые точки при углах θt*10 = arcsin(Сt-/Cl-) и θt*20 = arcsin(Сt-/Cl+) (рис. 3, а, 4, а). При обоих граничных условиях угол θt*10 является предельным углом полного внутреннего отражения продольной волны, угол θt*20 соответствует углам трансформации прошедшей продольной волны в отраженную волну сдвига. Численные значения критических углов приведены в [12]. При падении SV-волны на границы Cu/Al, Ni/Ti деформационные зависимости имеют три особых точки при углах θt*10 = arcsin(Сt-/Cl+), θt*20 = arcsin(Сt-/Cl-) и θt*30 = arcsin(Сt-/Ct+). Угол θt*20 является предельным углом полного внутреннего отражения Р-волны, два других угла, θt*10, θt*30, представляют углы трансформации P- и SV волн в отраженную волну сдвига. Как и в случае падающей продольной волны, однотипные амплитудные зависимости деформационных мод качественно подобны при различных упругих свойствах контактирующих тел в обоих телах. Эту закономерность наглядно демонстрируют результаты, полученные для границ Al/Cu, Ti/Ni (см. рис. 1, а, 2, а). На границах Cu/Al, Ni/Ti указанная закономерность хорошо прослеживается при углах θt0 < θt*10, θt0 > θt*30 и менее наглядно - в промежуточной области из-за большой разницы значений θt*20 для обеих пар контактирующих тел (см. рис. 1, б, 2, б). Максимальные значения деформаций в теле 1 больше, чем в теле 2 на границах при Vl(t) < 1, и меньше в теле 1, чем в теле 2 на границах при Vl(t) > 1. Исключения для поворотов Wzy при скольжении и удлинений Eyy при идеальном контакте, одинаковых для обоих контактирующих тел, также имеют место в случае падающей поперечной волны. Наблюдается качественное подобие зависимостей Ezy1, Ezy2 и Wzy1, Wzy2 от угла падения θt0 при идеальном контакте. Заключение Исследовано деформированное состояние в контактирующих телах на границе в рамках традиционной задачи прохождения волн через границу раздела двух однородных изотропных упругих полупространств. Получены аналитические решения задачи при условиях идеального контакта и скольжения, которые определяют выражения для коэффициентов Френеля и позволяют рассчитать зависимости амплитуд деформационных мод в контактирующих упругих телах на границе от угла падения волны. Для двух пар рассмотренных тел на основе результатов расчетов установлено, что в контактирующих телах на границе раздела при условиях идеального контакта εzz-, εyy-, εzy-, εzx-компоненты тензора деформаций и ωzy-, ωzx-компоненты тензора поворотов, определенные в декартовой системе координат, связанной с границей, отличны от нуля. При скольжении εzz-, εyy-, εxy-, ωzy-, ωyx-компоненты не равны нулю. Наборы деформационных мод, не равных нулю в контактирующих телах, при обоих граничных условиях не зависят от направления падающей волны и типа вертикально поляризованной волны. В случае падающих P- и SV-волн εzz-, εyy-, εzy-, ωzy-компоненты не равны нулю при идеальном контакте и εzz, εyy, ωzy - при скольжении. При обоих граничных условиях зависимости амплитуд деформационных мод от угла падения всех типов волн качественно подобны в контактирующих телах при различных упругих свойствах тел. Рассматриваемые амплитудные зависимости имеют особые точки, соответствующие предельным углам полного внутреннего отражения и трансформации волн. Наличие особых точек определяется типом и направлением распространения падающей волны, упругими свойствами контактирующих тел. Особые точки деформационных зависимостей не наблюдаются в контактирующих телах, для которых отношение упругих скоростей Vl(t) < 1, в случае падающей P- и SH-волны. Для всех типов падающих волн максимальные значения деформационных мод на границах, для которых отношения упругих скоростей Vl(t) < 1, в теле 1 больше, чем в теле 2. На границах раздела при Vl(t) > 1, наоборот, максимальные значения амплитуд деформаций в теле 1 меньше, чем в теле 2. Зависимости удлинений Ezz, Eyy от угла падения волны в контактирующих телах изменяются по-разному при условии идеального контакта и скольжения. При обоих граничных условиях амплитуды удлинений совпадают в каждом из контактирующих тел при нормальном падении волны. Рассматриваемые зависимости для поворотов Wzy при граничном условии скольжения и удлинений Eyy при идеальном контакте одинаковы в обоих контактирующих телах. Зависимости амплитуд деформаций сдвига в контактирующих телах и поворотов качественно подобны при идеальном контакте для падающих P- и SV-волн. Полученные результаты имеют особое значение для понимания процессов деформирования и эксплуатации структурно-неоднородных и композиционных материалов, анализа и интерпретации данных сейсмических исследований и методов неразрушающего контроля.

Скачать электронную версию публикации