Pattern formation in a nonlocal Fisher - Kolmogorov - Petrovskii - Piskunov model and in a nonlocal kinetic model of the.pdf Введение Изучение реакционно-диффузионных (РД) систем представляет собой самостоятельную область исследований нелинейных явлений, объединенную общностью применяемых методов и подходов и широким спектром приложений в физических, химических и биологических системах, включая динамику роста микробиологических и клеточных популяций, кинетические явления в физических системах, автоволновые процессы в активных средах (см., например, [1-4]). Интерес к нелинейным моделям систем РД-типа обусловлен, в известной степени, их способностью описывать динамические неравновесные структуры в пространственно-распределенных системах, что рассматривается как проявление общего свойства самоорганизации в нелинейных системах. Пространственно-временные структуры (паттерны) в РД-системах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, изучались в многочисленных работах, результаты которых отражены в [3-6]. Нелокальные РД-системы, которые описываются интегро-дифференциальными уравнениями, обладают специфическими особенностями динамического поведения. В нелокальных РД-системах нелинейность в сочетании с дальнодействием позволяет описывать формирование паттернов в популяционных системах, состоящих из особей одного вида. Примером является обобщенная нелокальная модель Фишера - Колмогорова - Петровского - Пискунова (Фишера - КПП), которая широко применяется в исследованиях динамики микроорганизмов и клеточных популяций [1, 7-13]. Благодаря общности математического описания нелокальных РД-систем методы, применяемые к исследованию нелокальной модели Фишера - КПП, могут привести к интересным результатам в исследовании кинетических моделей активных сред. В данной работе проведено сравнительное исследование динамики формирования пространственно-временных паттернов в обобщенной одномерной модели Фишера - КПП с нелокальными конкурентными потерями в условиях слабой диффузии и в двумерной нелокальной версии кинетической модели активной квазинейтральной плазмы на парах металлов, описываемой кинетическим уравнением с нелокальной кубичной нелинейностью [14]. Рассмотрено влияние релаксации на формирование паттернов. Получены оценки области изменения характерных времен релаксации, при которых наблюдается формирование паттернов. 1. Нелокальное одномерное уравнение Фишера - Колмогорова - Петровского - Пискунова Одномерное уравнение Фишера - КПП с нелокальными конкурентными потерями для популяционной плотности , зависящей от пространственной переменной и времени , в соответствии с [10, 13] запишем в безразмерной форме следующим образом: , (1) где , - частные производные по соответствующим переменным; - коэффициент диффузии; кинетический коэффициент характеризует темп воспроизведения популяции, в общем случае зависящий от ; - параметр нелинейности; интеграл описывает нелокальные конкурентные потери, в котором (функция влияния) определяет степень нелокальности взаимодействия в популяции. Отметим, что исследование формирования структур в нелокальной одномерной модели Фишера - КПП вида (1) численными методами проводилось в [15]. В настоящей работе уравнение (1) служит базой для сравнения с динамикой формирования пространственно-неоднородных паттернов в кинетической модели активной среды на парах металлов [14], которая рассматривается в следующем разделе. Поэтому, в отличие от работ [10-13, 15], в уравнении (1) коэффициент диффузии представлен в виде в соответствии с кинетическим уравнением работы [14], где имеет смысл коэффициента амбиполярной диффузии. Для построения численных решений уравнения (1) функции , , и параметры уравнения выбирались близкими к соответствующим коэффициентам уравнения (1) работы [15], при которых наблюдалось формирование структур в динамике, описываемой уравнением Фишера - КПП вида (1). Кроме того, эти функции задавались исходя из кинетической модели работы [14]. Далее приведены примеры численных решений уравнения (1), описывающих формирование структур, при следующих условиях. Начальная функция (2) выбрана в гауссовой форме, поскольку она локализована в окрестности точки , удаленной от границ расчетной области, что позволяет пренебречь влиянием граничных условий на эволюцию начального распределения под действием механизмов, включенных в уравнение (1). Функция влияния моделировалась выражением [15] (3) Параметр характеризует размер области нелокальности взаимодействия в уравнении (1). Для исследования влияния релаксационных явлений на процесс формирования структур в динамике, описываемой уравнением (1), функции , и задавались в соответствии с [14] в следующем виде: , (4) , (5) , (6) где , и - времена релаксации процессов, представленных в уравнении (1): диффузии, кинетического коэффициента (темпа роста популяции) и нелокальных конкурентных потерь. На рис. 1 и 2 приведены примеры численных решений уравнения (1) с начальным условием (2) в виде гауссовой функции, функцией влияния (3) и коэффициентами (4) - (6). Решения строились на отрезке времени , при следующих значениях параметров: , , , , , , , , , . (7) Рис. 1. Решение уравнения (1) в момент времени (а), (б) для времени релаксации кинетического коэффициента , равного Рис. 2. Решение уравнения (1) в момент времени (а), (б) для времени релаксации кинетического коэффициента , равного Рис. 1 и 2 иллюстрируют влияние времени релаксации в коэффициенте на формирование пространственно неоднородных структур в процессе эволюции начальной гауссовой функции (2) при выборе параметров в виде (7). При малых временах релаксации , например при , коэффициент , ответственный за рост численности популяции, быстро убывает со временем, поэтому гауссово распределение не порождает структуру. При большем времени релаксации (рис. 1) убывание происходит медленнее и наблюдается начальная стадия формирования структуры в виде нескольких локальных максимумов и минимумов. При , на рис. 2 наблюдается выраженная структура в виде локальных максимумов и минимумов. Отметим, что случай и выбор параметров вида (7) соответствует результатам работы [15], в которой было продемонстрировано формирование структур, представленных на рис. 2, б, для нелокального уравнения Фишера - КПП вида (1). Используя полученные в данном разделе результаты, перейдем к исследованию версии кинетической модели активной квазинейтральной плазмы на парах металлов, предложенной в работах [14, 16]. 2. Нелокальное двумерное кинетическое уравнение активной среды Модель кинетики активной оптической среды на парах металлов (АСПМ), возбуждаемой контрагированным электрическим разрядом в газоразрядной трубке (ГРТ), исследовалась в [14, 16] при следующих предположениях. АСПМ состоит из смеси буферного инертного газа и паров металла. Под действием электрического разряда при типовых значениях температуры и давления происходят процессы ионизации преимущественно атомов металла. При тройных столкновениях ионов с парой электронов, образовавшихся в результате ионизации, происходит деионизация [16]. В этих условиях образующаяся плазма из ионов паров металла и электронов может рассматриваться как квазинейтральная. Кинетическое уравнение модели с учетом квазинейтральности плазмы и нелокальности тройных взаимодействий запишем в виде [14] (8) Рассмотрим двумерную плоскопараллельную модель распределения активной среды в поперечном сечении газоразрядной трубки, ортогональном ее оси, и однородной вдоль оси. В этом случае концентрация ионов , равная концентрации электронов, в силу условия квазинейтральности зависит от вектора , задающего положение точки в декартовых координатах плоскости сечения ГРТ с началом координат на ее оси, и от времени . Предположим, что концентрация убывает с удалением от оси ГРТ, вследствие чего при , где - длина вектора . В уравнении (8) оператор Лапласа в декартовых координатах обозначен , ; - параметр нелинейности; выражение задает коэффициент амбиполярной диффузии; функция определяется кинетическим коэффициентом процесса ионизации нейтральных атомов и их концентрацией и полагается заданной; ядро интеграла в (8), , где , пропорционально плотности вероятности тройной рекомбинации при столкновении иона с двумя электронами и будет задаваться в виде модельных функций. Уравнение (8) по виду аналогично уравнению Фишера - КПП (1) с нелокальными квадратично-нелинейными потерями, но отличается от (1) кубично-нелинейным нелокальным слагаемым. Другое отличие заключается в том, что уравнение (8) рассматривается в (2+1)-мерном пространстве-времени, тогда как уравнение (1) является (1+1)-мерным. Несмотря на эти различия, из результатов предыдущего раздела можно предположить, что при выборе параметров уравнения (8) в области значений, близких к параметрам уравнения (1), и выборе функции с таким же параметром , характеризующим область локализации ядра нелокальной нелинейности, в динамике, описываемой уравнением (8), также могут возникать паттерны, как и в случае уравнения (1). Приведенные в данном разделе результаты численного моделирования уравнения (8) подтверждают это предположение. Исследуется также влияние релаксации в кинетическом коэффициенте на формирование паттернов. Рассмотрим примеры численных решений уравнения (8), описывающих формирование структур. Коэффициенты и параметры в уравнении (8) выбирались следующим образом: Начальная функция имеет вид гауссова распределения в двумерном пространстве, аналогичный (2): . (9) Кинетический коэффициент полагался равным вида (5). Функция , ядро интегрального выражения в уравнении (8), задавалась в виде , (10) где функция имеет вид (6). Функция , входящая в коэффициент амбиполярной диффузии, выбиралась в виде (4). Параметры, входящие в уравнение (8) и в функции , , , задавались равенствами (7), т.е. имеют значения, такие как в уравнении Фишера - КПП вида (1). На рис. 3 и 4 приведены примеры численных решений уравнения (8) с начальным условием (9), функцией вида (10), коэффициентами (4) - (6), значения которых даются выражениями (7). При малых временах релаксации , например при , как и в случае уравнения (1), гауссово распределение не порождает структуру. Рис. 3 и 4 иллюстрируют процесс формирования структуры при больших значениях . В отличие от одномерной динамики, описываемой уравнением (1), в данном случае паттерны представляют собой совокупность кольцевых распределений концентрации в плоскости ортогональной оси ГРТ. Для большей наглядности полученного результата используем сечения решения на рис. 4. Проведено дополнительное исследование влияния времени релаксации в коэффициенте уравнения (1) на формирование пространственно-неоднородных структур в процессе эволюции начальной гауссовой функции (2) при выборе параметров в виде (7) при фиксированном параметре и . Численные решения уравнения (8) показали, что при в процессе эволюции из начального условия (9) формируется девять локальных пиков за время от до . При большем времени релаксации за аналогичный временной интервал формируются два дополнительных локальных пика. При наблюдается структура в виде девяти локальных максимумов. При , как и в случае , образуются два дополнительных локальных пика. Таким образом, при изменении параметра наблюдается нелинейная зависимость в формировании пространственно-неоднородных структур, причем при некоторых в структуре возникают дополнительные локальные максимумы. Кроме того, было исследовано влияние времени релаксации в коэффициенте уравнения (8) на формирование паттернов в процессе эволюции начальной гауссовой функции (9) при выборе параметров в виде (7) и дополнительным фиксированным параметром . Рис. 3. Решение уравнения (8) в момент времени (a), (б) при условии Рис. 4. Решение уравнения (8) в момент времени (a), (б) при условии Рис. 5. Сечения решения уравнения (8) в момент времени (a), (б) для времени релаксации кинетического коэффициента , равного При в процессе эволюции формируются три локализованных кольцевых распределения концентрации и один центральный локальный максимум за время от до . При большем времени релаксации, , за аналогичное время формируются четыре кольцевых распределения концентрации . При , т.е. при постоянной , снова наблюдается структура в виде трех кольцевых распределений концентрации и одного центрального локального максимума. Таким образом, по аналогии с уравнением (1), наблюдается нелинейная зависимость формирования структуры от параметра , где при некоторых в структуре возникают дополнительные локальные максимумы. Исследование влияния времени релаксации в коэффициенте уравнения (1) на формирование паттернов в процессе эволюции начальной гауссовой функции (2) при выборе параметров в виде (7) и дополнительным фиксированным параметром привело к следующим результатам. При в процессе эволюции формируются девять локальных пиков за время от до . При увеличении времени релаксации, , появляются два дополнительных локальных максимума. При увеличении времени релаксации, например , наблюдается возрастание числа образующихся локальных максимумов. Таким образом, с увеличением параметра наблюдается появление дополнительных локальных максимумов, при этом центральные максимумы уменьшаются в размерах по амплитуде, а периферийные максимумы растут. Данное наблюдение можно объяснить влиянием диффузии в уравнении (1), так как при росте времени релаксации возрастает коэффициент диффузии . Численные расчеты влияния времени релаксации в коэффициенте уравнения (8) не дали повышения количества колец с увеличением , но при увеличении параметра возрастает радиус кольцевых распределений концентрации. Заключение В работе рассмотрены процессы формирования пространственно-временных паттернов в нелокальной популяционной модели, описываемой обобщенным одномерным уравнением Фишера - КПП с нелокальными конкурентными потерями (1), и в двумерной нелокальной кинетической модели активной квазинейтральной плазмы на парах металлов, описываемой кинетическим уравнением с нелокальной кубичной нелинейностью (8). Нелокальные уравнения РД-типа, к которым относятся и уравнения (1), (8), при специальном выборе параметров могут описывать пространственно-временные структуры (например, [1, 3, 7-9, 11-13, 15]). Для нелокального уравнения Фишера - КПП это явление исследовалось, например, в [7, 11, 15], однако для нелокального кинетического уравнения (8) подобное исследование ранее не проводилось. В данной работе, опираясь на сходство уравнений (1) и (8), с помощью численных методов показано, что при специальном выборе параметров уравнения (8) построенные численные решения демонстрируют формирование пространственно-временных двумерных кольцевых неоднородностей концентрации ионов , подобных одномерным паттернам в случае уравнения (1). Для этого на первом этапе, используя результаты [15], получены структуры для уравнения Фишера - КПП при выборе значений параметров вида (7). Затем для параметров уравнения (8), близких (7), построены численные решения уравнения (8), которые также демонстрируют формирование структур. Результаты согласуются с работами [7, 11, 15] для уравнения Фишера - КПП, а также дополнительно было проведено исследование влияния релаксации на формирование структур. Для кинетического уравнения (8) релаксация является составной частью модели динамики активной среды. Таким образом, совместное исследование уравнений (1) и (8) взаимно дополняет и расширяет исследование структур в обеих нелокальных РД-моделях. Представляется интересным продолжить данную работу по поиску структур для уравнений (1) и (8) с периодическими коэффициентами с оценкой устойчивости таких структур. Эта задача имеет понятную физическую мотивацию, так как активные среды на парах металлов широко используются в импульсно-периодическом режиме работы, а для популяционной модели Фишера - КПП периодичность может быть обусловлена внешними факторами.

Скачать электронную версию публикации